Prosty oscylator harmoniczny - równanie ruchu F = ma i F = -kx,
2
d x
− kx = ma = m 2
dt
lub
F = -kx
2
d x
m
+ kx =
F = 0
0
x = 0
2
dt
x
m
F = -kx
Ruch harmoniczny prosty
2
d x
m
+ kx = 0
równanie
2
dt
x = A cos( ωt + δ ) rozwiazanie
2
k
ω =
m
x = A cos( ωt + δ )
= dx
v
= ω
− A sin( ωt + δ ) dt
2
d x
2
a =
= ω
− A cos( ωt + δ ) 2
dt
k
2
− ω A cos( ωt + δ ) = − A cos( ωt + δ ), m
k
2
a
ω =
oraz
x = A cos( ωt + δ ) m
2 π
x = A cos[ ω( t +
) + δ ] = A cos[ ωt + 2 π + δ ] = A cos( ωt + δ ) ω
Okres ruchu
π
2
m
1
ω
1
k
T =
= π
2
i
f =
=
=
ω
k
T
π
2
π
2
m
π
ω = π
2
2 f =
, ω – czestosc kolowa – jednostka [rad/s], f – czestoscia drgan oscylatora, T
A - amplituda ruchu, (ωt + δ) - faza ruchu, δ– stala fazowa (faza poczatkowa).
x
A
x = A cos( ωt + δ )
= dx
v
= ω
− A sin( ωt + δ ) t
dt
2
d x
2
a =
= ω
− A cos( ωt + δ ) 2
dt
v
-ωA
t
a
-ω2A
t
Energia w prostym ruchu harmonicznym 1
E =
kx 2
i
x = A cos( t ω + δ )
p
2
dE p
dU
F = −
=
= − kx
dx
dx
1
2
1
2
E
p =
kx =
kA cos2 ( ωt + δ ) 2
2
1
dx
k
2
Ek = mv
i
v =
= − A sin( ωt + δ ), 2
gdzie
ω =
wtedy
2
dt
m
1
k
2
1
2
2
2
1
2
2
1
Ek = mv =
mω A sin ( ωt + δ ) =
m
A sin ( ωt + δ ) 2
= kA sin 2( ωt + δ ) 2
2
2
m
2
1
2
1
E
p =
kx
ale
x = A cos( ωt + δ ) 2
czyli
Ep =
kA cos2( ωt + δ ) 2
2
1
2
E = E + E =
kA
k
p
2
1
2
1
2
Ek = mv = kA sin2 ( ωt + δ ) 2
2
1
2
1
2
E
p =
kx =
kA cos2 ( ωt + δ ) 2
2
0
t
1
1
2
2
2
E
= kA = mω A
2
E
= kA
k max
p max
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
E = E + E =
kA sin ( ωt + δ ) + kA cos ( ωt + δ ) =
kA
k
p
2
2
2
1
2
1
2
1
2
E = E + E =
mv +
kx =
kA
czyli
k
p
2
2
2
k
dx
k
2
mv = k( 2
2
A − x )
2
⇒ v = ( 2
2
A − x )
i
v =
= ±
( 2
2
A − x )
m
dt
m
vmax → x = 0
v = 0 → x = A
Wahadlo matematyczne – jako przyklad ruchu harmonicznego F = − mg sin α
sina ~ α i F~α .
x
mg
F = − mg sin α ≈ − mgα = − mg
= −
x = − kx = ma
l
l
α
l
mg
d 2 x
g
2
g
l
k =
,
= − x, ω =
l
dt 2
l
l
R
Okres drgan w ruchu harmonicznym m x = la
m
ml
l
α
T = π
2
= π
2
= π
2
mgsina
k
mg
g
mgcosa
mg O
Wahadlo fizyczne
Punkt
x
obrotu
sin ϕ =
⇒ x = a sin ϕ
ϕ
a
a
M = G ⋅ r M = mg ⋅ r O’
M = - mgasin ϕ i M = I ε
Srodek
2
d ϕ
f
masy
ϕ
mga sin ϕ = I 2
dt
sinf ~ f
G = mg
d 2 ϕ
mga
= −
ϕ
dt 2
I
m – masa wahadla
mga
2
ω =
a – odleglosc masy od osi obrotu I
I – moment bezwladnosci wahadla wzgledem osi obrotu ϕ = ϕ cos( t ϕ – kat wychylenia z polozenia równowagi 0
ω + α)
ω
gdzie
– czestosc kolowa
ϕ0 – amplituda
mga
ω =
α – stala fazowa
I
lr – dlugosc zredukowana
π
2
I
l
I
T
r
=
= π
2
= π
2
gdzie
l =
ω
mga
g
r
ma
Ruch harmoniczny tlumiony (k1 - wspólczynnik oporu osrodka) 2
d x
m
= − kx − dx
k 1
2
dt
dt
T
czyli
x
β
x =
−
x e t cos( ωt + α) 2
d x
k
k dx
0
1
+ x +
= 0
2
dt
m
m dt
i
t
k =
k
ω ,
1 = 2 β
0
m
m
wtedy
2
d x + ω +
dx
x
2 β
= 0
2
0
dt
dt
− t
β
k
x = x e
cos( ω t α )
β
0
+
gdzie
= 1
1
m
2
2
2
k
ω
ω
β
ω
(ω 2>β2)
1 =
0 −
0 =
0
m
Tlumienie λ (T – okres ruchu harmonicznego tlumionego, δ – dekrement tlumienia) x t
( )
β
π
λ =
=
2
e T
gdzie
T =
i
δ = ln λ = βT
x( t + T ) ω
Ruch harmoniczny wymuszony
d 2 x
dx
m
= − kx − k
+ F sin ω t
x0
1
0
2
dt 2
dt
i oznaczymy dodatkowo
F
B
0
=
wtedy
m
ß = 0
d 2 x
2
dx
+ ω x + 2 β
= B sin ω t
dt 2
0
dt
2
x = x0 sin(ω2t – ϕ )
ß ≠ 0 i rosnie
x0, ϕ – wielkosci stale F 0
m
x =
0
ω
( 2
2
ω − ω ) + 4 2 2
β ω
2
0
2
2
2 ω β
k
k
?
tg
2
ϕ =
gdzie
ω =
,
1
β =
0
2
2
0
ω − ω
m
m
2
0
2
dx 0
2
2
= 0 ⇒ ω rez = ω = ω − 2 β , 2
2
0
dω 2
F
0
x rez =
m
0
2
2
2
2
2
ω = ω
rez +
2 β ω − β
2 β
0
2
0