9. CA LKOWANIE NA P LASZCZY´

ZNIE ZESPOLONEJ (cz

,

e´

s´

c 1)

1. Obliczy´

c

a)

Z

γ

¯

zdz,

gdzie γ jest lukiem paraboli y = x

2

od punktu (0, 0) do punktu (1, 1),

b)

Z

γ

z

¯

z

dz,

gdzie γ jest g´

ornym p´

o lokr

,

egiem |z| = 2 zorientowanym dodatnio.

2. Obliczy´

c

Z

C(0,1)

(Imz)

2

dz,

gdzie C(0, 1) jest okr

,

egiem o ´srodku w punkcie z = 0 i promieniu 1 zorientowanym dodatnio.

3. Nie korzystaj

,

ac z tw.Cauchy obliczy´

c

R

γ

z

2

dz, gdzie γ jest brzegiem g´

ornego p´

o lkola

A = D(0, 1) ∩ {z : Imz ≥ 0} zorientowanym dodatnio.

4. Obliczy´

c

R

C(0,1)

|z − 1||dz|.

5. Korzystaj

,

ac ze wzoru ca lkowego Cauchy obliczy´

c

Z

C(i,1)

z

2

z

2

+ 1

dz.

6. Obliczy´

c

Z

C(0,2)

e

iπz/2

z

2

− 1

dz.

7. Udowodni´

c, ˙ze je´sli f jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w obszarze zawieraj

,

acym dysk D(z, r)

to

f (z) =

1

2π

Z

2π

0

f (z + re

it

)dt.

(twierdzenie o warto´

sci ´

sredniej funkcji holomorficznej)

8. Niech g ladki kontur γ b

,

edzie brzegiem obszaru o polu A. Udowodni´

c, ˙ze

R

γ

xdz = iA.

9. * Niech γ b

,

edzie krzyw

,

a zamkni

,

et

,

a kawa lkami g ladk

,

a i niech a /

∈ γ. Definiujemy

n(γ, a) =

1

2πi

Z

γ

dz

z − a

tj. indeks punktu wzgl

,

edem krzywej γ.

Wykaza´

c, ˙ze n(γ, a) jest liczb

,

a ca lkowit

,

a.

10. Niech γ b

,

edzie krzyw

,

a o parametryzacji γ(t) = a + e

2πint

,

t ∈ [0, 1] (czym jest ta

krzywa?). Obliczy´

c n(γ, a).