Janusz Kacerka

Dyskretne Układy

Regulacji

————————————————————————————————————————

Semestr 5 Elektrotechnika

Rozdział 7

Spis treści

7. STRUKTURY REGULATORÓW DYSKRETNYCH .............................................................................................................................................................3

7.1 S

TRUKTURY REGULATORÓW

PID ..............................................................................................................................................................................................4

7.2 R

EGULATOR DYSKRETNY Z ANTI

-

WINDUP

...............................................................................................................................................................................12

LITERATURA ...............................................................................................................................................................................................................................15

2

Dyskretne Układy Regulacji

Rozdział 7

7. Struktury regulatorów dyskretnych

Algorytmy realizowane przez regulatory dyskretne mogą realizować najrozmaitsze

zadania. Typowa jest realizacja algorytmów opartych na algorytmach regulatorów

ciągłych PID [4]. Przyczyny stosowania algorytmów przybliżających transmitancję

dyskretną mogą być następujące [1]:

- W praktyce inżynierskiej ustalono doświadczalne nastawy ciągłych regulatorów PID

w przypadku procesów, których analiza matematyczna może być utrudniona. Nastawy

mogą być nadal wykorzystywane. Parametry regulatorów mogą być przestrajane w czasie

ruchu. Po wprowadzeniu sterowania komputerowego personel może posługiwać się tymi

samymi nastawami, co dla układów ciągłych.

3

Dyskretne Układy Regulacji

- Stosowane są awaryjnie urządzenia analogowe, które zaczynają pracować w

przypadku awarii układów dyskretnych. Przełączanie powinno odbywać się bezpiecznie, co

Rozdział 7

gwarantuje algorytm komputerowy zbliżony do algorytmu regulatorów ciągłych.

7.1 Struktury regulatorów PID

Transmitancja ciągłą regulatora PID z aproksymacją różniczkowania za pomocą członu

różniczkującego rzeczywistego ma postać:

( )

1

1

+

+

+

=

sT

s

K

s

K

K

s

G

D

I

P

PID

,

(7.1)

4

Dyskretne Układy Regulacji

Dla stałej czasowej elementu różniczkującego rzeczywistego odpowiednio mniejszej

od współczynnika K

D

otrzymuje się dobre przybliżenie elementu różniczkującego

idealnego. Postać transmitancji dyskretnej można uzyskać np. stosując metodę Tustina

(4.64)

Rozdział 7

( )

(

)

(

) (

)

1

1

2

1

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

+

+

−

−

+

−

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

+

=

+

−

=

z

T

z

T

z

K

z

z

T

K

K

sT

s

K

s

K

K

z

G

s

D

s

I

P

z

z

T

s

D

I

P

PID

s

,

(7.2)

Realizacja algorytmu dyskretnego może przebiegać w różny sposób w zależności od

sposobu wprowadzenia różnic do równania regulatora. W pracy [17] zaproponowano

następujący sposób. Z równania regulatora o postaci

( )

( )

( )

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ε

+

τ

τ

ε

+

ε

=

∫

t

D

I

P

dt

t

d

T

d

T

t

K

t

u

0

1

,

(7.3)

Po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymano

5

Dyskretne Układy Regulacji

( )

( )

( )

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ε

+

ε

+

ε

=

2

2

1

dt

t

d

T

t

T

dt

t

d

K

dt

t

du

D

I

P

,

(7.4)

Rozdział 7

Wprowadzenie różnic do wzoru (7.4) prowadzi do przybliżonego wyrażenia

(

) ( )

(

) ( )

( )

(

) ( ) ( ) (

)

[

]

(

) ( )

(

)

( )

(

)

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

−

ε

+

ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

+

ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

ε

−

ε

−

ε

−

+

ε

+

ε

+

ε

−

+

ε

≈

−

+

n

T

T

K

n

T

T

T

T

K

n

T

T

K

n

u

n

u

T

n

n

n

n

T

n

T

T

n

n

K

T

n

u

n

u

s

D

P

s

D

I

s

P

s

D

P

s

D

I

s

P

s

,

(7.5)

6

Dyskretne Układy Regulacji

Na rysunku 7.1 przedstawiono schemat blokowy algorytmu regulatora PID narysowany

według zależności (7.5)

