03 ruch na płaszczyźnie

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3-1

Wykład 3

3. Ruch na płaszczyźnie

Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y. Np.

y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można trak-
tować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.

3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.

Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r; prędkość wektor v; przyspiesze-

nie wektor a. Wektory r, v, a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić (za
pomocą

wersorów

i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci

y

x

y

x

y

x

a

a

t

t

t

t

y

t

x

t

y

x

j

i

j

i

a

j

i

j

i

r

j

i

r

+

=

+

=

=

+

=

+

=

=

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

v

v

v

v

v


Czy trzeba stosować rozkładanie wektorów na składowe?

Przykład 1

Żaglówka płynąca pod wiatr (pod kątem 45

°

do kierunku wiatru). Siła, którą wiatr dzia-

ła na żagiel, popycha łódkę prostopadle do płaszczyzny żagla. Ze względu na kil (i ster)
łódź może poruszać się wzdłuż osi kila. Składowa siły w tym kierunku (F

x

) ma zwrot

w kierunku ruchu.

Ruch ze stałym przyspieszeniem oznacza, że nie zmienia się kierunek ani wartość przy-
spieszenia tzn. nie zmieniają się również składowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej
leżącej na płaszczyźnie.
Rozpoczniemy od napisania równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego

o

ś kila

żagiel

F

x

wiatr

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3-2

a = const
v

= v

0

+ at

r = r

0

+ v

0

t + (1/2) at

2


Prześledźmy teraz dodawanie wek-
torów na wykresie. Przykładowo
punkt porusza się z przyspiesze-
niem a = [2,1], prędkość począt-
kowa v

0

= [1,2], a położenie po-

czątkowe, r

0

= [1,1]. Szukamy po-

łożenia ciała np. po t = 1s i t = 3s
dodając odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powyższe równania wektorowe
równoważne równaniom w postaci
skalarnej:

Równania opisujące ruch wzdłuż
osi x

Równania opisujące ruch wzdłuż
osi y

a

x

= const

v

x

= v

x0

t + a

x

t

x = x

0

+ v

x0

t + (1/2) a

x

t

2

a

y

= const

v

y

= v

y0

t + a

y

t

y = y

0

+ v

y0

t + (1/2) a

y

t

2


Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem jest
rzut ukośny.

3.2 Rzut ukośny

Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem g [0, -g] skierowanym w dół. Jest

opisywany przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu
współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r

0

= 0.

Prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v

0

i tworzy z kąt

θ z dodatnim kierun-

kiem osi x. Zadaniem naszym jest: znaleźć prędkość i po-
łożenie ciała w dowolnej chwili, opisać tor, znaleźć za-
sięg. Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysun-
kiem) wynoszą odpowiednio

v

x0

= v

0

cos

θ

i

v

y0

= v

0

sin

θ

Prędkość w kierunku x (poziomym)

v

x

= v

x0

+ a

x

t


ponieważ a

x

= 0 więc: v

x

= v

0

cos

θ, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (składowa

x prędkości jest stała)

r

0

v

0

t

½at

2

θ

v

0

v

0

cos

θ

v

0

sin

θ

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3-3

W kierunku y (pionowym)

v

y

= v

y0

+ a

y

t

ponieważ g

y

= -g więc

v

y

= v

0

sin

θ – gt


Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi

2

2

y

x

v

v

v

+

=

więc

2

2

0

2

0

sin

2

t

g

gt

+

=

θ

v

v

v

(3.1)


Teraz obliczamy położenie ciała

x = v

0x

t

czyli

x = v

0

cos

θ t

(3.2)

y = v

0y

t+(1/2)a

y

t

2

czyli

y =

v

0

sin

θ t – (1/2)gt

2

(3.3)


Długość wektora położenia r można teraz obliczyć dla dowolnej chwili t z zależności

2

2

y

x

r

+

=


Sprawdźmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej
y(x).
Mamy równania x(t) i y(t). Równanie y(x) obliczymy eliminując t z równań (3.2) i (3.3).
Z równania (3.2)

t = x/v

0

cos

θ


więc równanie (3.3) przyjmuje postać

2

2

0

)

cos

(

2

)

(tg

x

g

x

y

θ

θ

v

=

(3.4)


Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca ze-
rowe

Z = 0

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3-4

oraz

θ

θ

θ

2

sin

cos

sin

2

2

0

2

0

g

g

Z

v

v

=

=

(3.5)


Z równania (3.4) wynika, że zasięg jest maksymalny gdy

θ = 45

°

.

