Wykład 10

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydział Inżynierii Lądowej

ZASADA PRAC WIRTUALNYCH

WARUNKI RÓWNOWAGI SIŁ

Część 1

Więzy

3

Więzy

– ograniczenia nałożone na ciało materialne

1.1. Definicja

Ograniczenie nałożone na jeden
punkt bryły sztywnej:

1

A

Ruch swobodny (przy całkowitym
braku więzów)

 

A

r t

const



Ograniczenie nałożone na wszystkie
punkty bryły sztywnej:

 

0

z t

z



4

Kinematyczne (nieholonomiczne):

Geometryczne (holonomiczne):





1

1

1

n

n

n

f x , y , z , ... , x , y , z ,t

warunek nałożony na funkcję





1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

f x , y , z , ... , x , y , z , x , y ,z , ... , x , y , z ,t

 

 





warunek nałożony na funkcję

Stacjonarne (skleronomiczne,
nie zależne jawnie od czasu):

Niestacjonarne (reonomiczne,
zależne jawnie od czasu):





1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

f x , y , z , ... , x , y , z , x , y ,z , ... , x , y , z

 

 





warunek nałożony na funkcję

warunek nałożony na funkcję





1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

f x , y , z , ... , x , y , z , x , y ,z , ... , x , y ,z , t

 

 





1.2. Rodzaje więzów

5

Szorstkie (chropowate):

Rodzaje więzów (cd.)

Gładkie (idealne):

więzy, których praca reakcji jest równa 0

Dwustronne (równościowe):

Jednostronne (nierównościowe):

warunek nałożony na ruch w postaci równości

więzy, których praca reakcji jest różna od 0

warunek nałożony na ruch w postaci nierówności

6

Rodzaje więzów (cd.)

Geometryczne

Kinematyczne

Stacjonarne

Niestacjonarne

Gładkie

Szorstkie

Jednostronne

Dwustronne

7

A

 

A

r t

const



 

 

 

1

2

3

0

0

0

A

x

A

y

A

z

f : x

t

C

f : y

t

C

f : z

t

C













geometryczne

stacjonarne

dwustronne

gładkie

Przykład 1:

Ruch bryły sztywnej wokół punktu
o ustalonym położeniu bez strat energii

1.3. Przykłady ruchu z więzami

8

Przykład 2:

Ruch swobodny punktu materialnego
w polu grawitacyjnym ze zderzeniem
sprężysto-plastycznym z szorstką
powierzchnią

 

0

A

z

t

z



 

1

0

0

A

f : z

t

z





geometryczne

stacjonarne

jednostronne

szorstkie

Praca więzów jest różna od 0

9

Przykład 3:

Ruch punktu materialnego w polu grawitacyjnym bez tarcia po prostej
poruszającej się w płaszczyźnie Oxy równoległej do linii sił pola

 

   





ρ t

ξ t , η t



φ

ω t





cos φ

sin φ

α

sin φ cos φ





 











 

 

 
 

x t

ξ t

cos ωt

sin ωt

y t

η t

sin ωt

cos ωt











































 

 

 

 

 

 

1

2

0

0

f : x t

cos ωt ξ t

sin ωt η t

f :

y t

sin ωt ξ t

cos ωt η t





















geometryczne

niestacjonarne

dwustronne

gładkie

 

 

10

η t

ξ t





10

Aksjomat o więzach

W ruchu ciała nieswobodnego nic się nie zmieni, gdy więzy myślowo
zostaną usunięte i ich działanie zostanie zastąpione siłami reakcji

Ruch w polu grawitacyjnym pod działaniem siły grawitacji i reakcji więzów

Ruch swobodny, gdy na punkt materialny nie działają żadne siły

Ruch po poziomej powierzchni (bez tarcia) w polu grawitacyjnym

11

Część 2

Zasada prac wirtualnych

12

2.1. Przemieszczenie wirtualne

Przemieszczenie rzeczywiste

– wektor łączący dwa rzeczywiste położenia

ciała. Jest zależne od więzów i działających sił

Przemieszczenie wirtualne jest współliniowe z prędkością możliwą, na jaką pozwalają
więzy

