Stosowanie opisu kwantowego i opisu klasycznego

Ważne jest z jakimi wielokrotnościami stałej h kreślone mamy do czynienia w rozważanym układzie.

Przykład 1

W wypadku elektronu w atomie typową wartość iloczynu rozmiaru i pędu jest rzędu:

(nie mówi się w przypadku – podczas pisania prac dyplomowych)

Wartość ta jest rzędu stałej h kreślone i dlatego konieczne jest tu stosowanie mechaniki kwantowej (h= 6.625 razy dziesięć do -34Js)

Przykład 2

W elektronice w przewodach stałą h kreślone można pominąć, bo mamy do czynienia z odległościami między elektronami około 10do -4 m i napięciami około 10-20 V . oznacza to, że mamy do czynienia z obszarem klasycznym.

W elektronice występują też efekty kwantowe, np. tunelowy, nadprzewodnictwo, efekty w strukturach niskowymiarowych.

Różnice między fizyką klasyczną i kwantowa

Fizyka klasyczna	Fizyka kwantowa
Energia promieniowania układów fizycznych zmienia się w sposób ciągły	Energia promieniowania układów fizycznych zmienia się skokowo (E=hv)
Gdy natężenie światła fi rośnie (przy v= const) To energia E powinna też rosnąć	Tylko gdy częstotliwość promieniowania V rośnie to energia E rośnie
Położenie i pęd cząstki można zmierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością	Nie można jednocześnie wyznaczyć położenia i pędu cząstki z dowolną dokładnością

Równania schrodingera

Edwin schrodinger

Nobel 1933 za rozwinięcie teorii falowej (razem z paulem Dirac’iem)

Brakowało spójnej teorii, z której wynikałby:

- dualizm korpuskularno – falowy

- dyskretnośc np. dozwolonych energii elektronu w atomie

Początek nowej teorii zwanej mechaniką falową dał w 1924r. doktorat de Broglie’a następnie- Debye później- Schrodinger.

Schrodinger odgadł postać pewnego formalizmu matematycznego, opierając się na :

Analogii mechaniki klasycznej do optyki geometrycznej.

Schrodinger wiedział jakim przybliżeniem szczególnym optyki falowej jest optyka geometrzyczna

O ptyka falowa optyka geometryczna

Poszukiwał on formalizmu, którego przybliżonym przypadkiem szczególnym byłaby mechanika klasyczna opisana przez Newtona. Formalizm te nazwał mechaniką falową.

M echanika kwantowa mechanika klasyczna

Schrodinger otrzymał mechanikę falową przez wprowadzenie relacji de Broglie’a do równania falowego:

- zamiast równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki Newtona w fizyce klasycznej,

- w mechanice kwantowej występuje równanie falowe (równanie Schrodingera ) którego rozwiązaniem jest pewna funkcja współrzędnych płożenia i czasu:

Zwana funkcją falową.

Równanie falowe jest równaniem operatorowym i stanowi podstawę mechaniki falowej, zwanej dziś mechaniką kwantową.

Cechy funkcji falowej

W ogólnym wypadku jest to:

- funkcja zespolona, która:

- nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej

- nie jest wielkością mierzalną

Pomimo braku sensu fizycznego funkcja falowa spełnia w mechanice kwantowej bardzo ważną role, bowiem:

- określa ona całkowicie stan rozpatrywanej cząstki, tzn. zawiera w sobie wszystkie informacje o tym stanie.

- znajomość tej funkcji umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa otrzymania określonego wyniku dowolnego pomiaru.

- funkcja psi i jej pochodne muszą być określone i ciągłe w całej przestrzeni, ponieważ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki nie może być wielkością niejednoznaczną lub zmieniać sie w sposób skokowy.

- bezpośredni sens fizyczny ma tylko kwadrat modułu funkcji falowej bo określa on prawdopodobieństwo znalezienia rozpatrywanej cząstki w elemencie przestrzeni o objętości dv i prawdopodobieństwo to wynosi :

|psi(x,y,z,t)|^2*dv

Stosunek prawdopodobieństwa do objętości dv nazywa się gęstością prawdopodobieństwa Z definicji prawdopodobieństwa wynika , że całka po całej przestrzeni – całka potrójna ... czyli że znalezienie cząstki w przestrzeni jest pewne.

Max Born

Sformułował standardową interpretację kwadratu funkcji falowej w równani Schrodingera jako gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki , za co w 1954 roku otrzymał Nagrodę Nobla.

Podsumowanie

- w mechanice kwantowej obowiązuje podstawowa reguła, że nie można określić trajektorii pojedynczej cząstki

- możemy jedynie obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w jakimś obszarze przestrzeni

- ale będzie to tylko prawdopodobienstwo, a nie gwarancja , ze na pewno cząstka się tam znajdzie

- aby zrealizować to prawdopodobieństwo , to należy wykonać wiele doświadczeń w tym samym układzie z tymi samymi warunkami początkowymi.

- dopiero średnia z otrzymanych wyników będzie podlegała nakazom mechaniki kwantowej!

