3 Dyskretne układy regulacji, rozdział 5 Stabilność układów dyskretnych

background image

Janusz Kacerka

Dyskretne Układy

Regulacji

————————————————————————————————————————

Semestr 5 Elektrotechnika

Rozdział 5

background image

Spis treści

5.STABILNOŚĆ UKŁADÓW DYSKRETNYCH ........................................................................................................................................................................3

5.1 M

ATEMATYCZNE WARUNKI STABILNOŚCI UKŁADÓW DYSKRETNYCH

.........................................................................................................................................3

5.2 K

RYTERIUM STABILNOŚCI

H

URWITZA

.....................................................................................................................................................................................16

5.3 K

RYTERIUM CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

N

YQUISTA

........................................................................................................................................................................19

LITERATURA ...............................................................................................................................................................................................................................32

2

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 5

5.Stabilność układów dyskretnych

Pierwiastki równania charakterystycznego transmitancji układu dyskretnego (4.21)

decydują o przebiegu odpowiedzi dyskretnej tego układu w czasie. Stabilność układu, to

znaczy zdolność układu do powrotu do stanu równowagi, rozważa się bez sygnału

wejściowego, czyli dla układu autonomicznego przy niezerowych warunkach

początkowych.

5.1 Matematyczne warunki stabilności układów dyskretnych

Równanie różnicowe (4.18) układu dla sygnału wejściowego u(n)=0 ma postać

0

)

(

)

1

(

...

)

1

(

)

(

0

1

1

=

+

+

+

+

+

+

+

n

y

a

n

y

a

k

n

y

a

k

n

y

a

k

k

(5.1)

3

Dyskretne Układy Regulacji

Przekształcenie Z równania, po zastosowaniu wzoru na transformatę funkcji

przesuniętej (4.4)

background image

Rozdział 5

(

)

[

]

( )

( )

=

=

+

1

0

k

i

i

k

k

z

i

f

z

F

z

k

n

f

Z

przy niezerowych warunkach początkowych, ma postać

( )

[

]

( )

0

...

0

0

1

1

=

+

+

+

z

W

a

z

a

z

a

z

F

k

k

k

k

(5.2)

Transformata odpowiedzi na warunki początkowe jest określona wzorem

( )

( )

( )

( )

z

M

z

W

a

z

a

z

a

z

W

z

F

k

k

k

k

0

0

1

1

0

...

=

+

+

+

=

(5.3)

Pierwiastki równania M(z)=0 mogą być rzeczywiste lub zespolone sprzężone.

Składniki odpowiedzi f(n) mają postać

( )

( )

0

Im

=

=

i

n

i

i

i

z

z

C

n

f

(5.4)

4

Dyskretne Układy Regulacji

lub

background image

Rozdział 5

( )

( )

( )

(

)

θ

±

θ

θ

+

θ

+

θ

+

=

+

=

+

=

j

n

j

n

j

n

n

j

i

n

j

i

i

re

z

dla

e

e

Cr

re

C

re

C

n

f

1

(5.5)

W zależności od położenia pierwiastków na płaszczyźnie zmiennej zespolonej,

przebiegi składników odpowiedzi mogą zanikać w funkcji czasu aperiodycznie,

oscylacyjnie lub przeciwnie, narastać do nieskończoności.

Przykład 5.1
Dane jest równanie różnicowe (5.6). Należy wyznaczyć przebieg rozwiązania przy

danym warunku początkowym bez wymuszenia.

(

)

( )

( )

k

bu

k

ax

k

x

+

=

+1

(5.6)

Rozwiązanie.

