Wykład 7

∗

Fizyka I (Informatyka 2005/06)

22 11 2005

Spis treści

1

Ruch drgający. Dlaczego tylko harmoniczny?

1

2

Drgania harmoniczne proste

2

2.1

Zależność między wychyleniem, prędkością i przyspieszeniem

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2

DEFINICJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.3

Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4

Przedstawienie drgań przy pomocy liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.5

Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3

Drgania harmoniczne tłumione

5

3.1

Założenia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2

Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.3

Dyskusja możliwych postaci rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.3.1

Przypadek 1; ω

2

o

−



β

2m



2

> 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.3.2

Przypadek 2; ω

2

o

−



β

2m



2

= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.3.3

Przypadek 3; ω

2

o

−



β

2m



2

< 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.4

Energia oscylatora tłumionego

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.4.1

Szybkość zmian energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.5

Dobroć oscylatora

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.6

Dekrement logarytmiczny tłumienia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4

Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem

9

UWAGA! Większość rysunków wymaga własnorecznego dopisania oznaczeń!

1

Ruch drgający. Dlaczego tylko harmoniczny?

To drganie z pewnością nie jest harmoniczne

∗

c

Mariusz Krasiński 2005

1

2

DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

2

Ale oto przepis matematyczny jak rozłożyć takie drganie na drgania harmoniczne

y = A



sin x +

1

3

sin 3x +

1

5

sin 5x + ...



= A

∞

X

N =0

1

2N + 1

sin [(2N + 1)x]

Poniżej widmo powyższego drgania

2

Drgania harmoniczne proste

2.1

Zależność między wychyleniem, prędkością i przyspieszeniem

Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu spełnia zależność

x = A cos(ωt + φ)

(może być także sinus)

Prędkość obiektu wynosi wtedy

dx

dt

= v = −Aω sin(ωt + φ)

a przyspieszenie

d

2

x

dt

2

= a =

d

dt

 dx

dt



=

d

dt

(−Aω sin(ωt + φ)) = −Aω

2

cos(ωt + φ) = −ω

2

x

Z ostatniego równania wynika, że w ruchu harmonicznym musi być spełniona zależność

d

2

x

dt

2

= −ω

2

x

(1)

albo po pomnożeniu obu stron przez masę drgającego ciała m

m

d

2

x

dt

2

= F = −mω

2

x

Tak więc aby ciało drgało harmonicznie, siła działająca na nie musi być proporcjonalna do wychylenia lecz
przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.

Rysunek poniżej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia ciała drga-
jącego ruchem harmonicznym prostym

2

DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

3

Zauważ, że wykresy są względem sibie przesunięte!

Drgania ciała na sprężynie jako przykład drgań harmonicznych prostych

W przypadku rozciągania lub ściskania sprężyny, siła sprężystości ma postać

F = −kx

Wychylenie musi więc spełniać równanie

m

d

2

x

dt

2

= − kx czyli

d

2

x

dt

2

= −

k

m

x

Na podstawie równania (1) otrzymamy

ω

2

=

k

m

czyli zależność wychylenia od czasu ma ostateczną postać

x = A cos

r

k

m

t + φ

!

Generalnie równanie ruchu dla ciała o masie m drgającego ruchem harmonicznym prostym ma postać

m

d

2

x

dt

2

= −kx

gdzie k nie musi być współczynnikiem sprężystości, ale może wynikać z innych własności układu wykonującego
drgania.

2.2

DEFINICJE

•

q

k

m

t + φ = ωt + φ nazywamy FAZĄ drgania

• φ jest fazą początkową (czyli taką fazą, która występuje dla t =0 !)

