MT st w 02a [tryb zgodno┼Ťci]

background image

1

Wykład 2

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydzia
ł Inżynierii Lądowej

background image

Część 1

MACIERZE I WYZNACZNIKI

background image

3

1.1. Definicja macierzy

i , j

a

i

, ... ,m ,

j

, ... ,n

1

1

Ciąg dwuwskaźnikowy
sko
ńczony

,

,

,n

,

,

,n

m ,

m ,

m ,n

a

a

...

a

a

a

...

a

...

...

...

...

a

a

... a

A

11

1 2

1

2 1

2 2

2

1

2

i, m – numer wiersza, liczba wierszy

j, n – numer kolumny, liczba kolumn

background image

4

Macierz zerowa

...

...

... ... ... ...

...

A

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Macierz jednostkowa

i , j

...

...

δ

... ... ... ...

...

E

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

i , j

gdy i

j

δ

gdy i

j

 

1

0

gdzie:

- symbol Kroneckera

background image

5

i , j

k ,l

m

p

n

q

a

b

gdy i

k

j

l

  

A

B

Równość macierzy

Macierz A jest równa macierzy B gdy obie macierze mają te same
wymiary oraz ka
żdy wyraz macierzy A jest równy wyrazowi macierzy B
o tych samych wskaźnikach

i , j

k ,l

p ,q

m,n

a

b

 

A

B

background image

6

Mnożenie macierzy przez liczbę

i , j

i , j

s

s

a

s a

 

A

Dodawanie i odejmowanie macierzy

i , j

i , j

i , j

i , j

a

b

a

b

A

B

i , j

i , j

i , j

i , j

a

b

a

b

A B

1.2. Działania na macierzach

background image

7

Mnożenie macierzy przez macierz

i , j

j ,k

m ,n

n , p

a

b

A

B

Dane są macierze:

(liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B)

i ,k

m , p

c

 

C

AB

k

n

i ,k

i

in

ij

jk

j

nk

b

c

a

... a

...

a b

b

1

1

1

gdzie:

i ,k

c

- iloczyn i-tego wiersza macierzy A i k-tej kolumny macierzy B

background image

8

Własności działań na macierzach

1. Mnożenie macierzy przez liczbę jest łączne i rozdzielne względem

dodawania liczb i dodawania macierzy

 

r

s

r s

A

A

r

s

r

s

 

 

A

A

A

s

s

s

 

 

A

B

A

B

2. Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne

A

B

B

A

A

B

C

A

B C

3. Mnożenie macierzy przez macierz nie jest przemienne

A B

B A

4. Mnożenie macierzy przez macierz jest łączne i rozdzielne względem

dodawania macierzy

AB C

A BC

F G + H = FG + FH

G + H K = GK + HK

background image

9

5. Dla każdej macierzy A i macierzy zerowej stosownego wymiaru

zachodzą związki:

A0

0

A

0

0

6. Dla każdej macierzy A i macierzy jednostkowej stosownego wymiaru

zachodzą związki:

AE

A

EA

A

background image

10

Wyznacznik jest to funkcja przyporządkowująca każdej macierzy
kwadratowej M stopnia
n wartość (oznaczaną detM), która spełnia
nast
ępujące własności:

1. Dla macierzy pierwszego stopnia M = [a]: detM = a

2. Dla macierzy n-tego stopnia M = [a

ij

]

nn

:

 

n

k

j

kj

k , j

k

det

a det

M

M

1

1

gdzie

i , j

M

jest macierzą n - 1 stopnia powstałą z macierzy M przez

wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

 

n

i k

ik

i ,k

k

det

a det

M

M

1

1

(rozwinięcie względem

j-tej kolumny)

(rozwinięcie względem

i-tego wiersza)

1.3. Definicja wyznacznika

background image

Część 2

WPROWADZENIE DO MECHANIKI

background image

12

2.1. Ogólna klasyfikacja

MECHANIKA

– dział fizyki poświęcony badaniu ruchów i stanów

równowagi ciał. Obejmuje statykę, kinematykę
i dynamikę

Statyka

– dział mechaniki badający prawa równowagi

ciał będących pod działaniem sił

Kinematyka

– dział mechaniki zajmujący się opisem ruchu

ciał bez uwzględnienia jego przyczyn oraz
cech fizycznych cia
ł.

