2. Przegląd metod analizy stateczności

1. Czynniki warunkujące stateczność nasypów na gruntach organicznych

Bezpieczne posadowienie budowli (także budowli ziemnych) na gruntach organicznych wymusza na projektantach i wykonawcach przeprowadzenie wielu analiz i prognoz w fazie projektowania. Jednym z takich procesów jest analiza stateczności nasypu. Może ona dotyczyć tylko samych skarp nasypu (wynika to z założeń konstrukcyjnych budowli), jak również całego systemu: nasyp-podłoże gruntowe. Wiarygodne wyniki analizy stateczności, będące podstawą do bezpiecznego wznoszenia i eksploatacji budowli, zostaną uzyskane jedynie po kompleksowej ocenie wielu czynników wpływających na stateczność budowli. Poniżej zostały wymienione najistotniejsze z nich:

• warunki gruntowe

• miąższość, uwarstwienie i układ głównych warstw podłoża

• zróżnicowanie przestrzenne warstw

• warunki wodno-gruntowe (filtracja, ciśnienie hydrostatyczne, ciśnienie artezyjskie)

• historia naprężenia (K₀^nc, K₀^oc, OCR, σ'_p)

• wcześniejsze prace budowlane wpływające na stan obecny

• warunki budowlane

• zakres i rodzaj robót

• geometria budowli

• kolejność wykonywanych prac

• wielkość i czas zadawanych obciążeń (włącznie z cyklicznymi)

• warunki brzegowe drenażu

• sztywność budowli

• czas budowy

• właściwości mechaniczne gruntów podłoża

• przepuszczalność

• wytrzymałość na ścinanie

• ściśliwość

• właściwości dotyczące odkształceń przed zniszczeniem

• zależność od prędkości odkształceń, pełzanie gruntu

2. Zakres i rodzaj analizy stateczności

Zaprojektowanie budowli ziemnej nie zagrażającej otoczeniu, a której wymiary będą ekonomicznie racjonalne, wymaga oceny jej stateczności, nie tylko podczas budowy, ale również w trakcie użytkowania. Przypadek budowlany obejmuje okres budowy, aż do momentu zakończenia robót ziemnych. W okresie tym ma miejsce obciążanie ciężarem budowli, w wyniku czego dochodzi do konsolidacji podłoża. W gruntach o małej przepuszczalności powstają nadwyżki ciśnienia wody w porach, które mogą wpływać na obniżenie wytrzymałości podłoża, a w konsekwencji pogorszenie stateczności. Na tym etapie, szczególnie przy posadowieniu na gruntach słabych, ważne jest sprawdzenie, czy dana budowla może zostać wzniesiona jednoetapowo, czy też konieczne jest zastosowanie budowy etapowej, w wyniku której dochodzi do stopniowego wzmocnienia podłoża. W przypadku prowadzenia budowy etapowej szczególnie istotne jest prognozowanie przebiegu wzrostu wytrzymałości podłoża i przyjmowanie aktualnych parametrów wzmocnionego podłoża do analizy stateczności kolejnych etapów.

Przypadek eksploatacyjny dotyczy analizy obiektu przy uwzględnieniu obciążeń użytkowych oraz mogących wystąpić w okresie eksploatacji obciążeń dodatkowych. Należy tu zaznaczyć, że analiza stateczności budowli powinna dotyczyć zarówno skarpy odwodnej (gwałtowne opróżnianie zbiornika), jak i odpowietrznej (napełnianie zbiornika, stany powodziowe). W szczególnych przypadkach należy uwzględniać obciążenia dynamiczne (ruch ciężkich pojazdów, wstrząsy sejsmiczne).

