2 Dyskretne układy regulacji, rozdział 3 i 4 Funkcje dyskretne Równania różnicowe

background image

Janusz Kacerka

Dyskretne Układy

Regulacji

————————————————————————————————————————

Semestr 5 Elektrotechnika

Rozdział 3 - 4

background image

Spis treści

3. FUNKCJE DYSKRETNE I RÓWNANIA RÓŻNICOWE......................................................................................................................................................3

3.1 F

UNKCJE DYSKRETNE

................................................................................................................................................................................................................3

3.2 O

PIS UKŁADÓW DYSKRETNYCH W PRZESTRZENI STANÓW

.........................................................................................................................................................7

4.PRZEKSZTAŁCENIE Z............................................................................................................................................................................................................20

4.1 D

EFINICJA PRZEKSZTAŁCENIA

Z..............................................................................................................................................................................................20

4.2 W

YBRANE WŁAŚCIWOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA

Z.......................................................................................................................................................................25

4.3 T

RANSMITANCJA DYSKRETNA

.................................................................................................................................................................................................30

LITERATURA ...............................................................................................................................................................................................................................61

2

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 3

3. Funkcje dyskretne i równania różnicowe

Do analizy i syntezy układów dyskretnych stosuje się funkcje dyskretne a w przypadku

liniowych układów stacjonarnych wykorzystuje się przekształcenie Z.

3.1 Funkcje dyskretne

Z dowolnej funkcji ciągłej y(t) można otrzymać funkcję dyskretną y(kT

s

). Operację taką

przedstawiono jako wynik działania idealnego klucza (rys.2.3). Dla uproszczenia zapisu i

zwykle z tego powodu, że okres impulsowania jest zadany i stały dla całego układu funkcje

dyskretna zapisuje się w postaci y(k), opuszczając oznaczenie T

s

.

3

Dyskretne Układy Regulacji

Ponieważ w układach dyskretnych operuje się na funkcjach dyskretnych, to nie można

stosować zwykłych pochodnych i równań różniczkowych. Analogiem pochodnej funkcji

ciągłej w układach dyskretnych jest różnica funkcji dyskretnej określona wzorem

background image

Rozdział 3

( ) (

) ( )

k

y

k

y

k

y

+

=

Δ

1

(3.1)

We wzorze wprowadzono funkcję przesuniętą względem chwili k. Funkcje dyskretne

mogą być przesunięte w lewo (przyspieszone) o zadaną liczbę okresów impulsowania albo

w prawo (opóźnione).

y(k)

0 1

2

3

4

k

5

y(k)

3

4

k

5

0 1 2

4

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.3.1. Funkcja dyskretna przesunięta w lewo o 2 okresy – y(k+2)

background image

Rozdział 3

y(k)

0 1

2

3

4

k

5

y(k)

3

4

k

5

0

1 2

Rys.3.2. Funkcja dyskretna przesunięta w prawo o 2 okresy – y(k-2)

Podobnie jak w układach ciągłych pochodne wyższych rzędów tak i tutaj występują

różnice wyższych rzędów

( )

(

)

( ) (

) (

) (

) ( ) (

)

(

) ( )

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

+

+

+

=

+

+

+

+

=

Δ

+

Δ

=

Δ

1

2

2

1

1

2

1

2

(3.2)

( )

(

)

( ) (

)

(

)

(

) ( )

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

k

y

+

+

+

+

=

Δ

+

Δ

=

Δ

1

3

2

3

3

1

2

2

3

(3.3)

5

Dyskretne Układy Regulacji

i ogólnie różnica rzędu n

background image

Rozdział 3

( )

(

)

( )

k

y

k

y

k

y

n

n

n

Δ

+

Δ

=

Δ

1

1

(3.4)

Układ dyskretny można opisać równaniem różnicowym postaci

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

k

u

b

k

u

b

k

u

b

k

u

b

k

y

a

k

y

a

k

y

a

k

y

a

q

q

q

q

p

p

p

p

0

1

1

1

0

1

1

1

,

,

,

,

,

,

+

Δ

+

+

Δ

+

Δ

=

=

+

Δ

+

+

Δ

+

Δ

(3.5)

gdzie y – dyskretny sygnał wyjściowy, u - dyskretny sygnał wejściowy, p

≥q

Ze względu na możliwość operowania funkcjami przesuniętymi równanie przedstawia

się także w postaci

(

)

(

)

k

n

u

d

k

n

y

c

q

k

k

p

k

k

+

=

+

=

=

0

0

(3.6)

6

Dyskretne Układy Regulacji

Rozwiązanie równania wymaga p wartości sygnałów y tj. y(0),y(1)...y(p-1) i znanego

przebiegu sygnału wejściowego u(n)

background image

Rozdział 3

3.2 Opis układów dyskretnych w przestrzeni stanów

Równania dyskretne obiektu mogą być także przedstawione w przestrzeni stanów.

Systemem (układem) dynamicznym, liniowym, stacjonarnym, dyskretnym nazywa się

system, którego funkcja stanu jest rozwiązaniem równania różnicowego

(

)

( )

( )

( )

( )

0

,

1

0

x

k

x

k

Bu

k

Ax

k

x

k

=

+

=

+

=

(3.7)

i którego funkcja wyjścia jest określona liniowym równaniem algebraicznym

( )

( )

( )

k

Du

k

Cx

k

y

+

=

,

(3.8)

gdzie:

x(k)

∈ R

n

– wektor stanu układu,

u(k)

∈ R

p

– wektor wejścia układu,

y(k)

∈ R

m

– wektor wyjścia układu,

7

Dyskretne Układy Regulacji

A,B,C,D – macierze rzeczywiste,

background image

Rozdział 3

równanie (1) – równanie stanu,

równanie (2) – równanie wyjścia,

n – stopień równania stanu,

p – liczba wejść,

m – liczba wyjść,

k – indeks skalarny, przyjmujący wartości całkowite dodatnie reprezentuje kolejne

dyskretne momenty czasu [12]

(

)

[

]

( ) ( )

( ) ( )

i

i

i

i

i

kT

u

kT

B

kT

x

kT

A

T

k

x

+

=

+ 1

(3.9)