Równanie Schrodingera dla stanów stacjonarnych

W 1925 roku schrodinger skonstruował równanie którego rozwiązanie umożliwia znalezienie dla każdego układu wartości energii E , które ten układ może przyjmować,

Równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych

W 1925 roku Schrödinger skonstruował równanie którego rozwiązanie umożliwia znalezienie dla każdego układu wartości energii E, które ten układ może przyjmować,

(np. atom posiada elektrony o ściśle określonych wartościach energii)

Śladem Shrodingera

Pan shrodinger podczas wizyty w alpach pojechał ze swoją koleżanką a nie żoną oprócz pracy de broliegha wziął ze sobą zatyczki do uszu i tam powstało to słynne równanie.

1. Wyszedł z klasycznego równania na energię całkowitą:

Ek + Ep = ½ mv^2 + V=H

H= ½ m(vx^2 + vy^2 + vz^2)+ V(x,y,z,t)

Gdzie

Ek – energia kinetyczna

Ep energia potencjalna

V energia potencjalna

M – masa cząstki

H energia całkowita

T czas

Vx , vy, vz- składowe prędkości

Tak więc:

½ mv^2 = P^2/2m

H= 1/2m*(px^2+ py^2+ pz^2) +V(x, y, z, t)

2. Następnie schrodinger dokonał następującego podstawienia za pęd, położenie i czas z układu współrzędnych kartezjańskich

Wektor pędu : p , gdzie hkreslone = h/2pi

P^2 = , zas składowa px=

Wektor położenia j,j,k- wektory jednostkowe

Czas t

3. Teraz schrodinger zrobił podstawieni do wzoru (2) wprowadzając operator energii (hamiltonian) 

Czyli podstawił on za ½ mv^2 = P^2/2m , a za p^2 =...

4. Schrodinger odgadł postać ogólnego operatorowego równania falowego dla stanów stacjonarnych (niezależnego od czasu):

 (4)

Hamiltonian działa na funkcję falową którą sobie ustalił schrodinger.

Gdzie  jest to funkcja falowa , inaczej funkcja własna operatora energii

E – dozwolona wartość energii, które dany układ może przyjmowac, inaczej wartość własna operatora energii

Najbardziej ogólnym równaniem falowym jest równanie schrodingera zależne od czasu

Ogólne równanie schrodingera

Schrodinger znowu dokonał intuicyjnego podstawienia podobnie jak w wypadku pędu.

Operator energii  przyporządkował operator  czyli

Dla przypomnienia podobnie za pęd poprzednio podstawił: px= ....

Schrodinger wybrał znak + ( a nie minus jak przy pędzie) ze względu na przydatność takiego ujęcia w mechanice relatywistycznej.

Ogólna postać równania Scrodingera będzie miało zatem postać:

  (5)

Za  podstawiliśmy uprzednio wyrażenie (3) , a więc wprowadzając jawną postać hamiltonianu mamy:

(6)

Teraz separując zmienne można szukać rozwiązania tego równania.

Rozwiązanie ma postać:

Gdzie:

Psi(r,, t) = psi (r) *f(t)

Psi(r) , F(t) – funkcje po rozdzieleniu zmiennych położenia i czasu

A – stała

n- liczba naturalna

E – stała mające sens fizyczny energii układu

To teraz obowiązuje, na kolokwium:

Komentarz

1. Podstawowym problemem mechaniki kwantowej jest znalezienie rozwiązań równania Schrodingera dla odpowiednich zagadnień fizycznych

2. Równanie to rozwiązuje się z odpowiednimi warunkami brzegowymi

3. w nielicznych tylko przypadkach daje się rozwiązać ściśle

4. najczęściej ucieka się do metod przybliżonych i stosuje metody numeryczne

przykład:

bierzemy pod uwagę kryształ ciała stałego.

Równanie schrodingera jest równaniem różniczkowym o pochodnych cząstkowych, a więc zawiera tyle zmiennych ile stopni swobody ma rozpatrywany układ.

W elektronice ciała stałego do układu tego wchodzą wszystkie elektrony i jądra atomów stanowiących kryształ.

Wobec tego liczba stopni swobody , a zatem również liczba zmiennych jest makroskopowo duża , bo jest rzędu 10 ²² - 10²³

Proste rozwiązanie tego równania matematycznego jest niemożliwe, zaś fizyczna informacja o tak wielkiej objętości byłaby trudna do interpretacji.

Konieczne jest więc stosowanie szeregu uproszczeń we wspólczesnej teorii kwantowej ciała stałego.

A i tak teoria schrodingera jest najprostszą teorią mechaniki kwantowej, gdyż jest to teoria niereleatywistyczna.

3. Podstawy mechaniki kwantowej:

3.1Podstawowe właściwości operatorów:

- rodzaje operatorów

- definicje terminów związanych z rachunkiem operatorowym

3.2 przykłady elementarnych problemów kwantowych

3.1 podstawowe właściwości operatorów

Równanie schrodingera jest to równanie operatorowe, a więc rola operatorów w mechanice kwantowej jest bardzo duża.