( )

( )

( )

k

bu

a

x

a

k

x

k

i

i

k

k

=

+

=

0

1

0

(5.7)

5

Dyskretne Układy Regulacji

Zakładając, że nie ma wymuszenia otrzymuje się

background image

Rozdział 5

( )

( )

0

x

a

k

x

k

=

(5.8)

Przekształcenie Z równania (5.6), przy wykorzystaniu wzoru na transformatę Z funkcji

przesuniętej (4.4), jest określone wzorem

( )

( )

( )

( )

z

bU

z

aX

zx

z

zX

+

=

0

(5.9)

skąd

( )

( )

( )

z

U

a

z

b

x

a

z

z

z

X

+

=

0

(5.10)

Biegun transformaty X(z) z

i

=z

1

=a, zatem

( ) ( ) ( )

( )

+

=

a

z

z

bU

Z

x

a

a

k

x

k

1

1

0

(5.11)

dla u(k)=0

6

Dyskretne Układy Regulacji

( ) ( ) ( )

[

]

( )

0

,...

,

,

,

1

0

3

2

x

a

a

a

x

a

k

x

k

=

=

(5.12)

background image

Rozdział 5

Z postaci rozwiązania wynika, że przebieg odpowiedzi w funkcji czasu zanika, jeżeli

|a|<1.

Przykładowy przebieg wyznaczony za pomocą Matlaba dla 1>a>0
figure(1)
%x(0)=1;

a=0.5;
k=[0 1 2 3 5 6 7 8];
y=a.^k;

7

Dyskretne Układy Regulacji

stairs(y),xlabel(

'Próbki czasu k'

),ylabel(

'Wartości y(k)'

),grid

background image

Rozdział 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Próbki czasu k

Wa

rt

o

ś

ci

y(

k

)

Rys.5.1. Przebieg odpowiedzi układu dla a=0.5


Przykład odpowiedzi dla a<0.
a=-0.5;
y=a.^k;

%y=[1 a a^2 a^3 a^4 a^5 a^6 a^7 a^8];

stairs(y),xlabel(

'Próbki czasu k'

),ylabel(

'Wartości y(k)'

),grid

8

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-0.5

0

0.5

1

Próbki czasu k

Wa

rt

o

ś

ci

y(

k

)

Rys.5.2. Przebieg odpowiedzi układu dla a=-0.5


Przykład odpowiedzi dla pierwiastków zespolonych sprzężonych
r=0.8;
teta=pi/6;

%teta=pi;

fi=0;

k=0:20;

9

Dyskretne Układy Regulacji

y=r.^k.*cos(k*teta+fi);

background image

Rozdział 5

%stairs(k,y),xlabel(

'Próbki czasu k'

),ylabel(

'Wartości y(k)'

),grid

stem(k,y),xlabel(

'Próbki czasu k'

),ylabel(

'Wartości y(k)'

),grid

Pierwiastki w programie mają postać

;

6

/

;

8

.

0

π

=

=

θ

=

=

θ

±

teta

r

re

z

j

(5.13)

10

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Próbki czasu k

W

ar

to

œ

ci

y(

k)

Rys.5.3.Odpowiedź układu dla pierwiastków zespolonych sprzężonych, |z|<1


Dla przypadku |z|>1 przyjęto dane liczbowe

11

Dyskretne Układy Regulacji

r=1.1;

background image

Rozdział 5

teta=pi/6;

fi=0;
k=0:20;
y=r.^k.*cos(k*teta+fi);
stem(k,y),xlabel(

'Próbki czasu k'

),ylabel(

'Wartości y(k)'

),grid

Pierwiastki w programie mają postać

1

;

6

/

;

1

.

1

>

=

=

π

=

=

θ

=

=

θ

±

θ

±

r

re

z

teta

r

re

z

j

j

(5.14)

12

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Próbki czasu k

W

ar

to

œ

ci

y(

k)

Rys.5.3.Odpowiedź układu dla pierwiastków zespolonych sprzężonych, |z|>1

13

Dyskretne Układy Regulacji

Odpowiedź dla pierwiastka a=1;

background image

Rozdział 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rys.5.4 Odpowiedź dla pierwiastka z=a=1

14

Dyskretne Układy Regulacji

Odpowiedź dla pierwiastka a=-1;

background image

Rozdział 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Rys.5.5. Odpowiedź układu dla pierwiastka z=a=-1

15

Dyskretne Układy Regulacji

Przedstawione przebiegi świadczą o tym, że przebiegi zanikają wówczas, gdy spełniony

jest warunek

background image

Rozdział 5

1

<

z

(5.15)

Warunek oznacza, że pierwiastki równania charakterystycznego układu stabilnego

powinny leżeć wewnątrz koła o promieniu jednostkowym na płaszczyźnie zmiennej

zespolonej z.