Zauważmy, że omawiany ruch odbywa się po linii krzywej.

W poprzednich wykładach mówiliśmy o przyspieszeniu zmieniającym wartość prędko-
ści, a nie jej kierunek (zwrot). Mówiliśmy o

przyspieszeniu stycznym

.

Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy

wartość

prędkości się nie zmienia a zmienia się

kieru-

nek

.

3.3 Ruch jednostajny po okręgu

Rozważmy zamieszczony obok rysunek. Punkt

P - położenie punktu materialnego w chwili t, a
P' - położenie w chwili t +

t. Wektory v, v' mają jedna-

kowe długości ale różnią się kierunkiem; są styczne do
toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.

Przerysujmy wektory v i v' zaznaczając zmianę

prędkości

v

. Zauważmy, że kąt pomiędzy tymi wekto-

rami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zazna-

czone trójkąty są podobne więc :

r

l

=

v

v

, gdzie l jest

długością łuku (pod warunkiem, że l bardzo małe (l

0)).

Stąd

v

= vl/r.

a ponieważ

l = v

t

więc

v

= v

2

t/r

Ostatecznie

a =

v

/

t

więc

r

a

2

v

=

(3.6)


To przyspieszenie nazywamy

przyspieszeniem normalnym

(w odróżnieniu od stycznego)

bo jest prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do toru
jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również

przyspie-

szeniem dośrodkowym

. Przyspieszenie

normalne

zmienia

kierunek

prędkości.

Często wyraża się to przyspieszenie przez okres T. Ponieważ

v

= 2

π

r/T

więc

a = 4

π

2

r/T

2

θ

r

O

P

P'

v

v'

v

v'

v

θ

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3-5

Przykład 2

Jakiego przyspieszenia dośrodkowego, wynikającego z obrotu Ziemi, doznaje ciało

będące na równiku? R

Z

= 6370 10

3

m, T = 8.64 10

4

sec.

a = 0.0034 m/s

2

.


Stanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s

2

.

Przy założeniu, że Ziemia jest kulą waga na równiku jest mniejsza (np. łatwiej pobić
rekord w skoku wzwyż).

Prześledźmy teraz przykład, w którym zmienia się i

wartość

i

kierunek

prędkości.

Wracamy do rzutu ukośnego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmianę
zarówno wartości prędkości jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przyspieszenia stycznego i normalnego (jako

składowych g jest przedstawiona poniżej.
Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia.
a) Przyspieszenie styczne

t

a

s

d

dv

=


Przypomnijmy, że zależność v(t) w rzucie ukośnym jest dana równaniem (3.1)

(

2

2

0

2

0

sin

2

t

g

gt

+

=

θ

v

v

v

).

Stąd

g

t

g

gt

gt

a

S

2

2

0

2

0

0

sin

2

sin

+

=

θ

θ

v

v

v


b) Przyspieszenie dośrodkowe
Jak wynika z rysunku

2

2

s

r

a

g

a

=

lub

r

a

2

v

=

ale trzeba umieć obliczyć promień krzywizny w każdym punkcie toru.

g

a

s

a

r

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3-6


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
03 Ruch na płaszczyźnieid 4473
03 Ruch na płaszczyźnie
Ruch na płaszczyźnie
materiay na egzamin ustny - prowadzenie zajec, 03.Ruch pieszych
14 Astrometria na plaszczyznie sty (2)
Jak zwiększyć ruch na stronie
8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej
120 porad Jak zwiększyć ruch na stronie WWW
Jak zwiększyć ruch na stronie www
Jak zwiększyć ruch na stronie WWW 120 praktycznych wskazówek (2)
liczby zespolone na płaszczyźnie2
11 całkowanie na płaszczyźnie zespolonej 2
figury na płaszczyźnie1

więcej podobnych podstron