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

i

i

i

i

i

kT

u

kT

D

kT

x

kT

C

kT

y

+

=

(3.10)

8

Dyskretne Układy Regulacji

Równania (3.9),(3.10) są równaniami różnicowymi układów liniowych niestacjonarnych z

uwzględnieniem okresu impulsowania T

i

. Okres impulsowania oznacza się także T

s

(sample

background image

Rozdział 3

time)

(

)

( ) ( )

( ) ( )

k

u

k

B

k

x

k

A

k

x

+

=

+ 1

(3.11)

( )

( ) ( )

( ) ( )

k

u

k

D

k

x

k

C

k

y

+

=

(3.12)

Równania (3.11) i (3.12) są równaniami różnicowymi układów liniowych

niestacjonarnych z domyślnym okresem impulsowania. Na rysunku 3.3 przedstawiono

schemat blokowy niestacjonarnego układu dyskretnego.

9

Dyskretne Układy Regulacji

y(k)

B(k)

C(k)

D(k)

A(k)

u(k)

x(k+1)

Opóźnienie

T

i

x(k)

background image

Rozdział 3

Rys.3.3.Schemat blokowy liniowego, niestacjonarnego, dyskretnego układu sterowania

Na schemacie zaznaczono człon opóźniający o jeden okres impulsowania. Wynika to

z zasady obliczeń, wymagających pamiętania poprzednich stanów (Przykład 2.1).

Przedstawione równania są równaniami dotyczącymi bardzo ogólnych przypadków,

gdzie występuje więcej wejść i wyjść niż jedno (układy MIMO). W układach omawianych

na wykładzie najczęściej występuje jedno wejście i jedno wyjście (układy SISO).

Przykład 3.1

Dane jest równanie różnicowe układu z jednym wejściem i jednym wyjściem

(

)

(

)

(

)

( )

)

(

1

2

3

0

0

1

2

k

u

b

k

y

a

k

y

a

k

y

a

k

y

=

+

+

+

+

+

+

(3.13)

10

Dyskretne Układy Regulacji

Przedstawić równanie w przestrzeni stanów, przyjmując zmienną stanu x

1

(k)=y(k) oraz

background image

Rozdział 3

( )

(

) (

)

( )

(

) (

)

2

1

1

1

2

3

1

2

+

=

+

=

+

=

+

=

k

y

k

x

k

x

k

y

k

x

k

x

(3.14)

Wyjściowe równanie różnicowe można wówczas zapisać w następujący sposób

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

k

x

k

y

k

u

b

k

x

a

k

x

a

k

x

a

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

1

0

3

2

2

1

1

0

3

3

2

2

1

)

(

1

1

1

=

+

=

+

=

+

=

+

(3.15)

Macierze stanu, wejścia, wyjścia i transmisyjna przyjmą następujące postaci

(

)

( )

( ) ( )

( )

( )

[

]

[ ]

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

2

1

0

=

=

=

=

+

=

+

=

+

D

C

b

B

a

a

a

A

k

Du

k

Cx

k

y

k

Bu

k

Ax

k

x

(3.16)

11

Dyskretne Układy Regulacji

Równania mają ilustrację w postaci schematu blokowego

background image

Rozdział 3

y(k)

b

0

-a

2

u(k)

x

3

(k+1)

Opóź-

nienie

T

s

Opóź-

nienie

T

s

-a

1

Opóź-

nienie

T

s

-a

0

1

x

2

(k+1)

x

1

(k+1)

x

1

(k)

x

2

(k)=

x

3

(k)=

Rys.3.3.Schemat blokowy układu z przykładu 3.1

12

Dyskretne Układy Regulacji

Rozwiązanie układu równań różnicowych liniowych można uzyskać metodą klasyczną w

następujący sposób.

background image

Rozdział 3

Dane są warunki początkowe

( )

0

0

x

k

x

k

=

=

(3.17)

oraz wartości sygnału wejściowego u(k).

W kolejnych chwilach otrzymuje się następujące wartości

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

1

0

3

2

3

2

1

0

1

1

2

1

0

1

0

2

0

3

0

2

0

Bu

ABu

Bu

A

x

A

Bu

Ax

x

n

Bu

ABu

x

A

Bu

Ax

x

n

Bu

Ax

x

n

+

+

+

=

+

=

=

+

+

=

+

=

=

+

=

=

,

(3.18)

a ogólnie

( )

( )

i

Bu

A

x

A

n

x

n

i

i

i

n

n

=

=

+

=

1

0

1

0

(3.19)

13

Dyskretne Układy Regulacji

Macierz A

n

nazywa się macierzą podstawową układu równań różnicowych.

background image

Rozdział 3

Wyznaczanie równań różnicowych w przestrzeni stanów układów opisanych w

dziedzinie układów ciągłych za pomocą układu równań pierwszego rzędu rozpatruje się dla

dwóch przypadków

a) układ ciągły jest poprzedzony impulsatorami idealnymi (tyle impulsatorów ile wejść).

b) układ ciągły jest poprzedzony ekstrapolatorami zerowego rzędu.

Przy wyznaczaniu równań korzysta się z rozwiązania układu równań różniczkowych w

przedziale [k,k+1]. Ogólna postać rozwiązania układu równań różniczkowych o stałych

współczynnikach jest określona wzorem

( )

(

)

( )

( )

τ

τ

+

=

τ

d

Bu

e

x

e

t

x

t

t

t

A

t

t

A

0

0

0

(3.20)

14

Dyskretne Układy Regulacji

Schematy blokowe omawianych układów przedstawiono na rysunkach 3.4 i 3.5.

background image

Rozdział 3

u

D

x

C

y

u

B

x

A

x

1

1

1

1

+

=

+

=

&

Rys.3.4.Układ ciągły opisany w przestrzeni stanów z impulsatorem idealnym

u

D

x

C

y

u

B

x

A

x

1

1

1

1

+

=

+

=

&

Ekstrapolator

zerowego

rzedu

Rys.3.5.Układ ciągły opisany w przestrzeni stanów z ekstrapolatorem

15

Dyskretne Układy Regulacji

Ciąg impulsów wyjściowych idealnego impulsatora

background image

Rozdział 3

( ) ( ) (

)

,...