W celu dokonania prawidłowej oceny stateczności należy wybrać odpowiednią metodę, zdecydować czy analiza będzie przeprowadzana w warunkach naprężeń całkowitych czy efektywnych i z jakich badań należy przyjąć parametry wytrzymałościowe, charakteryzujące dany grunt. W przypadku analizy w naprężeniach całkowitych należy właściwie dobrać wytrzymałość na ścinanie w warunkach bez odpływu z uwzględnieniem zmian stanu naprężenia efektywnego. Jest to szczególnie istotne, gdyż zmienność właściwości i geometrii podłoża, zróżnicowanie stanu i historii naprężenia powodują niejednorodny wzrost wytrzymałości na ścinanie w różnych strefach podłoża. Analiza stateczności w naprężeniach efektywnych opiera się na efektywnych parametrach wytrzymałościowych, przy czym warunki odpływu modelowane są za pomocą wartości ciśnienia wody w porach. Zatem konieczna jest nie tylko znajomość początkowego rozkładu ciśnienia wody w porach, ale i prawidłowa prognoza nadwyżek ciśnienia wody w porach, powstałych podczas zwiększania obciążenia. Jest to trudne zwłaszcza w przypadku gruntów organicznych.

Duże zmiany właściwości gruntów organicznych oraz ich niejednorodność powodują trudności w wyznaczaniu parametrów niezbędnych do analizy stateczności. Niejednorodna struktura gruntów organicznych powoduje, że powierzchnia zniszczenia nie jest tak wyraźnie zdefiniowana, jak w przypadku gruntów mineralnych. Po osiągnięciu stanu równowagi granicznej pojawiają się obszary, w których grunt się uplastycznia. Proces ten postępuje aż do wytworzenia się strefy zniszczenia, nie będącej jednak wyraźną, pojedynczą powierzchnią poślizgu.

Wybór metody obliczeniowej stanowi ważny czynnik wpływający na prawidłową analizę stateczności. W praktyce wykorzystujemy trzy rodzaje metod:

• metody oparte na analizie równowagi granicznej

• metody numeryczne (Metoda Elementów Skończonych)

• metody pośrednie (m.in. metody równowagi granicznej wykorzystujące do obliczeń stan naprężenia określony za pomocą MES).

3. Metody oceny stateczności oparte na analizie równowagi granicznej

W obliczeniach stateczności najczęściej wykorzystywane są metody równowagi granicznej.

Opierają się one na założeniu:

• płaskiego stanu odkształcenia i naprężenia,

• hipotezy wytrzymałościowej Coulomba-Mohra,

• niezależności parametrów wytrzymałościowych
  i
  od czasu,

• występowania wzdłuż całej powierzchni poślizgu jednakowych przemieszczeń.

Podstawowym założeniem metod równowagi granicznej jest to, że zniszczenie zbocza następuje na skutek poślizgu bryły gruntu po określonej powierzchni zniszczenia. W chwili zniszczenia wytrzymałość na ścinanie gruntu jest całkowicie zmobilizowana wzdłuż całej powierzchni zniszczenia, a cała bryła i poszczególne jej części są w stanie równowagi statycznej. Wytrzymałość gruntu na ścinanie jest zwykle opisywana warunkiem zniszczenia Coulomba-Mohra:

(w analizie w warunkach naprężeń całkowitych)

(w analizie w warunkach naprężeń efektywnych)

Najczęściej stosowaną metodą równowagi granicznej jest metoda pasków, w której masyw potencjalnego osuwiska jest dzielony na pionowe paski lub kolumny w zależności od tego, czy sytuacja rozpatrywana jest na płaszczyźnie, czy w przestrzeni. W większości stosowanych metod, do obliczeń przyjmuje się płaski stan odkształceń, a grubość paska wynosi jeden metr. Założenie to sprawia, iż w praktyce rozpatrywana jest bryła o określonym kształcie na płaszczyźnie i o nieskończonej długości. Jest to założenie działające po stronie bezpiecznej, gdyż przeprowadzone analizy wskazują, iż w większości przypadków współczynnik stateczności obliczony w przestrzeni jest wyższy niż ten obliczony dla płaszczyzny.

W metodzie równowagi granicznej współczynnik stateczności jest definiowany jako współczynnik przy którym wytrzymałość gruntu wzdłuż powierzchni poślizgu zostanie zredukowana do wartości, przy której masa gruntu znajdzie się w stanie równowagi granicznej.

