Równanie kp

Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia:
1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają – rdzenie

atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach:

0

=

∆

i

R

)

2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym
potencjale znajduje się tylko jeden elektron:

)

(

)

(

)

(

V

ˆ

2

kr

2

2

r

E

r

r

m

ψ

ψ

=













+

∇

−

h

Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha:

)

(

)

(

r

u

e

r

k

r

k

i

⋅

=

ψ

)

(

)

(

)

(

)

(

V

ˆ

2

kr

2

2

r

u

e

k

E

r

u

e

r

m

k

r

k

i

k

r

k

i

=













+

∇

−

h

Ż

eby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:

u

e

u

e

k

i

u

e

r

k

i

r

k

i

r

k

i

∇

+

=

∇

( ) (

)

=

∇

+

∇

+

∇

+

−

=

∇

+

∇

=

∇

u

e

u

e

k

i

u

e

k

i

u

e

k

u

e

u

e

k

i

u

e

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

2

2

2

(

)

u

u

k

i

u

k

e

r

k

i

2

2

2

∇

+

∇

+

−

−

=

Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:

Eu

e

u

r

m

k

m

k

i

m

e

r

k

i

r

k

i

=













+

+

∇

−

∇

−

)

(

V

ˆ

2

2

kr

2

2

2

2

2

h

h

h

dzielimy obustronnie przez

r

k

i

e

oraz odejmujemy

u

m

k

2

2

2

h

:

u

m

k

E

u

m

k

i

r

m













−

=

















∇

−













+

∇

−

2

)

(

V

ˆ

2

2

2

2

kr

2

2

h

h

h

← równanie kp

|

||

||

0

ˆ

H

- ten wyraz jest taki sam, zaburzenie

zb

Hˆ

'

E - łatwa do policzenia różnica

jak w równaniu wyjściowym

Wyrażenie

∇

−

h

i

jest równoważne działaniu operatora pędu pˆ :

∇

−

=

h

i

pˆ

Trzeba też zauważyć, że funkcji

)

(r

u

k

o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować.

Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę:

)

(

2

)

(

)

(

V

ˆ

ˆ

2

,

2

2

,

kr

2

2

r

u

m

k

E

r

u

r

p

k

m

m

k

n

k

n













−

=













+

+

∇

−

h

h

h

n

odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k