2

,

1

,

0

*

=

=

k

kT

t

kT

u

t

u

i

i

δ

(3.21)

We wzorze (3.20) przyjęto x

0

=x(kT

i

), t=(k+1)T

i

, t

0

=kT

i

,


Wektor stanu po upływie okresu impulsowania

(

)

[

]

( )

(

)

[

]

( )

(

)

+

τ

+

τ

+

=

+

i

i

i

i

T

k

kT

i

T

k

A

i

T

A

i

d

kT

u

B

e

kT

x

e

T

k

x

1

1

1

1

1

1

(3.22)

Ze względu na filtrujące właściwości impulsów Diraca w całce otrzymuje się

(

)

[

]

( )

( )

i

T

A

i

T

A

i

kT

u

B

e

kT

x

e

T

k

x

i

i

1

1

1

1

+

=

+

(3.23)

Macierze układu dyskretnego

1

1

1

1

1

D

D

C

C

B

e

B

e

A

i

i

T

A

T

A

=

=

=

=

(3.24)

16

Dyskretne Układy Regulacji

Drugi z omawianych układów dotyczy impulsów prostokątnych na wyjściu elementu

formującego

background image

Rozdział 3


(

)

[

]

( )

(

)

[

]

( )

(

)

+

τ

+

τ

+

=

+

i

i

i

i

T

k

kT

i

T

k

A

i

T

A

i

d

kT

u

B

e

kT

x

e

T

k

x

1

1

1

1

1

1

(3.25)

Po zmianie granic całkowania otrzymuje się najpierw

(

)

[

]

( )

( )

+

=

+

i

i

T

i

t

A

i

T

A

i

dt

kT

u

B

e

kT

x

e

T

k

x

0

1

1

1

1

(3.26)

a następnie macierze układu następującej postaci

[

]

1

1

1

1

1

1

1

1

D

D

C

C

B

e

A

B

e

A

i

i

T

A

T

A

=

=

=

=

(3.27)

Przykład 3.2

17

Dyskretne Układy Regulacji

Dany jest element inercyjny pierwszego rzędu, opisany równaniem

background image

Rozdział 3

x

y

u

T

k

x

T

x

=

+

=

1

&

(3.28)

Należy wyznaczyć dyskretne równania stanu dla układu poprzedzonego impulsatorem

idealnym i ekstrapolatorem zerowego rzędu.

Ustalono macierze układu ciągłego. Są to

0

1

1

1

1

1

1

=

=

=

=

D

C

T

k

B

T

A

(3.29)

Korzystając ze wzoru (3.24) otrzymuje się

18

Dyskretne Układy Regulacji

0

1

=

=

=

=

D

C

e

T

k

B

e

A

T

T

T

T

i

i

(3.30)

background image

Rozdział 3

W drugim przypadku skorzystano ze wzoru (3.27)

0

1

1

=

=

⎟⎟

⎜⎜

=

=

D

C

e

k

B

e

A

T

T

T

T

i

i

(3.27)

19

Dyskretne Układy Regulacji

W układach dyskretnych liniowych stosuje się przekształcenie Z, które umożliwia

operowanie równaniami algebraicznymi zamiast równaniami różnicowymi.

background image

Rozdział 4

4.Przekształcenie Z

4.1 Definicja przekształcenia Z

Dla funkcji dyskretnej f(kT

s

) transformatą F(z), nazywa się sumę szeregu

nieskończonego

( )

( )

=

=

0

k

k

i

z

kT

f

z

F

(4.1)

Transformata istnieje, jeżeli szereg jest zbieżny. Zmienna z jest zmienna zespoloną.

Funkcja dyskretna f(kT

i

) albo f(k) nazywa się oryginałem dyskretnym, a f(t) –

oryginałem ciągłym.

Przykład 4.1

20

Dyskretne Układy Regulacji

Dana jest funkcja dyskretna jednostkowa określona wzorem:

background image

Rozdział 4

( )

<

=

0

0

0

1

1

n

dla

n

dla

n

(4.2)

Jej przebieg pokazano na rysunku

1(n)

0 1

2

3

4

n

5

1

Rys.4.1.Jednostkowa funkcja dyskretna

21

Dyskretne Układy Regulacji

Suma szeregu (4.1) ma postać

background image

Rozdział 4

( )

1

1

1

1

1

1

1

3

2

0

=

+

+

+

+

+

+

=

=

=

z

z

z

z

z

z

z

z

k

k

k

L

L

(4.3)

Jest to suma ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie 1/z. Dla |1/z|<1

szereg jest zbieżny.

Przykład 4.2

Dana jest funkcja dyskretna wykładnicza określona wzorem

<

=

α

α

0

0

0

)

(

1

n

dla

n

dla

e

n

e

i

i

nT

nT

(4.4)

22

Dyskretne Układy Regulacji

Transformata Z tej funkcji ma postać

background image

Rozdział 4

( )

[

]

1

;

1

1

3

3

2

2

0

<

=

=

+

+

+

+

+

+

=

=

α

α

α

α

α

α

=

α

α

z

e

warunek

e

z

z

z

e

z

e

z

e

z

e

z

e

n

e

Z

i

i

i

i

i

i

i

i

T

T

k

kT

T

T

T

k

k

nT

nT

L

L

(4.3)

Tablica transformat wybranych funkcji

23

Dyskretne Układy Regulacji

Funkcja ciągła f(t)

Funkcja dyskretna f(n)

Transformata F(z)

)

(t

δ

( )

s

nT

δ

1

)

(t

1

)

(

s

nT

1

1

z

z

background image

Rozdział 4

Funkcja ciągła f(t)

Funkcja dyskretna f(n)

Transformata F(z)

)

(t

t

1

)

(

)

(

s

s

nT

nT

1

2

)

1

(

z

z

T

s

)

(t

e

at

1

±

)

(

s

anT

nT

e

s

1

±

s

aT

e

z

z

±

)

(t

a

t

1

)

(

s

nT

nT

a

s

1

a

z

z

)

(

1 t

e

t

j

ω

±

)