Dynamika

– dział mechaniki badający ruch ciał

materialnych pod wpływem działających
na nie si
ł

background image

13

MECHANIKA BUDOWLI

Dział mechaniki stosowanej zajmujący się:

wyznaczaniem sił i przemieszczeń w konstrukcjach budowlanych pod

wpływem ociążeń,

określaniem wartości obciążeń bezpiecznych z punktu widzenia

nośności, sztywności i stateczności konstrukcji budowlanych,

optymalnym kształtowaniem konstrukcji budowlanych.

Obejmuje m. in. teorię ustrojów prętowych (belek, kratownic, ram itp.)
oraz teori
ę dźwigarów powierzchniowych (płyt, powłok)

background image

14

2.2. Trochę historii

Zasady "naukowego myślenia"

1. Wychodzenie z jak najmniejszej liczby założeń

pierwotnych, które znajduje się poprzez
my
ślenie indukcyjne.

2. Tworzenie w oparciu o te założenia ścisłej

teorii posługując się myśleniem dedukcyjnym,

3. Ostateczna weryfikację teorii poprzez

konfrontację wniosków z niej wynikających
z faktami.

Jeden z trzech, obok Platona i Sokratesa
najwi
ększych filozofów greckich. Stworzył spójny
system filozoficzny, który bardzo silnie dzia
łał na
filozofi
ę i naukę europejską.

Arystoteles, rze

ź

ba Lizypa - Luwr

Arystoteles (Ἀριστοτέλης) 384 p.n.e. - 324 p.n.e.)

background image

15

Galileusz (Galileo Galilei) 1564 – 1642

Włoski astronom, astrolog, fizyk i filozof, twórca
podstaw nowo
żytnej fizyki. Chcąc uczynić przyro-
doznawstwo nauk
ą ścisłą, położył nacisk na mate-
matyczn
ą metodę wyrażania głoszonych twier-
dze
ń; uważał, że podstawą badań przyrodniczych
powinny by
ć tylko właściwości ciał, które można
mierzy
ć i wyrażać w języku matematycznym.
Stosowa
ł własną praktykę badawczą, w której
opiera
ł się na faktach doświadczalnych, stosował
w szerokim zakresie metodę analizy i syntezy oraz
d
ążył do wprowadzenia metod eksperymen-
talnych i matematycznych w ca
łej fizyce.

Odkrył zjawisko bezwładności. Dzięki doświadczeniom, Galileusz doszedł
do wniosku, że ciało, któremu w wyniku działania innych ciał nadano pewną
prędkość, powinno stale poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Bada
ł wpływ tarcia na ruch ciał.

Galileo Galilei

background image

16

Isaac Newton 1643 – 1727

Angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof,
historyk, badacz Biblii i alchemik. Niezale
żnie od
Gottfrieda Leibniza przyczyni
ł się do rozwoju
rachunku ró
żniczkowego i całkowego.

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
(Matematyczne podstawy filozofii naturalnej,
bardziej znane dzisiaj jako

Principia), zostały

opublikowane w 1687. W dziele tym Newton
og
łosił trzy uniwersalne zasady dynamiki, które
nie zosta
ły ulepszone aż do czasów Alberta
Einsteina. U
żył łacińskiego słowa

gravitas

(ciężar) do nazwania siły, którą obecnie znamy
pod nazw
ą grawitacji i zdefiniował prawo
powszechnego ci
ążenia.