5.2 Kryterium stabilności Hurwitza

Z matematycznego warunku stabilności (5.15) wynika, że do sprawdzenia stabilności

należy znać położenie pierwiastków równania charakterystycznego. Wymóg ten jest

trudny do spełnienia w przypadku wielomianów wyższych stopni. Równania stopnia 5 i

wyższych w ogólnej postaci nie mogą być rozwiązane za pomocą pierwiastków. Z tego

powodu korzysta się z kryteriów stabilności, które pozwalają ocenić stabilność układu.

16

Dyskretne Układy Regulacji

Kryteria stabilności znane z teorii układów liniowych ciągłych mogą mieć zastosowanie

w przypadku układów dyskretnych po przekształceniu

background image

Rozdział 5

1

1

+

=

w

w

z

(5.16)

Przekształcenie to odwzorowuje wnętrze koła o promieniu jednostkowym na

płaszczyźnie zespolonej z na lewą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej w.

Współczynniki wielomianu otrzymanego po przekształceniu biliniowym (5.16)

wykorzystuje się w standardowych kryteriach Hurwitza lub Routha. Przeszkodą w

stosowaniu takiego sposobu jest konieczność dokonania przekształcenia równania

wyjściowego, co może okazać się pracochłonne w przypadku układów wyższych rzędów.

Przykład 5.2

Zbadać stabilność układu, którego równanie charakterystyczne ma postać

0

0

1

2

=

+

+

a

z

a

z

(5.17)

17

Dyskretne Układy Regulacji

Przekształcenie biliniowe (5.16) prowadzi do równania

background image

Rozdział 5

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

0

1

1

2

1

0

2

1

2

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

2

0

1

0

0

2

0

1

2

1

2

2

0

1

2

0

1

2

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

a

a

w

a

w

a

a

a

wa

w

a

a

w

a

w

w

w

a

w

w

a

w

a

w

w

a

w

w

(5.18)

Z kryterium Hurwitza dla układów ciągłych wynikają warunki stabilności

(

)

(

)

0

1

0

1

2

0

1

1

0

0

0

1

>

+

>

>

+

+

a

a

a

a

a

(5.19)

18

Dyskretne Układy Regulacji

Przy projektowaniu układów regulacji wygodnie jest przedstawić powyższy warunek

na płaszczyźnie we współrzędnych (a

0

,a

1

) [6],[7].

background image

Rozdział 5

1

-1

-1

1

2

-2

a

0

a

1

Rys.5.6. Obszar stabilności układu drugiego rzędu

5.3 Kryterium częstotliwościowe Nyquista

19

Dyskretne Układy Regulacji

Kryterium Nyquista, podobnie jak w układach ciągłych, polega na badaniu przebiegu

background image

Rozdział 5

charakterystyki amplitudowo-fazowej. Równanie okręgu jednostkowego na płaszczyźnie

zmiennej zespolonej Z można przedstawić w postaci

s

T

j

e

z

ω

=

(5.20)

Aby narysować okrąg jednostkowy wystarczy zmieniać argument z w granicach

π

<

ω

<

π

π

<

ω

<

s

s

T

T

lub

2

0

(5.21)

Mianownik transmitancji dyskretnej można przedstawić w postaci iloczynu dwumianów

( )

(

)

=

=

k

i

i

k

z

z

a

z

M

1

(5.22)

gdzie z

i

– pierwiastki równania charakterystycznego rzędu k.

