WEKTORY
Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce można wyróżnić
skalary i wektory.
Aby określić wielkość skalarną, wystarczy podać tylko jedną liczbę. Wielkościami takimi są
masa, czas, temperatura, objętość i inne. Do określenia wielkości wektorowej nie wystarcza
podanie jednej liczby. Przykładem takiej wielkości jest siła. Aby ją określić, należy podać war‐
tość bezwzględną, kierunek w przestrzeni oraz zwrot.
W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
a) Wartość bezwzględną wektora, zwaną modułem lub długością,
b) Kierunek, czyli prostą, na której leży wektor (linię działania),
c) Zwrot,
d) Punkt przyłożenia.
Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają dla swego określenia podania wszystkich wy‐
mienionych cech. Z tego punktu widzenia rozróżniamy: wektory zaczepione, wektory prze‐
suwne lub ślizgające się oraz wektory swobodne.
Wektory 1
Wektory, cd.
Wektory
‐
zaczepione
Do ich określenia wymagają podania wszystkich czterech cech. Wekto‐
rów takich nie można przemieszczać ani przesuwać.
Wektory
‐
przesuwne
Są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania. Takie wek‐
tory mogą być jedynie przesuwane wzdłuż prostych, na których leżą.
Wektory
‐
swobodne
Są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy do ich linii
działania. Oznacza to, że wektor swobodny można dowolnie przemiesz‐
czać, równolegle do kierunku jego działania.
W naszych rozważaniach będziemy zajmować się wektorami swobodnymi. Graficznie wekto‐
ry przedstawia się za pomocą odcinka skierowanego.
Wektory 2
Wektory, cd.
Oznaczenia wektorów:
,
,
,
a b υ F
,
,
,
a b
F
υ
G
G
G
G
Oznaczenia modułu:
| |, | |,
a
a
a
G
Istotną własnością wektorów jest to, że można je składać (dodawać) zgodnie z regułą równo‐
ległoboku.
Dodawanie i odejmowanie wektorów
a) suma ‐
metoda równoległoboku lub metoda wieloboku
Na ogół:
|
|
| | | |
a
b
a
b
+
≠
+
G
G
G
G
Wektory 3
Dodawanie i odejmowanie wektorów, cd.
b) różnica ‐ różnicą wektorów
a
G
i b
G
jest taki wektor , który dodany do wektora
c
G
b
G
daje
wektor
a
G
Na ogół:|
|
| | | |
a
b
a
b
−
≠
−
G
G
G
G
Mnożenie wektora przez skalar
b
a
α
=
G
G
α
‐ skalar.
Kierunki wektorów i
| | |
| | |
b
a
α
=
G
G
b
G
a
G
są zgodne.
Zwrot:
zgodny ze zwrotem
a
G
, gdy
0
α
>
,
przeciwny zwrotowi
a
G
, gdy
0
α
<
.
Wektory 4
Wersor
Każdy wektor można przedstawić w postaci
| |
a
a
a e
=
G
G G
(lub równoważnie
a
a
a e
=
G
G
)
a
e
G
‐ wektor jednostkowy, wersor wektora
a
G
Wersor jest wielkością bezwymiarową:
/ | |
a
e
a
a
=
G
G G
Rzut wektora na oś
Rzut wektora na oś jest skalarem, zdefiniowanym
jako
| | cos
l
a
a
ϕ
=
G
Rysunek przedstawia interpretację geometryczną
rzutu wektora na oś l .
a
G
Rzut wektora na oś może być dodatni, ujemny lub równy zeru.
Wektory 5
Wyrażenie wektora przez jego rzuty na osie układu współrzędnych
Wektor można przedstawić w postaci liniowej kombinacji wersorów
a
G
x
e
G
i
y
e
G
:
x
x
y
y
a
a e
a e
=
+
G
G
G
lub ogólnie:
x
x
y
y
z
z
x
y
a
a e
a e
a e
a
a
a
=
+
+
=
+
+
G
G
G
G
G
G
G
z
,
,
x
y
a a a
G G G
z
‐ składowe wektora
a
G
2
2
2
2
|
|
x
y
z
a
a
a
a
=
+
+
G
,
2
2
2
x
y
a
a
a
=
+
+
z
a
Wektory 6
Wektor położenia
Do określania położenia jakiegoś wybranego punktu P w
r‐
te
uży
or
p
ka
zjańskim układzie współrzędnych , ,
x y
wany jest wekt
ołożenia r
z
G
x
y
z
r
x e
y e
z e
=
+
+
G
G
G
G
2
2
2
r
x
y
z
=
+
+
Iloczyn skalarny wektorów
Właściwości iloczynu skalarnego
Jeśli
/ 2
α π
=
, to
0
a b
=
G
G
.