• ω =

q

k

m

jest częstością drgania (czasem zwana częstością kątową lub kołową)

• Okres drgań T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzględniając kierunek ruchu) jest takie

samo jak na początku (obserwacji) x(t) = x(t + T )

• częstość i okres powiązane są zależnością ω =

2π

T

• wielkość f =

1

T

nazywamy częstotliwością

2

DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

4

2.3

Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny)

E =

mv

2

2

+

kx

2

2

=

 m

2

A

2

ω

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)



(2)

Ponieważ w ruchu harmonicznym prostym

ω =

r

k

m

to

k = mω

2

Wykorzystując powyższą zależność w równaniu (2) otrzymamy, że energia całkowita układu drgającego zależy
od amplitudy A i stałej sprężystości k

E =

 k

2

A

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)



=

kA

2

2

sin

2

(ωt + φ) + cos

2

(ωt + φ)

=

kA

2

2

(3)

2.4

Przedstawienie drgań przy pomocy liczb zespolonych

Ogólna postać liczby zespolonej

z = X + iY

gdzie

i =

p

(−1)

Trygonometryczna postać liczby zespolonej

z = R[cos(φ) + i sin(φ)]

Wykładnicza postać liczby zespolonej

z = Re

iφ

= R[cos(φ) + i sin(φ)]

Liczba zespolona sprzężona

• z

*

= Re

−iφ

= R[cos(φ) − i sin(φ)]

• |z|

2

= zz

*

= R

2

• (z

1

± z

2

)

*

= z

*

1

± z

*

2

• (z

1

z

2

)

*

= z

*

1

z

*

2

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

5

Drganie harmoniczne można więc przedstawić w postaci:

x = Ae

i(ωt+φ)

Podobnie jak na początku (sekcja 2.1) wyliczmy, korzystając z zapisu wykorzystującego liczby zespolone, pręd-
kość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym

dx

dt

= v = −Aωe

i(ωt+φ)

d

2

x

dt

2

= a =

d

dt

 dx

dt



=

d

dt



−Aωe

i(ωt+φ)



= −Aω

2

e

i(ωt+φ)

= −ω

2

x

Otrzymaliśmy więc identyczną jak poprzednio zależność pomiędzy przyspieszeniem i wychyleniem ciała drgają-
cego ruchem harmonicznym prostym

d

2

x

dt

2

= −ω

2

x

2.5

Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

dopisz komentarze na wykładzie

3

Drgania harmoniczne tłumione

3.1

Założenia modelu

Rozpatrzymy jedynie przypadek gdy siła oporu (tłumienia) jest proporcjonalna do prędkości

~

F

op

= −β~

v

(4)

(!! Kiedy wolno tak napisać?)

Równanie ruchu drgającego z tłumieniem przyjmie wtedy postać

m

d

2

x

dt

2

= −kx − βv

czyli

d

2

x

dt

2

+

β

m

dx

dt

+

k

m

x = 0

(5)

a po wprowadzeniu oznaczenia

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

6

k

m

= ω

o

2

(dlaczego tak ?)

otrzymujemy

d

2

x

dt

2

+

β

m

dx

dt

+ ω

2

o

x = 0

(6)

3.2

Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych

Postulujemy, że rozwiązanie równania (6) ma postać

x = Be

iωt

(7)

Odpowiednie pochodne wyrażenia (7) wynoszą

dx

dt

= Biωe

iωt

= iωx

(8)

d

2

x

dt

2

=

d

dt

 dx

dt



= (iω)

2

Be

iωt

= −ω

2

x

(9)

Podstawiając (8) i (9) do równania (6) otrzymujemy

−ω

2

x +

β

m

iωx + ω

o

2

x = 0

czyli

ω

2

−

iβ

m

ω − ω

o

2

= 0

(10)

Równanie (10) jest zwykłym równaniem kwadratowym, z którego moża wyliczyć ω

“Delta” dla tego równania wynosi

∆ =

 iβ

m



2

+ 4ω

2

o

= 4ω

2

o

−

 β

m



2

a rozwiązania równania (10) mają postać

ω =

β

m

i ±

r

4ω

2

o

−



β

m



2

2

=

β

2m

i ±

s

ω

2

o

−



β

2m



2

(11)