Rozdział 7

Wczytanie parametrów
Wczytanie

ε(n+1)

Wczytanie z rejestru
ε(n), ε(n-1),u(n)

Δε: ε(n+1)- ε(n)

ε: ε(n+1)

ΔΔε: ε(n+1)- 2ε(n)+ ε(n-1)

K

P

Δε

K

P

T

D

/T

s*

ΔΔε:

ε(n+1)=K

p

T

s

/T

I

*

ε(n)+ K

P

Δε+ K

P

T

D

/T

s*

ΔΔε

K

p

T

s

/T

I

*

ε

Rys.7.1. Schemat blokowy algorytmu PID

7

Dyskretne Układy Regulacji

Równanie regulatora (7.3) można zapisać w przybliżony sposób następująco [4]

Rozdział 7

( )

( )

( )

( ) (

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

ε

−

ε

+

ε

+

ε

≈

∑

−

s

D

n

i

s

I

P

T

n

n

T

T

n

T

n

K

n

u

1

1

0

(7.6)

Struktura równoległa regulatora wynika ze zsumowania składników wyrażenia (7.6),

przy czym sumę funkcji dyskretnej – analog całki – realizuje się uwzględniając fakt, że

suma dla chwili n jest sumą funkcji dla chwili n-1 i składnika zależnego od wartości

ε(n)

8

Dyskretne Układy Regulacji

( )

n

T

T

K

n

Suma

n

Suma

I

s

p

ε

+

−

=

)

1

(

)

(

(7.7)

Rozdział 7

Suma(n)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

s

D

P

T

T

K 1

s

D

P

T

T

K

−

z

1

I

s

P

T

T

K

z

1

Suma(n-1)

u(n)

ε(n)

ε(n-1)

Rys.7.2. Schemat blokowy algorytmu PID wg (7.6),(7.7)

9

Dyskretne Układy Regulacji

Strukturę szeregową regulatora można wyznaczyć wyznaczając różnicę sygnału

dyskretnego u(n) i u(n-1) a następnie wprowadzić sumę takiej różnicy [4]. Z wyrażenia na

sygnał wyjściowy regulatora u(n) (7.6) otrzymuje się

Rozdział 7

( ) (

)

( ) (

)

( )

( )

( ) (

)

(

) (

)

( ) (

)

( )

( )

(

)

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

ε

+

−

ε

−

ε

+

ε

+

−

ε

−

ε

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

ε

−

−

ε

−

−

ε

−

ε

+

ε

−

ε

+

−

ε

−

ε

=

=

−

−

∑

∑

−

−

−

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

0

0

n

T

T

n

T

T

n

T

T

n

T

T

n

n

K

T

n

n

T

T

n

n

T

T

n

T

T

n

T

n

n

K

n

u

n

u

s

D

s

D

s

D

I

s

P

s

D

s

D

n

i

s

I

n

i

s

I

P

(7.8)

Po przekształceniu Z otrzymuje się

( ) (

)

[

]

( )

z

E

T

T

z

T

T

z

T

T

T

T

K

n

u

n

u

Z

s

D

s

D

s

D

I

s

P

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

−

−

−

−

2

1

2

1

1

1

(7.9)

10

Dyskretne Układy Regulacji

Połączenie bloku o podanej transmitancji szeregowo z blokiem obliczającym sumę jak

na rys.7.2 prowadzi do struktury szeregowej regulatora PID, przy czym część (7.9)

stanowi algorytm prędkościowy regulatora a szeregowe połączenie z członem całkującym

algorytm pozycyjny.