20

Dyskretne Układy Regulacji

Zmiana argumentu

ωT

s

w podanych granicach (5.21) powoduje zmianę argumentu

M(j

ωT

s

) w granicach określonych przez położenie pierwiastków z

i

względem okręgu

background image

Rozdział 5

jednostkowego. Jeżeli pierwiastki są położone wewnątrz okręgu jednostkowego, to

zmiana argumentu jest określona wzorem

( )

[

]

(

)

=

=

ω

π

ω

π

=

π

ω

π

π

=

π

=

Δ

=

Δ

ω

k

i

k

i

i

T

j

k

T

e

z

T

k

i

z

e

a

z

M

s

s

s

T

j

s

1

1

2

2

arg

arg

(5.23)

Jeżeli są pierwiastki położone zewnątrz okręgu, to przyrost argumentu dwumianu dla

każdego z tych pierwiastków przy podanych zmianach

ωT

s

jest równy zeru i dla m takich

pierwiastków wzór (5.23) przyjmie postać

( )

[

]

(

)

(

)

=

ω

π

ω

π

=

π

ω

π

π

=

Δ

=

Δ

ω

k

i

i

T

j

k

T

e

z

T

m

k

z

e

a

z

M

s

s

s

T

j

s

1

2

arg

arg

(5.24)

W określonych przypadkach (porównaj uwagi o transmitancjach układów zamkniętych)

transmitancję dyskretną układu ze sprzężeniem zwrotnym można przedstawić w postaci

21

Dyskretne Układy Regulacji

( )

( )

( )

( )

( )

( )

z

M

z

L

z

G

gdzie

z

G

z

G

z

G

o

o

o

o

o

=

+

=

,

1

(5.25)

background image

Rozdział 5

Wielomian charakterystyczny układu otwartego oznaczono M

o

(z) a licznik

transmitancji układu otwartego L

o

(z). Z postaci transmitancji układu zamkniętego wynika,

że wielomian charakterystyczny układu zamkniętego ma postać M(z)= L

o

(z)+ M

o

(z). W

kryterium Nyquista bada się przyrost argumentu wyrażenia 1+G

o

(z). Dla układu otwartego

stabilnego i układu stabilnego po zamknięciu otrzymuje się:

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

2

2

arg

arg

arg

1

arg

1

arg

=

π

π

=

Δ

Δ

=

=

Δ

=

+

Δ

=

+

Δ

ω

π

ω

π

ω

π

ω

π

ω

ω

π

ω

π

ω

ω

π

ω

π

ω

π

ω

π

k

k

e

M

e

M

e

M

e

M

e

M

e

L

e

G

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

T

j

o

T

T

j

T

T

j

o

T

j

T

T

j

o

T

j

o

T

T

j

o

T

(5.26)

22

Dyskretne Układy Regulacji

Dla układu otwartego niestabilnego (m pierwiastków poza okręgiem jednostkowym)

otrzymuje się dla układu stabilnego w stanie zamkniętym

background image

Rozdział 5

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

π

=

π

π

=

Δ

Δ

=

=

Δ

=

+

Δ

ω

π

ω

π

ω

π

ω

π

ω

ω

π

ω

π

ω

ω

π

ω

π

m

m

k

k

e

M

e

M

e

M

e

M

e

M

e

L

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

T

j

o

T

T

j

T

T

j

o

T

j

T

T

j

o

T

j

o

T

2

2

2

arg

arg

arg

1

arg

(5.27)

Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista wynika ze spostrzeżenia, że wykres

( )

( )

( )

s

s

s

T

j

o

T

j

o

T

j

o

e

G

e

M

e

L

ω

ω

ω

+

=

+

1

1

(5.28)

można przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej w układzie współrzędnych

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

s

s

T

j

o

s

T

j

o

s

e

G

T

Q

e

G

T

P

ω

ω

=

ω

=

ω

Im

Re

,

(5.29)

23

Dyskretne Układy Regulacji

rysując tylko charakterystykę amplitudowo- fazową układu otwartego G

o

. Przyrost

argumentu, który należy wskazać, korzystając z przebiegu charakterystyki 1+G

o

, (wzór

5.26 i 5.27), wymaga określenia obrotu wektora 1+G

o

wokół punktu (–1, j0). Przyrost

argumentu wynosi 0, gdy punkt charakterystyczny (–1, j0) leży poza charakterystyka G

o

.

background image

Rozdział 5

1+G

o

(e

j

ωTs

G

o

(e

j

ωTs

)

P(

ωTs)

Q(

ωTs)

1+j0

ωTs=π

Rys.5.7. Charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista

Twierdzenie Nyquista

Układ regulacji będzie stabilny, gdy charakterystyka amplitudowo fazowa stabilnego

układu otwartego nie obejmuje punktu charakterystycznego (–1, j0).