3.3

Dyskusja możliwych postaci rozwiązania

3.3.1

Przypadek 1; ω

2

o

−



β

2m



2

> 0

Oznaczając

ω

0

=

s

ω

2

o

−



β

2m



2

> 0

i podstawiając wynik (11) do równania (7) otrzymujemy

x = Ae

i

(

β

2m

i∓ω

0

)

t

= Ae

−

β

2m

t

e

±iω

0

t

= Ae

−

β

2m

t

[cos(ω

0

t) ± i sin(ω

0

t)]

Część rzeczywista x (niezależnie od znaku w wykładniku) ma postać

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

7

x = Ae

−

β

2m

t

cos(ω

0

t) = Ae

−

β

2m

t

cos(

s

ω

2

o

−



β

2m



2

t)

(12)

Wykres zależności (12) przedstawiono poniżej

Drgania harmoniczne tłumione w przestrzeni fazowej

3.3.2

Przypadek 2; ω

2

o

−



β

2m



2

= 0

Rozwiązanie równania (6) ma wtedy postać (aby zrozumieć postać tego rozwiązania trzeba wiedzieć trochę więcej
o równaniach różniczkowych)

x =



A + Bi



b

2m

i



t



e

i

(

β

2m

i

)

t

=



A − B

b

2m

t



e

−

β

2m

t

(13)

i przedstawia ruch aperiodyczny. Tłumienie odpowiadające warunkowi powyżej nazywamy tłumieniem krytycz-
nym

3.3.3

Przypadek 3; ω

2

o

−



β

2m



2

< 0

Ponieważ wyrażenie

ω

2

o

−



β

2m



2

< 0

jest ujemne więc możemy je przekształcić w następujący sposób

s

ω

2

o

−



β

2m



2

=

v
u
u
t

−1



β

2m



2

− ω

2

o

!

=

√

−1

s



β

2m



2

− ω

2

o

= iω

00

(14)

gdzie

ω

00

=

s



β

2m



2

− ω

2

o

jest wielkością dodatnią.

Podstawiając (14) do (7) otrzymujemy

x = Ae

i

(

β

2m

i∓iω

00

)

t

= Ae

−

β

2m

t

e

±ω

00

t

(15)

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

8

i to także nie jest równanie ruchu periodycznego (dyskusja wykład ). Układ, którego zachowanie może być
opisane równaniem (15) nazywamy układem przetłumionym.

Rysunek poniżej przedstawia na jednym wykresie zachowanie układu tłumionego, układu z tłumieniem krytycz-
nym oraz układu przetłumionego.

dodaj opisy samodzielnie!

Sposób w jaki drga układ tłumiony, w zależności od wielkości tłumienia β, można przedstawić na trójwymiaro-
wym wykresie

W dalszym ciągu zajmiemy się tylko przypadkiem 1 czyli ruchem drgającym (periodycznym)

3.4

Energia oscylatora tłumionego

Korzystając z równania (3) na energię oscylatora harmonicznego oraz z postaci zależności wyhylenia od czasu
dla ruchu tłumionego w przypadku małego β (12) możemy zapisać, że całkowita energia oscylatora tłumionego
wynosi

E =

1

2

k(Amplituda)

2

=

1

2

k



Ae

−

β

2m

t



2

=

1

2

kA

2

e

−

β

m

t

=

1

2

kA

2

e

−

t

τ

(16)

gdzie τ =

m

β

jest czasem relaksacji

3.4.1

Szybkość zmian energii

Na podstawie równania (16) możemy obliczyć szybkość zmian energii w ruchu harmonicznym tłumionym.

dE

dt

=

d

dt

 1

2

kA

2

e

−

t

τ



=

1

2

kA

2



−

1

τ



e

−

t

τ

= −

1

τ

E

(17)