(

1

s

nT

j

nT

e

s

ω

±

s

T

j

e

z

z

ω

±

)

(

1 t

te

at

( )

)

(

1

s

anT

s

nT

e

nT

s

(

)

2

s

s

aT

aT

s

e

z

e

zT

24

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 4

4.2 Wybrane właściwości przekształcenia Z

Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w lewo o k okresów impulsowania

(

)

[

]

( )

( )

=

=

+

1

0

k

i

i

k

k

z

i

f

z

F

z

k

n

f

Z

(4.4)

W przypadku szczególnym, gdy

( )

( )

(

)

0

1

1

0

=

=

=

=

k

f

f

f

L

(4.5)

(

)

[

]

( )

z

F

z

k

n

f

Z

k

=

+

(4.6)

Transformata funkcji opóźnionej o k okresów impulsowania

(

)

[

]

( )

z

F

z

k

n

f

Z

k

=

(4.7)

Transformata różnicy funkcji dyskretnej

( )

[

]

25

Dyskretne Układy Regulacji

(

) ( )

( )

0

1

zf

z

F

z

n

f

Z

=

Δ

(4.8)

background image

Rozdział 4

Suma funkcji dyskretnej i jej transformata.
Suma funkcji dyskretnej jest określona wzorem

( )

=

=

=

ϕ

1

0

)

(

n

i

i

i

f

n

(4.9)

Pierwsza różnica sumy funkcji dyskretnej jest określona wzorem

( )

( )

( )

=

=

=

=

=

=

ϕ

+

ϕ

=

ϕ

Δ

1

0

0

)

(

)

1

(

)

(

n

i

i

n

i

i

n

f

i

f

i

f

n

n

n

(4.10)

Transformata sumy funkcji dyskretnej

( )

[ ]

( )

( )

( )

[

]

n

f

Z

z

F

gdzie

z

z

F

n

Z

=

=

ϕ

1

(4.11)

Splot funkcji dyskretnych i jego transformata

26

Dyskretne Układy Regulacji

Splotem funkcji dyskretnych nazywa się funkcję dyskretną przyjmującą postać

background image

Rozdział 4

( ) ( )

( ) (

)

i

n

f

i

f

n

f

n

f

n

i

=

=

2

0

1

2

1

*

(4.12)

Można zauważyć, że odpowiedź układu dynamicznego na ciąg impulsów Diraca z

wagami w postaci wartości sygnału ciągłego (odpowiedź na sygnał impulsowy) jest

splotem funkcji dyskretnych (wzór 2.7). Transformata splotu funkcji dyskretnych

( ) ( )

[

]

( ) (

)

( ) ( )

z

F

z

F

i

n

f

i

f

Z

n

f

n

f

Z

n

i

2

1

2

0

1

2

1

*

=

=

=

(4.11)

Wynika stąd, że transformata Z odpowiedzi dyskretnej układu y(n) jest określona

wzorem

27

Dyskretne Układy Regulacji

( )

( )

[ ]

( ) (

)

( )

[ ]

( )

[ ]

( ) ( )

z

G

z

U

k

g

Z

k

u

Z

k

n

g

k

u

Z

n

y

Z

z

Y

n

k

k

=

=

=

=

=

=0

(4.12)

background image

Rozdział 4

Wielkość G(z) nazywa się transmitancją dyskretną. Jej postać wyprowadza się

zazwyczaj na podstawie równania różnicowego.

Twierdzenia o wartościach granicznych funkcji dyskretnych.

Z transformaty funkcji dyskretnej można uzyskać informacje o jej wartości

początkowej tzn. dla n=0 oraz o wartości dla n

→∞

Wartość początkowa funkcji dyskretnej

( )

( )

( )

( )

z

F

z

z

z

F

n

f

f

z

z

n

1

lim

lim

lim

0

0

=

=

=

(4.13)

Wartość końcowa funkcji dyskretnej

( )

( )

( )

z

F

z

z

n

f

f

z

n

1

lim

lim

1

=

=

(4.14)

28

Dyskretne Układy Regulacji

Przykład 4.3

background image

Rozdział 4

Dana jest transformata dyskretnej funkcji wykładniczej

( )

s

T

e

z

z

z

F

α

=

(4.15)

Należy wyznaczyć wartość początkową i końcową funkcji dyskretnej dla

α>0.

Ze wzoru (4.13) wartość początkowa wykładniczej funkcji dyskretnej

( )

( )

1

lim

lim

0

0

=

=

=

α

s

T

z

n

e

z

z

n

f

f

(4.16)

a ze wzoru (4.14) wartość końcowa funkcji dyskretnej

( )

( )

0

1

lim

lim

1

=

=

=

α

s

T

z

n

e

z

z

z

z

n

f

f

(4.17)

29

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 4

4.3 Transmitancja dyskretna

Transmitancję wyprowadza się z równania różnicowego zbudowanego z funkcji

przesuniętych

)

(

)

1

(

...

)

(

)

(

)

1

(

...

)

1

(

)

(

0

1

0

1

1

n

u

b

n

u

b

m

n

u

b

n

y

a

n

y

a

k

n

y

a

k

n

y

a

m

k

k

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

(4.18)

gdzie k

≥m. Inna postać równania

(

)

(

)

=

=

=

=

+

=

+

m

j

j

j

m

k

i

i

i

k

j

m

n

u

b

i

k

n

y

a

0

0

(4.19)

Obie strony równania poddaje się transformacji Z przy zerowych warunkach

początkowych, otrzymując przy wykorzystaniu transformat funkcji przesuniętych

30

Dyskretne Układy Regulacji

( )

( )

=

=

=

=

=

m

j

j

j

m

j

m

i

k

k

i

i

i

k

z

U

z

b

z

Y

z

a

0

0

(4.20)

background image

Rozdział 4

Stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy

zerowych warunkach początkowych nosi nazwę transmitancji dyskretnej

( )

( )

( )

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

a

z

a

z

a

z

a

b

z

b

z

b

z

b

z

a

z

b

z

U

z

Y

z

G

k

k

k

k

m

m

m

m

i

k

k

i

i

i

k

m

j

j

j

m

j

m

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

=

=

=

L

L

(4.21)

Przykład 4.4

Dane jest równanie różnicowe drugiego rzędu

(

)

(

)

( )

(

)

( )

n

u

b

n

u

b

n

y

a

n

y

a

n

y

a

0

1

0

1

2

1

1

2

+

+

=

+

+

+

+

(4.22)

Wyznaczyć transmitancję dyskretną układu.

