MT st w 03 [tryb zgodno┼Ťci]

background image

1

Wykład 3

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2011/12

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydzia
ł Inżynierii Lądowej

TEORIA RÓWNOWAŻNOŚCI UKŁADÓW SIŁ

background image

Część 1

SIŁY I UKŁADY SIŁ

background image

3

1.1. Moment siły względem punktu

prawoskręt

trójkę

stanowią

:

zwrot

:

wartość

:

kierunek

B

B

B

B

df

B

M

AB

F

AB

F

M

AB

M

F

M

AB

F

M

,

,

α

sin

|

|

|

|

|

|

:

____

____

____

____

B

M

___

____

AB

r

F

B

A

α

.

Definicja

Momentem siły względem punktu
nazywamy wektor równy iloczynowi
wektorowemu si
ły i wektora wyznaczone-
go przez punkt zaczepienia si
ły i punkt,
wzgl
ędem którego moment jest liczony

B

M

___

F

B

background image

4

Przesunięcie siły wzdłuż jej kierunku działania

Przesunięcie siły wzdłuż jej kierunku działania nie wpływa
na zmian
ę wartości momentu siły względem punktu

_______

____

____

____

____

const

BR

F

BR

AB

F

AR

F

M

R

)

(

Ramię działania siły

Jest to wektor prostopadły do prostej
dzia
łania siły, którego początek leży na
tej prostej a koniec w punkcie, wzgl
ędem
którego liczony jest moment si
ły

R

M

___

____

AR

r

F

R

A

.

B

F

____

BR

'

R

____

R

M

F

R' R

R

M

___

____

AR

F

R

A

.

F

____

' R

R

'

R

background image

5

n

1.2. Moment siły względem prostej

____

____

π

π

____

π

||

'

:

|

| |

| |

'

| sin α

,

' ,

l

df

l

l

l

kierunek: M

l

M

F

A O

wartość: M

F

A O

zwrot:

F

A O M

stanowią trójkę prawoskrętną




Definicja

Momentem siły względem prostej
nazywamy iloczyn wektorowy rzutu
si
ły na płaszczyznę prostopadłą do tej
prostej wzgl
ędem punktu przebicia
p
łaszczyzny przez tę prostą.

l

M

'

A

π

F

O

α

____

' O

A

F

l

e

A

background image

6

l

M

n

α

____

' O

A

O

'

A

π

F

F

A

l

e

Twierdzenie

Moment siły względem prostej jest równy
rzutowi momentu si
ły względem dowolnego
punktu prostej na t
ę prostą.

Dowód pominięto

O

M

___

π

F

l

F

n

n

n

F

F

F





2

π

n

n

n

AO

AO

O

A

2

____

____

_____

'

n

n

n

M

M

O

l





2

Twierdzenie o momencie siły względem prostej

background image

7

Układ sił
Zbiór si
ł wraz z punktami zaczepienia

n

A

2

F

1

A

i

A

2

A

i

F

1

F

n

F

Przekształcenie elementarne I-go rodzaju
Dodanie do uk
ładu lub odjęcie dwóch sił
przeciwnych działających wzdłuż prostej

Przekształcenie elementarne II-go rodzaju
Dodanie do uk
ładu lub odjęcie układu sił
zbieżnych o sumie równej 0

n

A

2

F

1

A

i

A

2

A

i

F

1

F

n

F

n

A

2

F

1

A

i

A

2

A

i

F

1

F

n

F

Przekształcenia elementarne nie zmieniają
sumy i momentu układu

F

0

F

0

background image

8

1.3. Twierdzenie o zmianie bieguna

____

____

____

____

BR

F

M

BR

B

A

F

R

A

F

M

n

i

i

B

n

i

i

i

n

i

i

i

R



1

1

1

)

(

i

A

n

A

2

F

1

A

i

A

2

A

B

R

i

F

1

F

n

F

Układ

n sił

B

R

i

F

- punkt zaczepienia siły

- siła
- biegun redukcji

- nowy biegun redukcji

n

i

i

df

F

S

1

____

BR

S

M

M

B

R

Twierdzenie

Moment układu sił względem nowego bieguna jest równy sumie momentu tego układu
wzgl
ędem starego bieguna i iloczynu wektorowego sumy układu i wektora łączącego
stary biegun z nowym.