2
2
| |
a
a a
a
=
=
G
G G
G
Iloczyn skalarny ab
G
G
dwóch wektorów, a
G
i b
G
, jest skalarem
zdefiniowanym następująco:
| | | | cos
a b
a b
α
=
G
G
G
G
Iloczyn skalarny jest:
‐ przemienny:
a b
b a
=
G
G
G
G
,
‐ rozdzielny względem dodawania:
(
)
...
...
a b
c
a b
a c
+ +
=
+
+
G
G
G
G
G
G G
Wektory 7
Iloczyn skalarny wersorów osi kartezjańskiego układu odniesienia
i
k
i
e e
k
δ
=
G G
,
i k
δ
‐ symbol Kroneckera,
1
0
i k
i
k
i
k
δ
=
⎧
= ⎨
≠
⎩
Zależność iloczynu skalarnego od składowych:
x
x
y
y
z
z
a b
a b
a b
a b
=
+
+
G
G
Ponadto można pokazać, że:
x
x
a
a e
=
G G
,
e
,
e
y
y
a
a
=
G G
z
z
a
a
=
G G
Iloczyn wektorowy wektorów
Iloczynem wektorowym wektorów a
G
i b
G
jest wektor c
G
dany wzorem
| | | | sin
c
a b
n
α
=
G
G
G
G
n
G
‐ wersor normalny do płaszczyzny, w której leżą wektory a
G
i b
G
i tworzący z tymi
wektorami układ prawoskrętny.
Wektory 8
Iloczyn wektorowy wektorów, cd.
| | | | sin
c
a b
a b
n
α
= × =
G
G
G
G
G
G
Długość (moduł) wektora, będącego iloczynem wektorowym wektorów a
G
i b
G
, jest liczbowo
równa polu powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach a
G
i b
G
.
| | |
| | | | | sin
c
a b
a b
α
= × =
G
G
G
G
G
Dwa sposoby zapisu iloczynu wektorowego:
lub
a b
×
G
G
[
]
ab
G
G
[
]
ab
a b
≡ ×
G
G
G
G
Wektory 9
Iloczyn wektorowy wektorów, cd.
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny
b a
a b
× = − ×
G
G
G
G
Iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodawania
(
)
...
...
a
b
c
a b
a c
×
+ +
= × + × +
G
G
G
G
G
G G
Iloczyny wektorowe wersorów osi układu współrzędnych
0
x
x
y
y
z
z
e
e
e
e
e
e
× = × = × =
G
G
G
G
G
G
x
y
z
e
e
e
× =
G
G
G
,
x
e
,
y
z
e
e
× =
G
G
G
z
x
y
e
e
e
× =
G
G
G
Wektory 10
POCHODNA FUNKCJI
Iloraz różnicowy funkcji
Niech
)
jest funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu , zaś
taką
liczbą, że
U
.~
(
y
f x
=
0
x
h
+ ∈
U
0
x
0
h
≠
Iloraz
0
0
(
)
( )
f x
h
f x
y
h
x
+ −
Δ
=
Δ
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji w punkcie .
f
0
x
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
0
0
(
)
(
y
f x
h
f x
Δ =
+ −
)
x
h
Δ =
y
tg
x
α
Δ
=
Δ
Wektory 11
Przykłady interpretacji fizycznej ilorazu różnicowego
Średnia prędkość poruszającego się punktu materialnego w przedziale czasu t
Δ , gdy droga
jest funkcją czasu .
s
t
0
0
(
)
( )
s t
t
s t
s
t
t
+ Δ −
Δ
=
Δ
Δ
Średnie natężenie prądu w przedziale czasu t
Δ , gdy ładunek , który przepłynął przez jakąś
powierzchnię jest funkcją czasu .
q
t
0
0
(
)
( )
q t
t
q t
q
t
t
+ Δ −
Δ
=
Δ
Δ
Pochodna funkcji w punkcie
Granicę właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego dla dążącego do zera nazywamy po‐
h
chodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem
f
0
x
0
( )
f x
′
0
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
lim
lim
h
x
x
f x
h
f x
f x
f x
f x
h
x
x
→
→
+
−
−
′
=
=
−
Wektory 12
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Pochodna
)
0
(
f x
′
jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji
(
y
f
=
)
x
w punkcie odciętej .