31

Dyskretne Układy Regulacji

Przekształcenie Z obu stron równania przy zerowych warunkach początkowych

background image

Rozdział 4

( )

( )

( )

( )

( )

z

U

b

z

zU

b

z

Y

a

z

zY

a

z

Y

z

a

0

1

0

1

2

2

+

=

+

+

(4.23)

Transmitancja dyskretna

( )

( )

( )

0

1

2

2

0

1

a

z

a

z

a

b

z

b

z

U

z

Y

z

G

+

+

+

=

=

(4.24)

Koniec przykładu.

Transformata odpowiedzi układu dyskretnego jest określona wzorem

( ) ( ) ( )

z

U

z

G

z

Y

=

(4.25)

Wyznaczanie funkcji dyskretnej na podstawie transformaty Z

32

Dyskretne Układy Regulacji

Transformata odpowiedzi nie jest wystarczająca do oceny zachowania układu

dyskretnego. Należy zbadać także przebieg funkcji dyskretnej odpowiedzi badanego

background image

Rozdział 4

układu. Stosuje się ogólna metodę znaną jako odwrotne przekształcenie Z. W prostszych

przypadkach można zastosować rozkład funkcji zespolonej Y(z) na szereg potęgowy.

Funkcja zespolona Y(z) jest najczęściej funkcja wymierną zmiennej zespolonej z

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

0

1

1

1

c

z

c

z

c

z

c

z

L

z

M

z

L

z

U

z

G

z

Y

l

l

l

l

+

+

+

+

=

=

=

L

(4.26)

33

Dyskretne Układy Regulacji

W wyrażeniu na Y(z) występuje oprócz transmitancji dyskretnej także transformata

sygnału wejściowego układu. Trzeba zwrócić uwagę na to, że oprócz miejsc zerowych

mianownika transmitancji wystąpią miejsca zerowe transformaty sygnału U(z), co jest

istotne przy wyznaczaniu przebiegu funkcji dyskretnych. Odwrotne przekształcenie Z

wymaga rozwiązania równania charakterystycznego transformaty, to znaczy równania

otrzymanego po przyrównaniu wielomianu mianownika do 0

background image

Rozdział 4

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

c

z

c

z

c

z

c

l

l

l

l

L

(4.27)

Pierwiastki równania w najprostszym przypadku są pojedyncze

l

z

z

z

z

,

,

,

,

3

2

1

L

(4.28)

Odwrotne przekształcenie Z jest określone wzorem

( )

( )

[

]

1

Re

=

n

l

z

z

z

F

s

n

f

l

(4.29)

Res

jest skrótem od residuum - pojęciem z dziedziny funkcji zespolonych. W

przypadku funkcji wymiernej (4.21) dla pierwiastków jednokrotnych składniki sumy mają

postać

34

Dyskretne Układy Regulacji

( )

[

]

( )(

)

[

]

1

1

lim

Re

=

n

l

z

z

n

z

z

z

z

z

Y

z

z

Y

s

l

l

(4.30)

background image

Rozdział 4

Dla pierwiastków wielokrotnych składniki sumy przyjmują postać zależną od

wielokrotności pierwiastków równania charakterystycznego

( )

[

]

(

)

( )(

)

[

]

l

l

l

l

l

z

n

m

l

m

m

l

n

z

z

z

z

z

Y

dz

d

m

z

z

Y

s

1

1

1

1

!

1

1

Re

=

(4.31)

gdzie m

l

jest krotnością pierwiastka z

l

.

Przykład 4.4

Wyznaczyć oryginał dyskretny transformaty funkcji dyskretnej

35

Dyskretne Układy Regulacji

( ) (

)(

)

2

.

0

1

.

0

+

=

z

z

z

z

Y

(4.32)

background image

Rozdział 4

Miejsca zerowe mianownika to z

1

=0.1 i z

2

=-0.2. Pierwiastki są jednokrotne a zatem

można stosować wzór (4.29) i (4.30).

( )

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

( )

(

)

(

)

[

]

n

n

n

n

z

n

z

n

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

n

y

2

.

0

1

.

0

3

.

0

1

2

.

0

3

.

0

2

.

0

1

.

0

3

.

0

1

.

0

2

.

0

1

.

0

2

.

0

2

.

0

1

.

0

1

.

0

1

1

2

.

0

1

1

.

0

1

2

1

=

+

=

+

+

+

+

=

=

=

(4.33)

36

Dyskretne Układy Regulacji

Można sprawdzić, że wartość początkowa sygnału y(n) wyznaczona ze wzoru (4.33) i

z twierdzenia o wartości początkowej są sobie równe. Wartości początkowe wyznaczono

określając następujące granice:

background image

Rozdział 4

( )

( )

(

)(

)

( )

( )

( ) (

)

[

]

0

2

.

0

1

.

0

3

.

0

1

lim

lim

0

0

2

.

0

1

.

0

lim

lim

0

0

0

=

=

=

=

+

=

=

n

n

n

n

z

z

n

y

y

z

z

z

z

Y

y

(4.34)

Koniec przykładu.

Wyznaczanie oryginału transformaty przez rozkład na szereg potęgowy.

Przykład 4.5

Wyznaczyć oryginał dyskretny transformaty funkcji dyskretnej z przykładu 4.4

( ) (

)(

)

2

.

0

1

.

0

2

.

0

1

.

0

2

+

=

+

=

z

z

z

z

z

z

z

Y

(4.35)

stosując rozwinięcie na szereg potęgowy zmiennej z.

37

Dyskretne Układy Regulacji

Po podzieleniu licznika i mianownika transformaty przez najwyższa potęgę

background image

Rozdział 4

mianownika i po wykonaniu dzielenia wielomianów otrzymano

( )

(

)

L

+

+

+

=

+

=

3

2

1

2

1

1

21

.

