AM2 w9 2011/12

25.04.2012

P

OCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ

Jeżeli funkcje

R

D

F



:

,

n

R

D



,

R

D

x

x

i



:

,

m

x

R

D



n

i

,

,

2

,

1





)

,

,

(

2

1

m

i

i

u

u

u

x

x





są klasy

1

C

na zbiorach otwartych odpowiednio

x

D

D,

oraz istnieje funkcja złożona





)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

)

,

,

(

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

m

n

m

m

m

u

u

u

x

u

u

u

x

u

u

u

x

F

u

u

u

G













wówczas



















n

i

j

i

i

j

u

x

x

F

u

G

1

m

j



,

2

,

1



dla

x

m

D

u

u

u



)

,

,

(

2

1



.

Przypadki szczególne:
a)

1



m





)

(

),

(

),

(

)

(

2

1

u

x

u

x

u

x

F

u

G

n





)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

u

x

x

F

u

x

x

F

u

x

x

F

u

G

n

n































b)

2



m

oznaczmy nowe zmienne

)

,

(

v

u

2



n





)

,

(

),

,

(

)

,

(

v

u

y

v

u

x

F

v

u

G



u

y

y

F

u

x

x

F

u

G

























v

y

y

F

v

x

x

F

v

G

























Przykład

1. Przekształcić wyrażenie

y

y

x

F

y

x

y

x

F

x











)

,

(

)

,

(

wprowadzając współrzędne biegunowe

2



n

2



m

,

)

,

(



r





)

,

(

),

,

(

)

,

(







r

y

r

x

F

r

G



Ze związku















sin

cos

r

y

r

x





2

0

,

0







r

lub













między współrzędnymi

kartezjańskimi punktu a współrzędnymi biegunowymi otrzymujemy





sin

cos

y

F

x

F

r

y

y

F

r

x

x

F

r

G















































cos

sin

r

y

F

r

x

F

y

y

F

x

x

F

G







































r

r

G

r

y

y

x

F

y

x

y

x

F

x

















)

,

(

)

,

(

)

,

(



2. Obliczyć

)

(x

G



, jeśli





)

(

,

)

(

x

y

x

F

x

G



)

(

)

(

x

y

F

F

dx

dy

y

F

x

F

x

G

y

x

























y

F

y

F

y

F

F

x

G

y

yy

xy

xx

























2

2

)

(

AM2 w9 2011/12

25.04.2012

F

UNKCJE UWIKŁANE JEDNEJ ZMIENNEJ

D

EFINICJA

Niech

R

D

F



:

,

2

R

D



.

Jeżeli istnieje funkcja

)

(x

f

y



spełniająca w każdym punkcie x z pewnego przedziału I

równość





0

)

(

,



x

f

x

F

, to funkcję f nazywamy funkcją uwikłaną określoną równaniem

0

)

,

(



y

x

F

.

Przykład

a) Równanie

0

2

2





y

x

określa na przykład w zbiorze liczb rzeczywistych

R

I



funkcje

x

x

f



)

(

1

,

x

x

f





)

(

2

.

lub
określa w zbiorze liczb rzeczywistych

R

I



funkcje

x

x

f



)

(

3

,

x

x

f





)

(

4

.

b) Równanie

1

2

2





y

x

określa w przedziale





1

,

1

na przykład funkcje

2

1

1

)

(

x

x

f





,

2

2

1

)

(

x

x

f







.

c) Równanie

0

1

2

2







y

x

nie określa żadnej funkcji.

T

WIERDZENIE

(

O IS TNIENIU I JEDNOZNACZNOŚ CI FUNKCJI UWIKŁANEJ

)

Jeżeli funkcja F jest funkcją klasy C

1

w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

oraz

0

)

,

(

0

0



y

x

F

i

0

)

,

(

0

0





y

x

F

y

to istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana

)

(x

f

y



określona w pewnym przedziale













0

0

, x

x

, (

0





) za pomocą równania

0

)

,

(



y

x

F

spełniająca warunek

)

(

0

0

x

f

y



.

Funkcja ta ma w przedziale













0

0

, x

x

ciągłą pochodną daną wzorem









)

(

,

)

(

,

)

(

x

f

x

F

x

f

x

F

x

f

y

x











.

Przy założeniu, że F jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

, funkcja uwikłana f

jest również klasy C

2

w tym otoczeniu i jej druga pochodna wyraża się wzorem

3

2

2

2

)

(

y

yy

x

y

x

xy

xx

y

F

F

F

F

F

F

F

F

x

f



























AM2 w9 2011/12

25.04.2012

E

KSTREMUM FUNKCJI UWIKŁANEJ

T

WIERDZENIE

Jeżeli F jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

oraz spełnione są warunki

1.

0

)

,

(

0

0



y

x

F

,

2.

0

)

,

(

0

0





y

x

F

y

,

3.

0

)

,

(

0

0





y

x

F

x

,

4.

0

)

,

(

0

0





y

x

F

xx

,

to funkcja uwikłana

)

(x

f

y



określona równaniem

0

)

,

(



y

x

F

ma w punkcie

0

x

ekstremum

właściwe przy czym jest to

minimum właściwe gdy

0

)

,

(

)

,

(

)

(

0

0

0

0

0













y

x

F

y

x

F

x

f

y

xx

,

maksimum właściwe gdy

0

)

(

0





x

f

.

Uwagi

Rozwiązując układ





















0

)

,

(

0

)

,

(

0

)

,

(

y

x

F

y

x

F

y

x

F

y

x

dostajemy zbiór punktów, w których funkcja uwikłana

)

(x

f

y



określona równaniem

0

)

,

(



y

x

F

może mieć ekstrema. Obliczając znak

)

,

(

)

,

(

)

(

0

0

0

0

0

y

x

F

y

x

F

x

f

y

xx











sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum.

Przykład

1. Wykazać, że twierdzenie o funkcji uwikłanej można stosować do równania

1

2

2

2











y

x

y

xy

x

w otoczeniu punktu

 

1

,

0

.

Równoważne polecenie
Wykazać, że równanie

1

2

2

2











y

x

y

xy

x

określa w pewnym otoczeniu punktu

0

0



x

dokładnie jedną ciągłą funkcję uwikłaną spełniającą warunek

1

)

0

(



f

.

2. Obliczyć

)

0

(

f



,

)

0

(

f



z zad.1 i naszkicować wykres tej funkcji w otoczeniu punktu

 

1

,

0

.

3. Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem

0

3

3

3







xy

y

x

(liść Kartezjusza).