I ROK
ZADANIA Z ALGEBRY Z GEOMETRIĄ – Lista nr 5.
1. Wektory p i q o długościach odpowiednio 1 i 2 tworzą kąt α=π/3. Obliczyć kąt między wektorami a = p – q i 2p + q.
2. W prostokątnym układzie współrzędnych dane są wektory:
a = [1 , 2 ] ; b = [ -1, 0 ] i c = [ 4, 2 ].
a. Obliczyć długość wektora 2a – 2b + c,
b. Znaleźć a b , a c oraz a ( b c) .
c. Obliczyć cosinus kąta między wektorami : a i c oraz 2 a i c 4 . Jaka jest
zależność między tymi wartościami i dlaczego?
d. W układzie współrzędnych OXY narysować wektory a , b , c , przyjmując, że wektory te są zaczepione odpowiednio w punktach A(1, 1); B(1, -1); C(0, 0).
3. Dane są punkty A(1,1), B(3,2) i C(0,4). Znaleźć cosinus kąta przy wierzchołku A w trójkącie ABC.
4. Dane są trzy wektory a = [ 1, 1 ], b = [-1, 2 ], c = [ 2, 5]. Dobrać tak liczby α i β aby z wektorów αa, βb i c można było zbudować trójkąt.
5. Na prostej przechodzące przez punkty A(x
) Znaleźć punkt S spełniający
1,y1) i B(x2,y2
warunek AS = λSB, gdzie λ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Czym jest punkt S gdy λ=1?
6. Korzystając z wyników zadania 6 znaleźć współrzędne punktu S leżącego po przeciwnej stronie punktu B(2,3) niż punkt A(-1,-1) w odległości od A dwukrotnie większej niż AB .
7. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD: A(0,0), B(3,1), D(-1,1). Znaleźć współrzędne wierzchołka C oraz punkt przecięcia się przekątnych tego równoległoboku.
8. Dany jest punkt A(2,3) i środek S(-1,3) odcinka AB. Wyznaczyć współrzędne punktu B.