11. CA LKOWANIE NA P LASZCZY´

ZNIE ZESPOLONEJ (cz

,

e´

s´

c 2)

1. Obliczy´

c

Z

C(−2,

1
4

)

e

z

(z

2

− 4)

2

dz.

2. Obliczy´

c

Z

γ

R

dz

1 + z

10

,

gdzie γ

R

jest brzegiem wycinka S = {re

iφ

: r ∈ [0, R], φ ∈ [0,

π

5

]}. Nast

,

epnie obliczy´

c

Z

∞

0

dx

1 + x

10

.

3. Niech f b

,

edzie funkcj

,

a holomorficzn

,

a w g´

ornej p´

o lp laszczy´

znie {z ∈ C : Imz ≥ 0} poza

sko´

nczon

,

a ilo´sci

,

a punkt´

ow a

1

, a

2

, .., a

n

takich, ˙ze Ima

k

6= 0 dla k = 1, .., n. Za l´

o˙zmy, ˙ze f jest

rzeczywista dla z rzeczywistych oraz, ˙ze spe lnia warunek:

∃r

0

, M > 0 ∃α > 1 ∀r > r

0

|z| ≥ r ⇒ |f (z)| ≤

M

|z|

α

.

Wykaza´

c, ˙ze w´

owczas istnieje ca lka

R

+∞

−∞

f (x)dx i wyra˙za si

,

e wzorem:

Z

+∞

−∞

f (x)dx = 2πi

n

X

k=1

res

a

k

f (z).

4. Niech

I =

Z

∞

0

1

1 + x

4

dx.

Czy nast

,

epuj

,

ace rozumowanie jest poprawne?

N iech y = ix, wtedy I =

R

∞

0

1

1+y

4

dy = iI, zatem I = 0.

Jesli nie, to obliczy´

c I.

5. Korzystaj

,

ac z metod analizy zespolonej obliczy´

c

Z

∞

0

dx

(x

2

+ 1)

2

(x

2

+ 4)

.

6. Korzystaj

,

ac z tw.Cauchy o residuach obliczy´

c

Z

2π

0

dϕ

(2 + cos ϕ)

2

.

7. Korzystaj

,

ac z metod analizy zespolonej obliczy´

c

Z

+∞

−∞

cos x

x

2

+ x + 1

dx.

8. * Obliczy´

c

Z

∞

0

e

−2ix

1 + x

4

dx.

9. * Obliczy´

c

Z

∞

0

ln x

1 + x

2

dx.

10. * Obliczy´

c

Z

∞

0

√

x

1 + x

3

dx.

11. Niech

f (z) = π

ctgz

z

2

.

Obliczy´

c

R

γ

N

f (z)dz, gdzie γ

N

jest brzegiem kwadratu o wierzcho lkach (±1 ± i)(N +

1
2

).

Wykorzystuj

,

ac otrzymany wynik udowodnic, ˙ze

∞

X

n=1

1

n

2

=

π

2

6

.

12. * Udowodni´

c, ˙ze

Z

∞

0

cos(x

2

)dx =

Z

∞

0

sin(x

2

)dx =

r π

8

.