24

Dyskretne Układy Regulacji

Przykład 5.3

background image

Rozdział 5

Określić stabilność układu regulacji (układu zamkniętego), gdy transmitancja

dyskretna układu otwartego jest określona wzorami

( ) (

)(

)(

)

( ) (

)(

)

1

.

0

2

.

0

)

3

.

0

4

.

0

5

.

0

1

)

=

=

=

z

z

z

z

G

b

z

z

z

z

G

a

o

o

,

(5.30)

Charakterystyki amplitudowo-fazowe zostały obliczone i wykreślone w programie

Matlab Control Toolbox

disp(

'Stabilnosc wg kryterium Nyquista'

)

Ts=0.1, disp(

'Okres impulsowania'

)

z=tf(

'z'

,Ts), disp(

'Definicja zmiennej z'

)

disp(

'Transmitancja ukladu otwartego'

)

Goz=1/((z-0.5)*(z-0.4)*(z-0.3)),
disp(

'Transmitancja ukladu zamknietego'

)

25

Dyskretne Układy Regulacji

Gz=feedback(Goz,1)

background image

Rozdział 5

disp(

'parametry transmitancji'

)

[num,den]=tfdata(Gz,

'v'

)

abs(roots(den)), disp(

'moduly pierwiastkow'

)

figure(1)
nyquist(Goz),grid on
xlabel(

'P(wTs)'

),ylabel(

'Q(wTs)'

)

% Transmitancja b)

Goz=z/((z-0.2)*(z-0.1))
Gz=feedback(Goz,1,-1)
[num,den]=tfdata(Gz,

'v'

)

abs(roots(den))
figure(2)

26

Dyskretne Układy Regulacji

nyquist(Goz),xlabel(

'P(wTs)'

),ylabel(

'Q(wTs)'

)

background image

Rozdział 5

P(wTs)

Q(

w

T

s)

Nyquist Diagrams

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

From: U(1)

To

: Y

(1

)

1+Go(wTs)

27

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.5.8. Charakterystyki układu a), niestabilnego w stanie zamkniętym

background image

Rozdział 5

P(wTs)

Q(

w

T

s)

Nyquist Diagrams

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

From: U(1)

To

: Y

(1

)

1+Go(wTs)

Rys.5.9.Charakterystyki układu b), stabilnego w stanie zamkniętym

28

Dyskretne Układy Regulacji

Wyniki obliczeń w linii poleceń

background image

Rozdział 5

Stabilność wg kryterium Nyquista
Ts = 0.1000 Okres impulsowania

Transfer function:z

Sampling time: 0.1

Definicja zmiennej z
Transmitancja układu otwartego

Transfer function:

1

-----------------------------
z^3 - 1.2 z^2 + 0.47 z - 0.06

Sampling time: 0.1

Transmitancja układu zamkniętego

29

Dyskretne Układy Regulacji

Transfer function:

background image

Rozdział 5

1
-----------------------------

z^3 - 1.2 z^2 + 0.47 z + 0.94

Sampling time: 0.1

parametry transmitancji
num = 0 0 0 1

den = 1.0000 -1.2000 0.4700 0.9400

ans = 1.2482 1.2482 0.6033 moduły pierwiastków

b)Transfer function:
z

------------------

z^2 - 0.3 z + 0.02

30

Dyskretne Układy Regulacji

Sampling time: 0.1

background image

Rozdział 5

Transfer function:
z

------------------

z^2 + 0.7 z + 0.02

Sampling time: 0.1
num = 0 1 0

den = 1.0000 0.7000 0.0200

ans = 0.6702 0.0298

W przypadku a) moduły pierwiastków są większe niż 1 a zatem leżą poza okręgiem

jednostkowym i układ jest niestabilny. W przypadku b) pierwiastki leżą wewnątrz okręgu

jednostkowego i układ jest stabilny.