0

1

.

0

0

2

.

0

1

.

0

1

:

z

z

z

z

z

z

z

y

(4.36)

Współczynniki rozwinięcia są kolejnymi wartościami funkcji dyskretnej w chwilach

0,1,2,3...

Koniec przykładu.

Wyznaczanie transmitancji dyskretnej

Transmitancję można wyznaczyć mając do dyspozycji równanie różnicowe w postaci

sumy funkcji przesuniętych jak we wzorach (4.18) – (4.21). Podobna operację można

przeprowadzić mając zapis układu dyskretnego w przestrzeni stanów (3.7),(3.8).

(

)

( )

( )

38

Dyskretne Układy Regulacji

( )

( )

( )

n

Du

n

Cx

n

y

n

Bu

n

Ax

n

x

+

=

+

=

+1

(4.37)

background image

Rozdział 4

Po przekształceniu Z równań otrzymano

( )

( )

( )

( )

( )

( )

z

DU

z

CX

z

Y

z

BU

z

AX

z

zX

+

=

+

=

(4.38)

Przekształcenie równań macierzowych (4.38) prowadzi do następującego wyniku:

[

]

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

[

]

D

B

A

z

C

z

G

z

DU

z

BU

A

z

C

z

Y

z

DU

z

CX

z

Y

z

BU

A

z

z

X

z

BU

z

X

A

z

+

=

+

=

+

=

=

=

1

1

1

1

1

1

1

(4.39)

W ogólnym przypadku sygnały u(n) i y(n) a także ich transformaty są wektorami (MIMO),

a w związku z tym G(z) jest macierzą transmitancji dyskretnych. Poprawny jest wzór

( )

( ) ( )

z

U

z

G

z

Y

=

(4.40)

39

Dyskretne Układy Regulacji

Natomiast nie można wyznaczyć G(z)=Y(z)/U(z). Taka zależność jest poprawna tylko w

background image

Rozdział 4

układach SISO.

Przekształcenie opisu w przestrzeni stanów dyskretnych na transmitancję (macierz

transmitancji) jest operacja jednoznaczną. To znaczy dla danego równania różnicowego

otrzymuje się jedną postać transmitancji (dla części obserwowalnej i sterowalnej).

Przejście od transmitancji dyskretnej do opisu w przestrzeni stanów nie jest jednoznaczne

i wynik zależy od przyjętej metody postępowania. Bardzo często stosuje się tzw. metodę

bezpośrednią. Przebieg postępowania jest następujący. Z transmitancji (4.21) otrzymuje

się

( )

( )

[

]

( )

z

E

z

b

z

b

z

b

z

b

z

U

z

a

z

a

z

a

z

b

z

b

z

b

z

b

z

Y

n

n

n

m

m

n

m

m

n

n

k

n

n

n

m

m

n

m

m

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

L

L

L

(4.41)

40

Dyskretne Układy Regulacji

Zmienna pomocnicza E(z) umożliwia wprowadzenie równania sumatora

background image

Rozdział 4

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

z

E

z

a

z

E

z

a

z

E

z

a

z

U

z

E

z

E

z

a

z

a

z

a

z

U

n

k

k

n

n

k

+

=

+

+

+

+

=

0

2

2

1

1

0

1

1

1

1

1

L

L

(4.42)

41

Dyskretne Układy Regulacji

Równania najlepiej jest zilustrować schematem blokowym, na którym wykorzystano

bloki opóźniające o jeden okres impulsowania z

-1

.

background image

Rozdział 4

y(k)

b

0

z

-1

u(k)

x

n

(k+1)

-a

1

x

n-1

(k)

x

2

(k)

x

1

(k)

-a

n-1

z

-1

z

-1

-a

0

b

n-1

b

1

Rys.4.1.Schemat blokowy układu metodą bezpośrednią

42

Dyskretne Układy Regulacji

Ze schematu wynika równanie

background image

Rozdział 4

(

)

( )

( )

( )

[

]

( )

[ ]

( )

n

u

n

x

b

b

b

n

y

n

u

n

x

a

a

a

a

n

x

n

n

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

2

1

0

+

=

+

=

+

M

L

L

M

M

M

M

L

L

L

(4.43)

43

Dyskretne Układy Regulacji

Oprócz przedstawionej metody bezpośredniej korzysta się z innych standardowych

postaci otrzymanych metoda równoległą, iteracyjną i innymi. Macierze w innych

metodach mają te same wymiary, ale różne elementy. Na przykład w metodzie

równoległej macierz stanu ma postać

background image

Rozdział 4

=

n

z

z

z

A

L

O

L

L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

(4.44)

W macierzy A na przekątnej występują miejsca zerowe wielomianu mianownika

transmitancji. Budowa tej macierzy w przypadku biegunów wielokrotnych jest bardziej

złożona.

Wyznaczanie transmitancji dyskretnej z transmitancji ciągłej obiektu

44

Dyskretne Układy Regulacji

a) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej z odpowiedzi impulsowej układu ciągłego

Wiadomo, że odpowiedź układu ciągłego na sygnał impulsowy jest splotem

dyskretnym funkcji dyskretnych wejścia i dyskretnej odpowiedzi impulsowej układu

background image

Rozdział 4

ciągłego. Wynika stąd, że wystarczy wyznaczyć transformatę Z funkcji dyskretnej

odpowiedzi impulsowej układu ciągłego. Rezultat jest transmitancją dyskretną układu.

Przykład 4.6.

Wyznaczanie transmitancji dyskretnej elementu całkującego idealnego, którego

transmitancja ma postać

( )

s

k

s

G

=

(4.45)

gdzie k- współczynnik wzmocnienia.