background image

9

Wniosek 1
Je
żeli suma układu jest równa 0 to moment układu jest stały, tzn. nie zależy
od bieguna, wzgl
ędem którego jest liczony

Wnioski z twierdzenia o zmianie bieguna

Z: Suma układu jest równa 0

S  0

T: Moment układu jest stały

M

co n s t

D:

____

S

B

A

B

A

M

M

S

AB

M

M

0

background image

10

Wniosek 2
Je
żeli momenty układu liczone względem trzech niewspółliniowych punktów są
równe to suma układu jest równa 0

Z: Punkty A, B, C są niewspółliniowe

0

____

____

AC

AB

oraz

C

B

A

M

M

M

T: Suma jest równa 0

0

S

D:

0

0

0

S

AC

S

AB

S

AC

S

M

M

AB

S

M

M

A

C

A

B

____

____

____

____

Wniosek 3
Iloczyn skalarny sumy i momentu liczonego wzgl
ędem
dowolnego punktu jest dla danego uk
ładu sił wielkoś-
ci
ą stałą i nosi nazwę parametru układu sił

const

S

M

K

O

df

S

M

OA

S

S

S

M

S

OA

S

M

S

M

O

O

O

A

)

(

)

(

____

____

D:

background image

11

1.4. Równoważność układów sił

O równoważności układu wektorów (sił) można mówić wyłącznie w odniesieniu
do rozwa
żanego problemu. W mechanice teoretycznej rozważa się równoważność
układów sił w odniesieniu do problemu redukcji.

punkt

dowolny

)

(

)

(

)

(

)

(

O

O

O

M

M

S

S

df

B

A

B

A

B

A

:



n

i

n

i

A

A

A

A

F

F

F

F

...

...

...

...

2

1

2

1

A



m

i

m

i

B

B

B

B

R

R

R

R

...

...

...

...

2

1

2

1

B

Dwa układy

i

są równoważne, jeżeli można, wykonując na jednym z nich skończoną liczbę
przekształceń I-go i II-go rodzaju, przekształcić jeden układ w drugi.

Definicja równoważności układów sił

background image

12

Równoważne układy sił

Równoważne układy sił

Przekształcenie elementarne
I

go rodzaju

Przekształcenie elementarne
II

go rodzaju

background image

13

Twierdzenia o równoważności układów sił

Twierdzenie 1
Dwa uk
łady są równoważne, gdy mają równe sumy i równe momenty liczone względem
jednego (ustalonego) punktu.

Z:

oraz

)

)

B

A

(

(

O

O

M

M

T:

D:

)

)

B

A

(

(

S

S

B

A

)

(

)

(

OO'

)

(

)

(

)

(

OO'

)

(

)

(

)

(

O'

O'

O

O'

O

O'

B

A

B

B

B

A

A

A

M

M

S

M

M

S

M

M

____

____

Dowód

background image

14

Twierdzenie 2
Dwa uk
łady są równoważne, gdy mają (odpowiednio) równe momenty liczone
wzgl
ędem trzech niewspółliniowych punktów.

oraz

)

)

B

A

(

(

O

O

M

M

T:

D:

)

)

B

A

(

(

S

S

B

A

____

____

____

____

OO"

)

(

)

(

)

(

OO"

)

(

)

(

)

(

OO'

)

(

)

(

)

(

OO'

)

(

)

(

)

(

O

O"

O

O"

O

O'

O

O'

B

B

B

A

A

A

B

B

B

A

A

A

S

M

M

S

M

M

S

M

M

S

M

M

Dowód

Z: Punkty O, O’, O” są niewspółliniowe

)

)

B

A

(

(

O'

O'

M

M

)

)

B

A

(

(

O"

O"

M

M

czyli

0

)

(

-

)

(

OO"

do

równoległy

jest

nie

OO'

0

OO"

)

(

-

)

(

0

OO'

)

(

-

)

(

B

A

B

A

B

A

S

S

S

S

S

S

____

____

____

____

background image

15

1.5. Zerowy układ sił i para sił

Zerowy układ sił
Uk
ład sił, którego suma i moment
liczony wzgl
ędem dowolnego punktu
jest wektorem zerowym.