Wartość współczynnika stateczności można uzyskać z trzech równań:

• suma rzutów sił na kierunek pionowy równa się zero:

(3.1)

• suma rzutów sił na kierunek poziomy równa się zero:

(3.2)

• suma momentów względem środka obrotu równa się zero:

(3.3)

W zależności od tego, czy współczynnik obliczony jest z sumowania sił, czy z sumowania momentów - opisywany jest on symbolem
lub
.

Metody równowagi granicznej mogą być grupowane ze względu na różne czynniki. Podział metod został przedstawiony w Tabeli 1.

Pierwszym kryterium jest cylindryczna lub niecylindryczna powierzchnia poślizgu. Oprócz tego metody można podzielić na wykorzystujące ogólną równowagę sił lub równowagę momentów. Należy zwrócić uwagę, że wyraźny podział występuje w metodach prostszych. Nowsze rozwiązania są bardziej skomplikowane, ale i bardziej uniwersalne, znajdują szersze zastosowanie w praktyce inżynierskiej.

W dalszej części tego rozdziału zostaną scharakteryzowane najpowszechniej znane metody równowagi granicznej.

Tabela 1 Podział metod analizy granicznej.

Metoda	Powierzchnia cylindryczna	Powierzchnia niecylindryczna	Równowaga momentów	Równowaga sił	Założenia dotyczące sił międzypaskowych
Szwedzka	*		*		Wypadkowa równoległa do podstawy paska
Bishopa	*	(*)	*		Poziome
Janbu uproszczona	(*)	*		*	Poziome
Spencera	*	(*)	*	*	Stałe nachylenie
Morgensterna-Price'a	*	*	*	*	X/E = λ·f(x)
Janbu dokładna	*	*	*	*	Zdefiniowana linia ciśnień
Fredlunda-Krahna (GLE)	*	*	*	*	X/E = λ·f(x)

1. Metoda szwedzka

Metoda szwedzka [6,7] jest najprostszą metodą pasków, umożliwiającą nawet obliczenia odręczne. Podstawowe założenie brzmi, że wypadkowa Q sił działających na boki paska Z_L, Z_R (rys. 2.1) wywołuje moment tylko dla danego paska. Ze względu na wewnętrzny charakter działania sił międzypaskowych ich moment względem dowolnego punktu musi być równy zero. Takie założenie powoduje, że kierunek działania siły Q jest równoległy do podstawy rozpatrywanego paska. Zatem wartość siły normalnej P po zsumowaniu rzutów sił na kierunek normalny do podstawy paska będzie zależna jedynie od ciężaru paska:

Obliczenie zsumowanych dla całej bryły momentów sił względem środka obrotu doprowadza do wyznaczenia współczynnika stateczności F_m.

Rys. 2.1. Założenia w metodzie szwedzkiej

Właściwości gruntu: c', φ', γ

W podstawie paska:

• całkowite naprężenie normalne σ,

• naprężenie styczne τ,

• ciśnienie wody w porach u

Kryterium zniszczenia:

Zmobilizowana wytrzymałość na ścinanie:
, gdzie F - współczynnik stateczności

Jeśli
i
to

gdzie:

Zakładamy, że wypadkowa sił międzypaskowych Q jest równoległa do podstawy paska.

Wobec tego

Warunek ogólnej równowagi momentów względem punktu O:

a więc

stąd

Zastępując P:

Równanie nie zawiera F po prawej stronie, dlatego łatwo je rozwiązać za pomocą odręcznych obliczeń. Jednak nieprawdziwe założenia dotyczące sił międzypaskowych mogą spowodować błędy w oszacowaniu F dochodzące nawet do 60% [8].

2. Metoda Bishopa

Bishop [10] zaprezentował swoją metodę z przeznaczeniem dla cylindrycznych powierzchni poślizgu (rys. 2.2), ale może ona być także stosowana do powierzchni dowolnych po określeniu umownego środka obrotu. W założeniu tej metody styczne siły międzypaskowe mogą być pominięte. Całkowita siła normalna działa w środku podstawy każdego paska i jest obliczana poprzez zrzutowanie sił w kierunku pionowym.

