www.etrapez.pl

Strona 1

KURS

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Lekcja 4

Pochodne funkcji złożonej

ZADANIE DOMOWE

www.etrapez.pl

Strona 2

Częśd 1: TEST

Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Pytanie 1

Czym różni się obliczanie pochodnych złożonych przedstawione w Lekcji 4 od obliczania
pochodnych złożonych z Lekcji 1?

a) Wynikiem
b) Elementarnymi wzorami na pochodne
c) Koniecznością obliczenia ekstremum
d) Metodą obliczania i sposobem zapisu danych

Pytanie 2





2

2

2

3

1

cos

t

y

x

ts

t

s

s

y

 















Funkcja x jest funkcją…

a) Dwóch zmiennych t i s
b) Jednej zmiennej y
c) Trzech zmiennych t, s i x
d) Trzech zmiennych t, s i y

Pytanie 3

dy

dx

Co oznacza powyższy zapis?

a) Pochodną z funkcji y jednej zmiennej liczoną po x
b) Pochodną cząstkową z funkcji dwóch zmiennych y liczoną po x
c) Pochodną cząstkową funkcji liczoną po y

d) Pochodną cząstkową z funkcji y niewiadomej ilości zmiennych liczoną po x

www.etrapez.pl

Strona 3

Pytanie 4

2

2

3

2

cos

sin

x

s

t

x y

u

y

s

t

x

y







  





Z powyższej funkcji można policzyd…

a) Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennych s i t
b) Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y
c) Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennej s i dwie pochodne cząstkowe

względem zmiennej t

d) Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennej x i dwie pochodne cząstkowe

względem zmiennej y

Pytanie 5

2

2

2

2

2

3

5

4

1

3

1

x

t

t

z

x

y

xy

x y

xy

x

y

y

t

  



























Jakie wszystkie pochodne będziemy musieli policzyd, aby obliczyd pochodną z funkcji

z po

zmiennej t?

a) Pochodną z

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















po x i po y, oraz pochodne ze

zmiennych x i y po x i y.

b) Pochodną z

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















po x, oraz pochodną ze zmiennej x

po t

c) Pochodną z

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















po x i po y, oraz pochodną ze

zmiennej x po t

d) Pochodną z

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















po x i po y, oraz pochodne ze

zmiennych x i y po t

www.etrapez.pl

Strona 4

Pytanie 6

2

2

3

t

a

a

z

ts

s

s

a

 













Po zastosowaniu wzoru na pochodną funkcji złożonej z po a otrzymałem następujący wynik:



 



3

2

1

3

2

1

dz

s

a

t

s

da



 





Czy to już koniec zadania?

a) Nie, za zmienne t i s należy jeszcze podstawid

2

a

a



oraz

a

b) Nie, za zmienną a należy jeszcze podstawid t i s
c) Tak
d) Nie, należy jeszcze policzyd pochodną po s

Pytanie 7





 

2

cos

g

t

st

z

arctg g

h

h

st

  













Jakie wszystkie pochodne będziemy musieli policzyd, aby obliczyd pochodną cząstkową
funkcji

z po zmiennej t?

a) Pochodną z





arctg g

h



po g i po h, oraz pochodne ze zmiennych g i h po t i s.

b) Pochodną z





arctg g

h



po g i po h, oraz pochodną ze zmiennej g po t i ze zmiennej

h po s

c) Pochodną z





arctg g

h



po g i po h, oraz pochodną ze zmiennych g i h po t.

d) Pochodną z





arctg g

h



po g, oraz pochodne ze zmiennych g i h po t i po s.

www.etrapez.pl

Strona 5

Pytanie 8





2

2

?

f

P Q

P











Jaki będzie wynik powyższego działania?

a)

4PQ

b)

2

2P

c) 4P
d)

4Q

Pytanie 9

 

,

2

z

F u v

v





Jak będzie wyglądad pochodna z funkcji z po v?

a)

 

,

2

F

u v

v

v







b)

 

 

,

2

,

2

F

u v

v

F u v

v











c)

 

,

2

F

u v

v







d)

 

,

2

F u v



Pytanie 10





2

2

z

F x

y





Jak będzie wyglądad pochodna z funkcji z po x?

a)





2

2

2

F

x

y

x

x









b)





2

2

F

x

y

x







c)





2

2

2

F

x

y

x

x









d)



 



2

2

2

2

F

x

y

x

y

x











www.etrapez.pl

Strona 6

Częśd 2: ZADANIA

Zad.1

Oblicz pochodne funkcji:

1)

2

2

2

3

x

t

z

x

y

y

t

 













2)

3

cos

y x

x

t

z

e

y

t









 



3)

2

2

2

2

cos

sin

x

u

v

z

xy

x y

y

u

v















4)

4

5

ln

2

3

x

u

v

x

z

y

u

v

y









  



5)

2

2

cos

t

x

e

u

x

zx

z

z

t

 













6)

2

1

s

P

P

y

x

arctg

Q

Q

s

y

 



 













   



Zad.2

Wykaż, że funkcja

b

c

a

b

c







, gdzie

 

 

cos

,

sin

b

d

e

c

d

e





spełnia równanie:

 

 

2

cos 2

a

a

a

dctg e

e

d

e













KONIEC