Przemieszczenie wirtualne

– wektor łączący dwa możliwe położenia

ciała. Jest zależne wyłącznie od więzów

 

0

s

ˆ

δ

k υ , k

R

 





13

Problem

1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych

2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań

3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie

Jaki warunek musi spełniać przemieszczenie wirtualne punktu i

gdzie:





1

1

1

0

1

j

n

n

n

d

f

x , y , z , ... , x , y ,z

j

, ...,m

dt



 







 

 

 

1

i

i

i

i

i

i

x

x t , y

y t , z

z t

i

, ..., n









Różniczkowanie po t:





1

1

1

0

1

j

n

n

n

f

x , y ,z , ... , x , y ,z

j

, ...,m





Równanie więzów:

1

0

1

n

j

j

j

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

x

y

z

j

, ...,m

x

y

z











































1

1

1

1

1

1

0

1

j

j

j

j

j

j

n

n

n

n

n

n

f

f

f

f

f

f

dx

dy

dz

dx

dy

dz

...

j

, ...,m

x dt

y dt

z dt

x

dt

y

dt

z

dt

















 





















14

1

0

1

n

j

j

j

i

i

i

i

i

i

i

f

f

f

x

y

z

j

, ...,m

x

y

z











































Przesunięcie wirtualne punktu A

i

:









si

i

i

i

i

xi

yi

zi

δ

k υ

kx , ky , kz

δ , δ , δ

 











k



1

0

1

n

j

j

j

xi

yi

zi

i

i

i

i

f

f

f

δ

δ

δ

j

, ...,m

x

y

z





































j

j

j

i

j

i

i

i

f

f

f

grad f

,

,

x

y

z











 













1

0

n

si

i

j

i

grad f

δ









15

Problem

1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych

2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań

3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie i dwustronne

4. Układ materialny jest obciążony układem sił czynnych i reakcji więzów

5. Układ materialny znajduje się w spoczynku

Jaki warunek musi spełniać układ sił aby układ materialny pozostawał w równowadze

Zerowanie się pracy sił czynnych
na przemieszczeniach wirtual-
nych jest warunkiem koniecznym
równowagi układu materialnego

1

1

1

1

0

0

0

i

i

i

i

n

n

n

n

m r

F

R

...

m r

F

R

...

m r

F

R































Równania ruchu:

1

s

δ



si

δ



sn

δ



1

1

0

n

n

i

si

i

si

i

i

δL

F δ

R δ



















2.2. Zasada prac wirtualnych

16

Problem

1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych

2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań

3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie i dwustronne

4. Układ materialny jest obciążony układem sił czynnych i reakcji więzów

5. Układ materialny znajduje się w ruchu rzeczywistym

Jaki warunek spełnia teraz układ sił?

Iloraz różnicowy:





 

i

i

i

r t

Δt

r t

r

Δt





 





 

 

2

0

i

i

i

i

Δr

r t

Δt

r t

r Δt

Δ t













 





2

1

1

1

0

n

n

n

i

i

i

i

i

si

i

i

i

δL

F Δr

F

r Δt

Δ t

F δ

ΔL































W ruchu rzeczywistym:

0

δL 

17

Zasada prac wirtualnych

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił
działających na układ materialny swobodny lub nieswobodny
o więzach geometrycznych, stacjonarnych, dwustronnych i gład-
kich jest, by suma prac wirtualnych wszystkich sił czynnych, na
wszystkich przemieszczeniach wirtualnych, była równa 0

1

0

n

i

si

si

i

δL

F δ

,

δ













18

2.3. Równania równowagi

i

A

A

i

υ

υ

ω

AA







 