Odpowiedź impulsowa w postaci dyskretnej będzie wynosiła:

( )

( )

( )

s

nT

k

n

h

t

k

t

h

1

)

(

1

=

=

(4.46)

45

Dyskretne Układy Regulacji

Transformata Z odpowiedzi ma postać:

background image

Rozdział 4

( )

{ }

( )

{

}

( )

1

1

1

=

=

=

z

z

z

G

z

z

nT

k

Z

n

h

Z

s

(4.47)

Koniec przykładu 4.6

Przykład 4.7

Element całkujący jak w przykładzie 4.6 jest poprzedzony elementem ZOH

(ekstrapolatorem zerowego rzędu). Należy wyznaczyć transmitancję dyskretną

połączenia.

y(k)

k/s

u(k)

Rys.4.2.Element całkujący poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu

46

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 4

Transmitancja połączenia szeregowego elementów wynosi

( )

2

1

s

e

k

s

G

s

sT

=

(4.48)

Odpowiedź impulsową i przekształcenie Z zaprezentowano w równaniu (4.49).

( )

( ) (

)

[

]

( )

( ) (

)

[

]

( )

( )

[

]

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

)

(

1

1

)

(

1

1

2

2

1

2

=

=

=

=

=

=

z

kT

z

kzT

z

z

z

kzT

z

z

kzT

nT

h

Z

z

G

T

nT

T

nT

nT

nT

k

nT

h

T

t

T

t

t

t

k

t

h

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

(4.49)

Koniec przykładu 4.7

b) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej pierwszą metodą Eulera

47

Dyskretne Układy Regulacji

Załóżmy transmitancję członu

background image

Rozdział 4

( )

( )

( )

s

s

E

s

F

s

G

c

1

=

=

(4.50)

Odpowiada to równaniu różniczkowemu

( )

t

e

dt

df =

(4.51)

Całując obie strony równania, otrzymuje się

( )

( )

( )

0

0

0

t

t

dt

t

e

t

f

t

f

t

t

+

=

(4.52)

Dla okresu próbkowania T

s

otrzymuje się

(

)

( )

( )

(

)

dt

t

e

kT

f

T

kT

f

s

s

T

k

kT

s

s

s

+

+

=

+

1

(4.52)

48

Dyskretne Układy Regulacji

Wartość całki można wyznaczyć jako pole prostokąta, jak na rysunku

background image

Rozdział 4

kT

s

(k+1)T

s

e(t)

e(kT

s

)

Rys.4.3. Aproksymacja przebiegu ciągłego pierwszą metodą prostokątów

Z rysunku 4.3 wynika wartość całki jako pole prostokąta o podstawie T

s

(

)

( )

( )

s

s

s

s

s

kT

e

T

kT

f

T

kT

f

+

=

+

(4.53)

Z tego równania różnicowego po transformacji Z powstaje równanie

( ) ( )

( )

z

E

T

z

F

z

zF

s

=

(4.54)

49

Dyskretne Układy Regulacji

a następnie transmitancja członu całkującego

background image

Rozdział 4

( )

( )

( )

1

=

=

z

T

z

E

z

F

z

H

s

(4.55)

Pierwsza metoda Eulera (prostokątów I) może posłużyć do zamiany transmitancji

ciągłej na dyskretną przez podstawienie pokazane we wzorze

( )

( )

1

1

1

1

=

=

=

=

=

z

T

s

s

G

z

H

s

T

z

s

T

z

s

c

s

s

(4.56)

c) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej drugą metodą Eulera

Pole prostokąta podczas całkowania może być obliczone tak, jak pokazano to na

rysunku 4.4. Pole prostokąta jest określone jako pole prostokąta o podstawie T

s

i

wysokości e(kT

s

+T

s

).

50

Dyskretne Układy Regulacji

(

)

( )

(

)

s

s

s

s

s

s

T

kT

e

T

kT

f

T

kT

f

+

+

=

+

(4.57)

background image

Rozdział 4

(k+1)T

s

kT

s

e(t)

e(k+1)T

s

Rys.4.4. Aproksymacja przebiegu ciągłego drugą metodą prostokątów

Z tego równania różnicowego po transformacji Z otrzymuje się

( ) ( )

( )

z

E

zT

z

F

z

zF

s

=

(4.58)

a następnie transmitancję członu całkującego

51

Dyskretne Układy Regulacji

( )

( )

( )

1

=

=

z

zT

z

E

z

F

z

H

s

(4.59)

background image

Rozdział 4

Druga metoda Eulera (prostokątów II) może posłużyć do zamiany transmitancji ciągłej

na dyskretną przez podstawienie pokazane we wzorze

( )

( )

1

1

1

1

=

=

=

=

=

z

zT

s

s

G

z

H

s

zT

z

s

zT

z

s

c

s

s

(4.60)

d) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej metodą Tustina

52

Dyskretne Układy Regulacji

Jest to metoda trapezów, która daje zdecydowanie najlepsze odwzorowania w

porównaniu z metodami prostokątów.

background image

Rozdział 4

(k+1)T

s

kT

s

e(t)

e(k+1)T

s

Rys.4.4. Aproksymacja przebiegu ciągłego drugą metodą prostokątów

53

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 4

kT

s

(k+1)T

s

e(t)

e(kT

s

)

e[(k+1)T

s

]

Rys.4.5. Aproksymacja przebiegu ciągłego metodą trapezów


Z rysunku 4.5 wynika wartość całki jako pole trapezu o wysokości T

s

(

)

( )

( ) (

)

[

]

i

i

i

i

i

i

i

T

kT

e

kT

e

T

kT

f

T

kT

f

+

+

+

=

+

2

(4.61)

54

Dyskretne Układy Regulacji

Z tego równania różnicowego po transformacji Z otrzymuje się

background image

Rozdział 4

( ) ( )

( )

( )

[

]

z

zE

z

E

T

z

F

z

zF

s

+

=

2

(4.62)

a następnie transmitancję członu całkującego

( )

( )

( )

1

1

2

+

=

=

z

z

T

z

E

z

F

z

H

s

(4.63)

Metoda Tustina (metoda trapezów) może posłużyć do zamiany transmitancji ciągłej na

dyskretną przez podstawienie pokazane we wzorze dla członu całkującego (4.63):

( )

( )

1

1

2

1

1

1

2

1

1

2

+

=

=

=

+

=

+

=

z

z

T

s

s

G

z

H

s

z

z

T

s

z

z

T

s

c

s

s

(4.64)

Przykład 4.8

55

Dyskretne Układy Regulacji

Wyznaczyć różnymi metodami transmitancje dyskretne elementu inercyjnego

background image

Rozdział 4

pierwszego rzędu, którego transmitancję ciągłą określono wzorem

( )

1

+

=

sT

k

s

G

(4.65)

gdzie k – współczynnik proporcjonalności, T – stała czasowa.