Rozdział 7

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

s

D

I

s

P

T

T

T

T

K 1

s

D

P

T

T

K

z

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

s

D

P

T

T

K

2

1

E(z)

z

-1

E(z)

U(z)

z

1

z

1

Algorytm
prędkościowy

Algorytm
pozycyjny

Rys.7.3. Schemat blokowy algorytmu PID wg (7.9)

11

Dyskretne Układy Regulacji

Algorytm prędkościowy stosuje się wówczas, gdy urządzenie wykonawcze jest

siłownikiem elektrycznym, pneumatycznym lub hydraulicznym o działaniu całkującym, w

którym położenie elementu wykonawczego zmienia się skokowo w chwilach próbkowania

o wartość przyrostu sygnału wyjściowego regulatora. Transmitancja dyskretna obiektu z

siłownikiem ma wówczas postać

Rozdział 7

( )

( )

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

−

s

nT

t

s

s

s

G

L

Z

z

G

G

0

1

0

(7.10)

7.2 Regulator dyskretny z anti-windup

12

Dyskretne Układy Regulacji

Przedstawione algorytmy regulatorów miały charakter liniowy. W praktyce stosuje się

ograniczenie maksymalnej wartości sygnału wyjściowego regulatora i wówczas wymaga

się ograniczenia narastania zmiennej stanu reprezentującej działanie całkujące

(sumowanie) regulatora. Algorytm będzie wówczas algorytmem o charakterze

nieliniowym. Ograniczenie nosi nazwę anti-windup. Na rys.7.4 przedstawiono realizację

takiego ograniczenia w regulatorze PI o strukturze równoległej.

Rozdział 7

Suma(n)

P

K

I

s

P

T

T

K

z

1

Suma(n-1)

u(n)

ε(n)

Umax

Umin)

Rys.7.4. Schemat blokowy algorytmu PI z układem anti-windup

13

Dyskretne Układy Regulacji

W układzie szeregowym regulatora wystarczy w celu zabezpieczenia się przed

przeciąganiem sygnału części całkującej zastosować ograniczenie pokazane na rysunku

7.5

Rozdział 7

P

K

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

I

s

P

T

T

K 1

ε(n)

z

-1

E(z)

u(n)

z

1

z

1

Algorytm
prędkościowy

Algorytm
pozycyjny

14

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.7.5. Struktura szeregowa PI z ograniczeniem sygnału części całkującej

Literatura

Literatura

[1] Ackerman J.: Regulacja impulsowa. WNT, Warszawa 1976
[2] Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce. Mikom, Warszawa2002
[3] Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki. Mikom, Warszawa2004
[4] Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii. WNT, Warszawa 2008
[5] Gessing R.: Teoria sterowania. Część I. Układy liniowe. Skrypt uczelniany ' Politechniki Śląskiej nr 1302,

Gliwice 1987.

[6] Kaczorek T.: Teoria sterowania. T.1. PWN, Warszawa 1977
[7] Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa 1977
[8] Laboratorium Teorii Sterowania i Podstaw Automatyki, Błachuta M. [red.]: (praca zbiorowa), Wydawnictwo

Politechniki Śląskiej nr 2082

[9] Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. WNT, Warszawa 1979
[10] Markowski J.: Elementy urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 2006
[11] Mutambara A.: Design and Analysis of Control Systems. CRC Press, New York, 1999
[12] Niederliński A.: Systemy i sterowanie. Wyd. Politechniki Śląskiej, skrypt Nr 746, Gliwice 1978
[13] Ogata K.: Discrete – time control systems. Prentice Hall Inter., Englewood Cliffs 1987
[14] PN-88 M-42000 Automatyka i pomiary przemysłowe. Terminologia
[15] Rumatowski K.: podstawy automatyki. Część 2. Układy dyskretne i stochastyczne. Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej, Poznań 2005

[16] Schönfeld R.: Digitale Regelung elektrischer Abtriebe. VEB Verlag, Berlin 1987
[17] Schönfeld R.: Grundlagen der automatischen Steuerung. VEB Verlag, Berlin 1984
[18] Sinha N.K.: Controls systems. John Wiley &Sons, New York 1995

15

Dyskretne Układy Regulacji

[19] Takahashi Y., Rabins M., Auslander D.: Sterowanie i systemy dynamiczne. WNT, Warszawa 1976

Literatura

[20] Tewari A.: Modern Control Design with Matlab and Simulink. John Wiley & Sons Ltd, New York 2002
[21] Wajs K.: Linie pierwiastkowe w automatyce. WNT, Warszawa 1973
[22] http://pl.wikipedia.org/wiki/SCADA
[23] http://pl.wikipedia.org/wiki/System_czasu_rzeczywistego

16

Dyskretne Układy Regulacji