3.5

Dobroć oscylatora

Dobrocią oscylatora nazywamy wielkość zdefiniowaną jako

Q = 2π

energia zmagazynowana

energia tracona w jednym okresie

4

DRGANIA HARMONICZNE WYMUSZONE Z TŁUMIENIEM

9

Biorąc pod uwagę definicję dobroci oraz zależność (17) możemy zapisać

Q = 2π

E




dE

dt




T

= 2π

E

1
τ

ET

=

2π

T

τ = ω

0

τ

3.6

Dekrement logarytmiczny tłumienia

Dekrementem logarytmicznym tłumienia nazywamy wielkość będącą logarytmem stosunku amplitudy wystę-
pującej w dowolnej chwili t podczas drgania tłumionego do amplitudy w chwili t + T . Wielkość ta wynosi
więc

Λ = ln



A

n

A

n+1



= ln

Ae

−

β

2m

t

Ae

−

β

2m

(t+T )

!

= ln



e

β

2m

T



=

β

2m

T

i jest niezależna od czasu.

4

Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem

Rozpatrzymy najprostszy przypadek gdy siła wymuszająca jest harmoniczna czyli ma postać

F = F

0

cos(ωt)

lub stosując zapis przy pomocy liczb zespolonych

F = F

0

e

iωt

Równanie ruchu będzie miało wtedy postać:

m

d

2

x

dt

2

+ b

dx

dt

+ kx = F

0

e

iωt

(18)

Postulujemy rozwiązanie postaci:

x = Be

iωt

(19)

(dlaczego?)

Licząc podobnie jak w przypadku ruchu tłumionego odpowiednie pochodne położenia (zależność (19)) otrzy-
mamy:

dx

dt

= Biωe

iωt

= iωx

(20)

d

2

x

dt

2

=

d

dt

 dx

dt



= (iω)

2

Be

iωt

= −ω

2

x

(21)

Po podstawieniu zależności (20) i (21) do równania głównego (18) otrzymamy:

−mω

2

x + biωx + kx = F

0

x

B

a stąd

B =

F

0

m

k

m

− ω

2

+ iωb

=

F

0

m(ω

0

2

− ω

2

) + iωb

(22)

Mianownik zależności (22) jest liczbą zespoloną i ma postać X + iY . Można go więc zapisać w inny sposób
(zobacz rozdzial 2.4) jako

mianownik =

p

X

2

+ Y

2

e

iφ

=

p

m

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

b

2

e

iφ

(23)

4

DRGANIA HARMONICZNE WYMUSZONE Z TŁUMIENIEM

10

gdzie tg φ =

Y

X

(zobacz rysunek w części dotyczącej liczb zespolonych (2.4) )

Korzystając z zależności (23) możemy równanie (22) przepisać w postaci:

B =

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

b

2

e

iφ

(24)

Podstawiając B wyliczone z równania (24) do ogólnej postaci rozwiązania (19) otrzymamy ostateczne

x = Be

iωt

=

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

b

2

e

−iφ

e

iωt

=

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

b

2

e

i(ωt−φ)

(25)

Amplituda drgań przedstawionych przy pomocy równania (25) będzie największa gdy wyrażenie pod pierwiast-
kiem będzie najmniejsze. Łatwo policzyć, że nastąpi to dla częstotliwości (rezonansowej) drgań spełniającej
zależność

ω

2

rez

= ω

2

0

−

b

2

2m

2

W przypadku małego tłumienia (b) otrzymamy

ω

rez

2

≈ ω

0

2

Amplituda drgań będzie wynosić wtedy

(Amplituda)

max

=

F

0

ωb

Wielkość ta może przyjmować bardzo duże wartości, często niemożliwe z uwagi na ograniczoną wytrzymałość
obiektu drgającego.

(dopisz oznaczenia na wykładzie)

Porównując wzory dla siły wymuszającej i wychylenia

F = F

0

e

iωt

x = x

0

e

i(ωt−φ)

zauważyć można, iż drgania układu są przesunięte w fazie względem siły wymuszającej o φ

tgφ =

ωb

m(ω

0

2

− ω

2

)

4

DRGANIA HARMONICZNE WYMUSZONE Z TŁUMIENIEM

11

Ruch wymuszony na wykresie fazowym