31

Dyskretne Układy Regulacji

Koniec przykładu 5.3

background image

Literatura

Literatura

[1] Ackerman J.: Regulacja impulsowa. WNT, Warszawa 1976
[2] Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce. Mikom, Warszawa2002
[3] Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki. Mikom, Warszawa2004
[4] Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii. WNT, Warszawa 2008
[5] Gessing R.: Teoria sterowania. Część I. Układy liniowe. Skrypt uczelniany ' Politechniki Śląskiej nr 1302,

Gliwice 1987.

[6] Kaczorek T.: Teoria sterowania. T.1. PWN, Warszawa 1977
[7] Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa 1977
[8] Laboratorium Teorii Sterowania i Podstaw Automatyki, Błachuta M. [red.]: (praca zbiorowa), Wydawnictwo

Politechniki Śląskiej nr 2082

[9] Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. WNT, Warszawa 1979
[10] Markowski J.: Elementy urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 2006
[11] Mutambara A.: Design and Analysis of Control Systems. CRC Press, New York, 1999
[12] Niederliński A.: Systemy i sterowanie. Wyd. Politechniki Śląskiej, skrypt Nr 746, Gliwice 1978
[13] Ogata K.: Discrete – time control systems. Prentice Hall Inter., Englewood Cliffs 1987
[14] PN-88 M-42000 Automatyka i pomiary przemysłowe. Terminologia
[15] Rumatowski K.: podstawy automatyki. Część 2. Układy dyskretne i stochastyczne. Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej, Poznań 2005

[16] Schönfeld R.: Digitale Regelung elektrischer Abtriebe. VEB Verlag, Berlin 1987
[17] Schönfeld R.: Grundlagen der automatischen Steuerung. VEB Verlag, Berlin 1984
[18] Sinha N.K.: Controls systems. John Wiley &Sons, New York 1995

32

Dyskretne Układy Regulacji

[19] Takahashi Y., Rabins M., Auslander D.: Sterowanie i systemy dynamiczne. WNT, Warszawa 1976

background image

Literatura

[20] Tewari A.: Modern Control Design with Matlab and Simulink. John Wiley & Sons Ltd, New York 2002
[21] Wajs K.: Linie pierwiastkowe w automatyce. WNT, Warszawa 1973
[22] http://pl.wikipedia.org/wiki/SCADA
[23] http://pl.wikipedia.org/wiki/System_czasu_rzeczywistego

33

Dyskretne Układy Regulacji


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
6 Dyskretne układy regulacji, rozdział 9 Jakość dyskretnych układów regulacji
4 Dyskretne układy regulacji, rozdział 6 Podstawowe struktury układów regulacji
1 Dyskretne układy regulacji, rozdział 1 i 2, Wstęp Dyskretny układ regulacji
5 Dyskretne uklady regulacji, Nieznany (2)
2 Dyskretne uklady regulacji, Nieznany
3 Dyskretne uklady regulacji, Nieznany (2)
4 Dyskretne uklady regulacji, Nieznany (2)
Ćwiczenie 8 Stabilność układów regulacji
Badanie stabilności układów na podstawie kryterium Nyquista Zapas?zy i wzmocnienia
Badanie zapasu stabilności układów dyn
Układy logiczne cz.2, Laboratorium układów elektronicznych
Stabilność układów automatyki
B molekularna wykład regulacja translacji i stabilności mRNA Kopia
9 Układy regulacji położenia złącz manipulatora
ciagle uklady regulacji, Akademia Morska -materiały mechaniczne, szkoła, Mega Szkoła, szkola, AUTOMA

więcej podobnych podstron