Para sił
Uk
ład dwóch niezerowych sił przeciw-
nych nie le
żących na jednej prostej.

0

0

M

S

F

F

F

G

)

(

G

F

ne

prawoskręt

:

zwrot

:

wartość

:

kierunek

O

O

O

B

O

M

AB

F

d

F

AB

F

M

M

AB

F

M

M

,

,

|

|

α

sin

|

|

|

|

|

|

Π

:

____

____

____

F

A

B

F

O

M

0

d

Π

α

background image

Część 2

REDUKCJA UKŁADU SIŁ

background image

17

2.1. Redukcja układu sił w punkcie

Redukcja układ sił
Przekszta
łcenie polegające na zastąpieniu danego układu sił równoważnym
uk
ładem prostszym, tj. złożonym z mniejszej liczby sił

F

1

F

2

F

3

F

1

F

F

2

3

F

2

F

3

Układ trzech sił

Układ równoważny,
zredukowany do dwóch si
ł

background image

18

n

π

Redukcja w punkcie (w biegunie redukcji)
Zast
ąpienie danego układu układem równoważnym, złożonym z wektora równego
sumie uk
ładu i pary sił o momencie równym momentowi układu sił względem
bieguna redukcji

Tok postępowania:

F

1

F

2

F

3

S

F

3

F

1

F

2

O

F

F

G

O

M

S

F

1. Wybór bieguna redukcji O

2. Wyznaczenie

wektora

zaczepionego w punkcie O
równego sumie uk
ładu

3. Wyznaczenie

momentu układu

sił względem bieguna O

4. Wyznaczenie

pary sił o momencie

równym momentowi układu względem
bieguna redukcji, z których jedna jest
zaczepiona w biegunie redukcji

5. Redukcja układu do dwóch sił skośnych
poprzez dodanie si
ł zaczepionych w O

background image

19

n

π

S

F

3

F

1

F

2

O

F

F

G

O

M

S

F

Cztery przypadki redukcji w punkcie

Przypadek 1 (ogólny):

S

M

0

0

Układ sił redukuje się do wektora
b = S zaczepionego w punkcie
redukcji oraz pary si
ł o momencie
M

O

równym momentowi układu sił

względem punktu redukcji

background image

20

Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd

Przypadek 2:

S

M

0

0

Układ sił redukuje się do wektora
b = S zaczepionego w punkcie
redukcji

n

π

O

F

F

G

O

M

S

F

S

F

3

F

1

F

2

background image

21

Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd

Przypadek 3:

S

M

0

0

Układ sił redukuje się do pary sił
o momencie M

O

równym momentowi

układu sił względem punktu redukcji

n

π

b

S

F

3

F

1

F

2

O

F

F

G

O

M

S

F

background image

22

Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd

Przypadek 4:

S

M

0

0

Układ sił redukuje się do układu
zerowego

n

π

S

F

3

F

1

F

2

O

F

F

G

O

M

S

F

background image

23

2.2. Redukcja układu sił do najprostszej postaci

Redukcja układ sił do najprostszej postaci
Przekszta
łcenie polegające na zastąpieniu danego układu sił układem
równowa
żnym złożonym z najmniejszej liczby sił

Redukcja w punkcie a redukcja do najprostszej postaci

W problemie redukcji w punkcie biegun redukcji jest znany (wybrany lub zadany)
natomiast w problemie redukcji do najprostszej postaci poszukuje si
ę położenia
takich punktów, w których uk
ład sił redukuje się do najprostszej postaci

background image

24

Przypadek 1:

Jeżeli w wybranym lub zadanym biegunie redukcji układ sił redukuje się do układu
zerowego to uk
ład zerowy jest najprostszym zredukowanym układem tego układu sił

O

S

M

O

0

0

wybrany punkt

Układ sił w każdym punkcie
redukuje si
ę do

układu zerowego

Szczególne przypadki redukcji do najprostszej postaci

Przypadek 2:

Jeżeli w wybranym lub zadanym biegunie redukcji układ sił redukuje się do pary sił
o momencie równym momentowi układu sił względem bieguna redukcji to para sił jest
najprostszym zredukowanym uk
ładem tego układu sił