Sir Isaac Newton

background image

17

Stefan Banach

Stefan Banach 1892 – 1945

Polski matematyk, jeden z czołowych przed-
stawicieli lwowskiej szko
ły matematycznej.
Ugruntowa
ł ostatecznie podstawy niezwykle
istotnej w nowoczesnych zastosowaniach
matematyki analizy funkcjonalnej. Poda
ł jej
fundamentalne twierdzenia, wprowadzi
ł jej
terminologi
ę, którą zaakceptowali matematycy
na ca
łym świecie. Był wytrawnym wykładowcą
i autorem ponad 60 prac naukowych a także
wielu podr
ęczników matematycznych dla szkół
średnich.

Autor podręcznika akademickiego pt.

Mechanika, t.1 i 2,

wydawnictwo: Czytelnik, Spółdzielnia Wydawniczo –
O
światowa, Kraków 1949 (wydanie 3 w czytelni PK).

background image

18

2.3. Pojęcia podstawowe

Punkt materialny – model fizyczny ciała, którego jedynymi władnościami jest masa

i punkt, jako położenie w przestrzeni

Ciało sztywne

– model fizyczny ciała o masie rozłożonej w pewnej przestrzeni,

której elementy nie mogą się względem siebie przemieszczać.
Punkt materialny jest szczególnym przypadkiem cia
ła sztywnego.

Układ materialny – skończony zbiór punktów materialnych, ciał sztywnych

lub ośrodków ciągłych

Układ odniesienia – rzeczywiste lub umowne ciało sztywne, względem którego

opisuje się ruch ciała sztywnego. Z układem odniesienia jest
zwi
ązany układ współrzędnych

Ośrodek ciągły

– model fizyczny ciała o masie rozłożonej w pewnej przestrzeni,

której elementy mogą się względem siebie przemieszczać.

background image

19

Siła

– wielkoć wektorowa będąca miarą oddziaływań fizycznych pomiędzy ciałami

powodujących ruch tych ciał lub utrzymujących je w stanie równowagi

a) aby można było mówić o sile muszą być co najmniej dwa ciała

(w koncepcji Einsteina do definicji siły wystarczy jedno ciało)

b) działanie ciał na siebie może być kontaktowe lub na odległość

c) każdej sile „towarzyszy” inna siła (akcja i reakcja - III zasada

dynamiki)

d) drugie prawo Newtona nie jest definicją siły, lecz wiąże ze sobą trzy

wielkości fizyczne: siłę, masę i przyspieszenie zależnością: F = ma,
gdzie: F

siła, m – masa, a – przyspieszenie punktu materialnego

Uwagi:

background image

20

Masa

– skalarna wielkość fizyczna będąca miarą bezwładności ciała w jego ruchu

postępowym. Może być określona przez iloraz miary ciężaru do miary
przyspieszenia ziemskiego

Q

g

0

g

Q

m

df

Pęd punktu materialnego

– wektorowa wielkość fizyczna charakterysująca ruch

punktu materialnego, wyrażająca się iloczynem jego
masy i pr
ędkości

v

m

p

df

m

v

background image

21

2.4. Aksjomaty mechaniki (1687)

1. Aksjomat bezwładności – istnieją układy
odniesienia, w których, je
żeli na punkt
materialny nie dzia
ła żadna siła, to pęd punktu
nie ulega zmianie.

_______

const

p

v

m

p

0

2. Aksjomat ruchu – istnieją układy odniesienia,
w których, je
żeli na punkt materialny działa
si
ła, to zmienia jego pęd według prawa

F

p

t

3. Aksjomat wzajemnego oddziaływania (prawo
akcji i reakcji) – dwa punkty materialne
oddzia
łują na siebie zawsze siłami
przeciwnymi, dzia
łającymi wzdłuż jednej
prostej.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MT st w 06 [tryb zgodności]
MT st w 08 [tryb zgodności]
MT st w 05 [tryb zgodności]
MT st w 07 [tryb zgodności]
MT st w 03 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 02 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodności]
MT st w 06 [tryb zgodności]
MT st w 041 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 11 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 02a
MT st w 02a 2
1 ST PiS [tryb zgodnosci]
MT st w 02a
MT st w 02a 2

więcej podobnych podstron