Rys. 2.2. Założenia do uproszczonej metody Bishopa

Właściwości gruntu: c', φ', γ

W podstawie paska:

• całkowite naprężenie normalne σ,

• naprężenie styczne τ,

• ciśnienie wody w porach u

Kryterium zniszczenia:

Zmobilizowana wytrzymałość na ścinanie:
, gdzie F - współczynnik stateczności

Jeśli
i
to

gdzie:

Suma rzutów pionowych:

Przy założeniu: X_R = X_L = 0 (pionowe siły międzypaskowe)

otrzymujemy:

gdzie:

Warunek ogólnej równowagi momentów względem punktu O:

a więc

stąd

W ostatnim równaniu współczynnik F występuje po obydwu stronach (po prawej ukryty w wartości P), dlatego też rozwiązanie uzyskujemy metodą iteracyjną. Zgodność wyników następuje dość szybko, po dwóch, trzech krokach obliczeniowych.

3. Uproszczona metoda Janbu

W uproszczonej metodzie Janbu [11], przeznaczonej dla powierzchni dowolnych (rys. 2.3), założono, że styczne siły międzypaskowe są równe zero. Dlatego też siła normalna działająca na podstawę każdego paska jest obliczana tak samo, jak w metodzie Bishopa. Współczynnik stateczności F_o uzyskujemy w wyniku sprawdzenia warunku równowagi sił poziomych.

Współczynnik poprawkowy f_o został wprowadzony w celu uwzględnienia efektu stycznych sił międzypaskowych. Z tego względu współczynnik stateczności obliczamy według wzoru:

W celu uzyskania odpowiednich wartości f_o zweryfikowano tę analizę za pomocą metody dokładnej [12] dla różnych zboczy. Dowiedziono, że f_o zależy od geometrii układu oraz warunków gruntowych i przygotowano odpowiedni nomogram, z którego można odczytać f_o (rysunek 2.4).

Rys. 2.3. Założenia do uproszczonej metody Janbu

Właściwości gruntu: c', φ', γ

W podstawie paska:

• całkowite naprężenie normalne σ,

• naprężenie styczne τ,

• ciśnienie wody w porach u

Kryterium zniszczenia:

Zmobilizowana wytrzymałość na ścinanie:
, gdzie F - współczynnik stateczności

Jeśli
i
to

gdzie:

Suma rzutów pionowych:

Przy założeniu: X_R = X_L = 0 (poziome siły międzypaskowe)

otrzymujemy:

gdzie:

Suma rzutów równoległych do podstawy paska:
,

zakładamy ponownie X_R = X_L = 0, podstawiamy
.

Po przekształceniu:

Warunek ogólnej równowagi sił

Przy braku obciążenia naziomem:

stąd:

i ostatecznie:

Rys. 2.4. Wyznaczanie współczynnika poprawkowego f₀

4. Metoda Spencera

Spencer [13] zaprezentował swą metodę z przeznaczeniem dla powierzchni cylindrycznych (rys. 2.5), ale może ona być stosowana dla powierzchni niecylindrycznych przy założeniu umownego środka obrotu. Siły międzypaskowe w tej metodzie są nachylone pod założonym, stałym w całym zboczu kątem θ, obliczanym ze wzoru:

Siła normalna działająca na podstawę paska jest równa:

Rys. 2.5. Założenia do metody Spencera

Dzięki rozpatrywaniu równowagi sił i równowagi momentów uzyskujemy dwie wartości współczynnika stateczności F_f i F_m. Wartość kąta θ wyznaczamy z wykresu (przykład - rys. 2.6) przy wartości F_f = F_m będącej współczynnikiem stateczności zbocza. Z rysunku widać, że współczynnik F_m jest praktycznie niezależny od sił międzypaskowych, co potwierdza teorię Bishopa.