O

S

M

O

0

0

wybrany punkt

Układ sił w każdym punkcie
redukuje si
ę do

pary sił

background image

25

Przypadek ogólny: parametr układu jest różny od 0 – przykład:

Dany jest układ trzech sił:

a

b

c

A

B

C

1 2 3

1 1

1

3

2 1

0 0 1

1 1 1

1 1

1

 

 

 

S

1 2 3

1 1

1

3

2 1

5 1 3

O

M

 

1 2 3

1 1

1

3

2 1

5

1

5

0 0

1

1

1

1

1

1 1

 

O

K

S M

 

5 1 3

5

1

5

41

Suma układu:

Moment układu
wzgl
ędem punktu
(0, 0, 0):

Parametr układu:

Zadanie:

Jak zmienia się równoważny układ zredukowany w biegunie redukcji poruszającym
si
ę wzdłuż wybranej prostej.

Równanie parametryczne
przypadkowo wybranej prostej:

x

λ , y

λ , z

λ

 

background image

26

Rozwiązanie zadania przy l zmieniającym się w sposób ciągły od 0 do 3

background image

27

Przypadek ogólny: parametr układu jest różny od 0 – rozważania teoretyczne

O

O

O

K

S M

S

M

cos

S ,M

const

O

O

K

M

S cos

S ,M

O

O

M

min

S ,M

π

 

0

O

O

O

O

S

M

M

S

S ,M

K

M

S



0:

O

K

M

S

S

2

O

O

O

O

S

M

M

S

S ,M

π

K

M

S

 



 

:

O

K

M

S

S

2

Punkty, w których układ sił o parametrze K różnym od 0 redukuje się do sumy i pary
si
ł o momencie równoległym do sumy leżą na prostej zwanej

osią środkową

Układ sił w punktach osi środkowej redukuje się do

skrętnika

background image

28

Przypadek ogólny: parametr układu jest różny od 0 – przykład:

Zadanie:

Wyznaczyć oś środkową układu sił z poprzedniego przykładu a następnie zilustrować
zmiany równoważnego układu zredukowanego gdy punkt redukcji porusza się po
prostej przecinaj
ącej się z osią środkową

W osi środkowej układ redukuje się do sumy i pary sił o momencie
równoleg
łym do sumy i osiąga minimalną wartość (skrętnik):

R

K

M

S

S

2

Przyrównując odpowiednie współrzędne wyznacza się równanie krawędziowe lub
parametryczne osi
środkowej

z

y

d

, gdzie d

x

z

d

 

3

5 1

0

41

3

5

1

0

35

x

λ

y

λ

d

z

λ

d




1

26

1

5

15

3

1

1

5

5

Wykorzystując twierdzenie o zmianie bieguna formułuje się wektorowe równanie
osi
środkowej:

R

O

K

M

S

M

S

OR ,

R x, y, z

S

2

- punkt leżący na osi środkowej

background image

29

Rozwiązanie zadania przy l zmieniającym się w sposób ciągły od 3 do 0

Uwaga: l  0 odpowiada punktowi leżącemu na osi środkowej

background image

30

Przypadek 3:

Suma układu jest różna od zera a parametr jest równy 0

Trzeci szczególny przypadek redukcji do najprostszej postaci

Definicja wypadkowej:

Wypadkowa to układ sił równoważny danemu złożony z jednego wektora

Układ sił w każdym punkcie osi środkowej
redukuje si
ę do jednego wektora

- wypadkowej

O

K

M

S

S

2

0

S

K

0

0

(moment układu jest zawsze prostopadły do sumy)

Wypadkowa działa wzdłuż ściśle określonej prostej (prosta działania wypadkowej,
o
ś środkowa) o tej własności, że moment układu względem punktów tej prostej jest
równy 0


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MT st w 06 [tryb zgodności]
MT st w 08 [tryb zgodności]
MT st w 05 [tryb zgodności]
MT st w 07 [tryb zgodności]
MT st w 02a [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 02 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodności]
MT st w 06 [tryb zgodności]
MT st w 041 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 11 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 03
1 ST PiS [tryb zgodnosci]
MT st w 03
Chemia Jadrowa 03 [tryb zgodnosci]

więcej podobnych podstron