0

k ,

k

R







si

sA

ωA

i

δ

δ

δ

AA











1

1

1

n

n

n

i

si

i

sA

i

ωA

i

i

i

i

δL

F δ

F δ

F

δ

AA































1

1

0

n

n

sA

i

ωA

i

i

sA

ωA

i

i

δL

δ

F

δ

F

A A

δ ,δ



























1

1

n

n

i

A

i

i

i

i

S

F , M

F

A A















0

0

A

S

M







Warunki równowagi sił działających na ciało sztywne swobodne

O

x

y

z

r

A

F

1

F

i

F

n

A

i

A

1

A

n

A

19

Warunki równowagi sił działających na ciało sztywne nieswobodne

A

A

i

A

1

A

n

O

x

y

z

r

A

F

1

F

i

F

n

R

1

R

j

B

1

B

j

Postulat o więzach

Ciało zostaje oswobodzone

z więzów, jednocześnie

poddane jest działaniu

układu sił czynnych i reakcji









1

1

1

1

0

0

n

m

i

j

i

j

n

m

A

i

i

j

j

i

j

S

F

R

M

F

A A

R

B A

































Warunki równowagi ciała swobodnego

20

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

n

m

x

ix

jx

i

j

n

m

y

iy

jy

i

j

n

m

z

iz

jz

i

j

n

m

Ax

Ax

i

Ax

j

i

j

n

m

Ay

Ay

i

Ay

j

i

j

n

m

Az

Az

i

Az

j

i

j

S

F

R

S

F

R

S

F

R

M

M

F

M

R

M

M

F

M

R

M

M

F

M

R

































































































Równania równowagi – postać ogólna

21

0

0

0

x

y

Az

S

S

M
















0

0

0

0

Az

Bz

Cz

M

M

AB AC

M




















0

0

0

l

Az

Bz

S

M

AB

l

M


















0

0

0

B

C

Az

Bz

M

S

AB

AB AC

AC

λ AB

M

M

M

S

λ AB















 















 



 







Gdy A, B, C współliniowe to jedno z równań jest zależne

Uzasadnienie warunku nie współliniowości punktów

Uzasadnienie warunku nie prostopadłości prostej l i wektora AB

0

l

S 

Jeśli punkty A i B leżą na prostej działania wypadkowej (układ nie

jest w równowadze) oraz prosta l jest prostopadła do AB to:

Bez sformułowanego warunku układ równań 3 nie stanowi
jednoznacznego warunku równowagi układu sił

Układ 1

Układ 2

Układ 3

2.3. Równania równowagi w odniesieniu do układów płaskich

22

2.4. Równania równowagi dwóch tarcz połączonych przegubem

A

A

i

B

B

j

F

i

F

j

i

A

A

i

υ

υ

ω

AA







j

B

B

j

υ

υ

ω

BB







B

A

A

υ

υ

ω

AB







i

A

ωA

i

δ

δ

δ

AA







j

A

ωA

ωB

j

δ

δ

δ

AB δ

BB























i

A

i

ωA

i

j

A

j

ωA

j

ωB

j

i

i

j

j

j

δL

F δ

F

δ

AA

F δ

F

δ

AB

F

δ

BB





































i

j

A

ωA

i

i

ωA

j

ωB

j

j

i

j

i

j

j

δL

F

F

δ

δ

F

A A

δ

F

BA

δ

F

B B



















































































i

i

j

j

i

j

δL

F δ

F δ



 







23

A

A

i

B

B

j

F

i

F

j

ωA

i

i

ωA

j

i

j

ωA

i

i

ωA

j

j

ωA

j

j

i

j

j

δ

F

A A

δ

F

BA

δ

F

A A

δ

F

B A

δ

F

B B





































































































j

j

BA

B A B B





 

 

 

ωA

A

i

A

j

ωA

B

j

δ

M

F

M

F

δ

M

F



















 

 

 

 

 

 

0

i

j

A

ωA

A

i

A

j

ωA

B

j

ωB

B

j

δL

S F

S F

δ

δ

M

F

M

F

δ

M

F

δ

M

F







































 

 

 

 

 

0

0

0

i

j

A

i

A

j

B

j

S F

S F

, M

F

M

F

, M

F