0
x
Z definicji pochodnej
0
0
0
0
( )
( )
( )
lim
x
x
f x
f x
f x
x
x
→
−
′
=
−
widzimy, że równanie stycznej do wykresu
funkcji
)
w punkcie
ma postać
(
y
f x
=
(
)
0
0
, ( )
x f x
0
‐
0
0
( )
( )(
)
y
f x
f x
x
x
′
=
+
−
Wektory 13
Pochodna funkcji (pochodna jako funkcja)
Jeżeli funkcja ma pochodną w każdym punkcie
f
x
pewnego przedziału (lub innego zbioru
punktów), to określoną na tym przedziale (zbiorze) funkcję
0
(
)
( )
( )
lim
x
df
f x
x
f x
f x
dx
x
Δ →
+ Δ −
′
≡
=
Δ
nazywamy pochodną funkcji .
f
Druga pochodna
Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna, to pochodną funkcji
f ′
f ′
nazywamy pochodną drugiego
rzędu (drugą pochodną) funkcji i oznaczamy symbolem
f
2
2
d f
f
dx
′′ ≡
Zachodzi:
( )
( ) ( )
f
x
f
x
′′
′ ′
=
2
2
d f
d
df
dx
dx dx
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
Wektory 14
Twierdzenia o pochodnych
)
[
]
( )
(
c f x
c f x
′
′
⋅
= ⋅
dla dowolnej stałej
c
R
∈
[
]
( )
( )
( )
( )
f x
g x
f x
g x
′
′
′
±
=
±
[
]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
g x
f x
g x
f x
g x
′
′
′
⋅
=
⋅
+
⋅
[
]
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
f x
g x
f x
g x
g x
g x
′
′
′
⎡
⎤
⋅
−
⋅
=
⎢
⎥
⎣
⎦
[
]
{
}
[
]
( )
( )
( )
f g x
f
g x
g x
′
′
′
=
⋅
Wektory 15
Ważniejsze pochodne funkcji elementarnych
Wzór funkcji
( )
y
f x
=
Pochodna f ′ funkcji
f
Uwagi
( )
f x
c
=
( )
0
c ′
=
c
R
∈
b
( )
f x
ax
=
+
(
)
ax b
a
′
+
=
2
( )
f x
x
=
2
(
)
2
x
x
′ =
( )
f x
x
α
=
( )
1
x
x
α
α
α
−
′ = ⋅
{ }
\ 0,1
R
α
∈
( )
f x
x
=
( )
1
2
x
x
′ =
0
x
>
x
( )
sin
f x
=
(sin )
cos
x
x
′ =
x
( )
cos
f x
=
(cos )
sin
x
x
′ = −
( )
tg
f x
x
=
2
1
(tg )
cos
x
x
′ =
2
x
k
π
π
≠ +
dla k C
∈
( )
x
f x
e
=
( )
x
x
e
e
′ =
x
( )
ln
f x
=
1
(ln )
x
x
′ =
0
x
>
Wektory 16
Wektory 17
W fizyce często stosuje się kropkę nad literą symbolizującą wielkość dla oznaczenia pochod‐
nej tej wielkości po czasie
Pochodna wektora
Rozważmy wektor
( )
( )
( )
( )
x
x
y
y
z
z
a t
e a t
e a t
e a t
=
+
+
G
G
G
G
,
,
x
y
e e e
G G G
z
‐ stałe w czasie wersory osi układu współrzędnych,
( ),
( ),
( )
x
y
z
a t a t a t
‐ znane funkcje czasu.
Analizując granicę odpowiedniego ilorazu różnicowego otrzymujemy
d
dt
ϕ ϕ
≡ ,
2
2
d
dt
ϕ ϕ
≡
,
da
a
dt
≡
G
G
,
2
2
d a
a
dt
≡
G
G
Np. wyrażenie
y
x
z
x
y
z
da
da
da
da
e
e
e
dt
dt
dt
dt
=
+
+
G
G
G
G
można zapisać jako
x
x
y
y
z
z
a
e a
e a
e a
=
+
+
G G
G
G
0
lim
y
x
z
x
y
z
t
da
da
da
a
da
e
e
e
dt
t
dt
dt
dt
Δ →
Δ
=
=
+
+
Δ
G
G
G
G
G