Założono, że element inercyjny jest poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu.

a) Metoda odpowiedzi impulsowej

( )

1

1

+

=

sT

k

s

e

s

g

s

sT

(4.67)

56

Dyskretne Układy Regulacji

Postać funkcji dyskretnej

background image

Rozdział 4

( )

( )

(

) ( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

s

s

s

s

T

t

T

T

t

T

t

nT

g

nT

g

nT

g

t

g

t

g

t

g

T

t

e

k

t

e

k

t

g

s

s

2

1

2

1

1

1

1

1

1

=

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

(4.66)

Transformata funkcji dyskretnej

( )

( )

{

}

( )

( )

{

}

( )

{

}

( )

{

}

s

s

s

s

s

nT

g

Z

z

nT

g

Z

nT

g

nT

g

Z

nT

g

Z

z

G

1

1

1

2

1

=

=

=

=

(4.67)

57

Dyskretne Układy Regulacji

background image

Rozdział 4

( )

{

}

( )

( )

(

)

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

⎟⎟

⎜⎜

=

⎪⎭

⎪⎩

⎟⎟

⎜⎜

=

T

T

T

T

T

T

s

T

nT

s

s

s

s

s

s

e

z

z

e

kz

e

z

z

z

z

k

nT

e

nT

k

Z

nT

g

Z

1

1

1

1

1

1

(4.68)

Po uwzględnieniu wzoru (4.67) otrzymuje się transmitancję elementu inercyjnego

( )

(

)

(

)

T

T

T

T

T

T

T

T

s

s

s

s

e

z

e

k

e

z

z

e

kz

z

z

G

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

1

1

1

1

1

(4.69)

b) Transmitancja dyskretna z równania stanu elementu inercyjnego

58

Dyskretne Układy Regulacji

Macierze elementu inercyjnego z równania (3.27)

background image

Rozdział 4

0

1

1

=

=

⎟⎟

⎜⎜

=

=

D

C

e

k

B

e

A

T

T

T

T

s

s

(4.70)

Transmitancja dyskretna z (4.39)

( )

[

]

T

T

T

T

T

T

T

T

s

s

s

s

e

z

e

k

e

k

e

z

D

B

A

z

C

z

G

=

⎟⎟

⎜⎜

=

+

=

1

1

1

1

1

(4.71)

Wynik jest analogiczny jak w poprzednio w punkcie a).

c) Transmitancja I metodą Eulera (metoda prostokątów)

59

Dyskretne Układy Regulacji

( )

( )

T

T

zT

kT

T

T

z

k

sT

k

s

G

z

G

s

s

s

T

z

s

s

+

=

+

=

+

=

=

=

1

1

1

1

(4.72)

background image

Rozdział 4

Wynik ten jest uproszczonym wyrażeniem (4.71). Rozwinięcie w szereg Maclaurina

funkcji wykładniczej i pozostawienie liniowych składników rozwinięcia

T

T

T

T

T

T

T

T

e

s

s

s

s

T

T

s

+

+

=

1

!

3

1

!

2

1

1

3

2

L

(4.73)

we wzorze na transmitancję (4.71) prowadzi do wyniku otrzymanego metodą prostokątów

(4.72)

60

Dyskretne Układy Regulacji

( )

T

T

zT

kT

T

T

z

T

T

k

e

z

e

k

z

G

s

s

s

s

T

T

T

T

s

s

+

=

+

+

=

1

1

1

1

(4.74)

background image

Literatura

Literatura

[1] Ackerman J.: Regulacja impulsowa. WNT, Warszawa 1976
[2] Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce. Mikom, Warszawa2002
[3] Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki. Mikom, Warszawa2004
[4] Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii. WNT, Warszawa 2008
[5] Gessing R.: Teoria sterowania. Część I. Układy liniowe. Skrypt uczelniany ' Politechniki Śląskiej nr 1302,

Gliwice 1987.

[6] Kaczorek T.: Teoria sterowania. T.1. PWN, Warszawa 1977
[7] Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa 1977
[8] Laboratorium Teorii Sterowania i Podstaw Automatyki, Błachuta M. [red.]: (praca zbiorowa), Wydawnictwo

Politechniki Śląskiej nr 2082

[9] Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. WNT, Warszawa 1979
[10] Markowski J.: Elementy urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 2006
[11] Mutambara A.: Design and Analysis of Control Systems. CRC Press, New York, 1999
[12] Niederliński A.: Systemy i sterowanie. Wyd. Politechniki Śląskiej, skrypt Nr 746, Gliwice 1978
[13] Ogata K.: Discrete – time control systems. Prentice Hall Inter., Englewood Cliffs 1987
[14] PN-88 M-42000 Automatyka i pomiary przemysłowe. Terminologia
[15] Rumatowski K.: podstawy automatyki. Część 2. Układy dyskretne i stochastyczne. Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej, Poznań 2005

[16] Schönfeld R.: Digitale Regelung elektrischer Abtriebe. VEB Verlag, Berlin 1987

61

Dyskretne Układy Regulacji

[17] Schönfeld R.: Grundlagen der automatischen Steuerung. VEB Verlag, Berlin 1984

background image

Literatura

[18] Sinha N.K.: Controls systems. John Wiley &Sons, New York 1995
[19] Takahashi Y., Rabins M., Auslander D.: Sterowanie i systemy dynamiczne. WNT, Warszawa 1976
[20] Tewari A.: Modern Control Design with Matlab and Simulink. John Wiley & Sons Ltd, New York 2002
[21] Wajs K.: Linie pierwiastkowe w automatyce. WNT, Warszawa 1973
[22] http://pl.wikipedia.org/wiki/SCADA
[23] http://pl.wikipedia.org/wiki/System_czasu_rzeczywistego

62

Dyskretne Układy Regulacji


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:

więcej podobnych podstron