Rys. 2.6. Wpływ kąta θ na zmiany współczynników F_f i F_m

5. Metoda Morgensterna-Price'a

Morgenstern i Price [14] opracowali metodę mającą zastosowanie zarówno dla cylindrycznych jak i niecylindrycznych powierzchni poślizgu. Autorzy przyjęli, że naprężenia i siły zmieniają się w sposób ciągły wzdłuż powierzchni poślizgu. Następnie, określając siły prostopadłe i równoległe do podstawy każdego paska, sformułowali ogólne równania równowagi. Zależność pomiędzy międzypaskowymi siłami stycznymi X a siłami normalnymi E została przyjęta w sposób następujący:

Gdzie f(x) jest funkcją rozkładu zmienności nachylenia kierunków sił międzypaskowych a λ jest współczynnikiem obliczeniowym. Wartości F i λ (przy założonej funkcji f(x)) spełniające warunki równowagi sił i równowagi momentów umożliwiają określenie współczynnika stateczności F = F_f = F_m.

W obliczeniach mogą być wykorzystane różne postacie funkcji f(x) - rys.2.7. Morgenstern i Price dowiedli, że wybór funkcji f(x) nie ma zbyt dużego wpływu na wartość współczynnika stateczności pod warunkiem, że funkcja odzwierciedla rzeczywiste warunki. Potwierdzone to zostało także przez Fredlunda i Krahna [9]. Wybór funkcji f(x) może być oparty na założeniach dotyczących rozkładu naprężeń normalnych na stykach pasków. Założenia z tej metody dotyczące sił międzypaskowych zostały z powodzeniem wykorzystane przez Fredlunda i Krahna w metodzie GLE (patrz p.).

Rys. 2.7. Przykłady funkcji nachylenia sił międzypaskowych.

6. Metoda Janbu - dokładna

Podstawową różnicą pomiędzy metodą uproszczoną a dokładną jest uwzględnienie w tej ostatniej sił międzypaskowych różnych od zera, działających na pasek w określonym punkcie.

7. Metoda ogólna (GLE - General Limit Equilibrium)

Fredlund i Krahn [9] opracowali ogólną metodę formułowania i rozwiązywania równań równowagi przedstawioną na rysunku 2.7. Sformułowania są bardzo podobne dla powierzchni cylindrycznych i niecylindrycznych, z tą różnicą, że dla powierzchni dowolnych przyjmowany jest umowny środek obrotu. Dwie wartości współczynników bezpieczeństwa F_m i F_f są uzyskiwane w wyniku oddzielnych analiz równowagi momentów i równowagi sił.

Siła normalna działająca na podstawę każdego paska jest obliczana z równania:

gdzie:

Rys. 2.7. Założenia do metody ogólnej (GLE)

Właściwości gruntu: c', φ', γ

W podstawie paska:

• całkowite naprężenie normalne σ,

• naprężenie styczne τ,

• ciśnienie wody w porach u

Kryterium zniszczenia:

Zmobilizowana wytrzymałość na ścinanie:
, gdzie F - współczynnik bezpieczeństwa

Jeśli
i
to

gdzie:

Suma rzutów pionowych:

Po przekształceniu i podstawieniu za T otrzymujemy:

gdzie:

Nomogram do określania wartości funkcji m_α jest przedstawiony na rysunku 2.8.

Rys 2.8. Nomogram do wyznaczania współczynnika m_α

Suma rzutów poziomych:

Po przekształceniu i podstawieniu za T otrzymujemy:

Warunek ogólnej równowagi momentów względem punktu O:

Po przekształceniu i podstawieniu za T otrzymujemy:

Dla powierzchni cylindrycznych f = 0 d = R ·sinα R = const

a więc:

Ogólny warunek równowagi sił:

Przy braku zewnętrznego obciążenia powierzchniowego:

równanie równowagi przybierze postać:

a więc:

Do obliczenia współczynników bezpieczeństwa F_f , F_m konieczna jest znajomość siły P, a to z kolei wymaga wyznaczenia wartości sił międzypaskowych X_R, X_L. Zadania tego nie da się rozwiązać bez przyjęcia pewnych założeń, które różnią między sobą metody opisywane poprzednio:

Bishop (1955)

Spencer (1967)

Morgenstern and Price (1965)

Przegląd metod analizy stateczności 6

5

Analiza stateczności nasypu na podłożu organicznym

Przegląd metod analizy stateczności 14

Analiza stateczności nasypu na podłożu organicznym 7

---