A01 Wektory, pochodna funkcji ( Nieznany (2)

background image

WEKTORY

 

Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce można wyróżnić 

skalary  i  wektory

Aby określić wielkość skalarną, wystarczy podać tylko jedną liczbę. Wielkościami takimi są 

masa, czas, temperatura, objętość i inne. Do określenia wielkości wektorowej nie wystarcza 

podanie jednej liczby. Przykładem takiej wielkości jest siła. Aby ją określić, należy podać war‐

tość bezwzględną, kierunek w przestrzeni oraz zwrot. 

W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: 

a) Wartość bezwzględną wektora, zwaną modułem lub długością, 

b) Kierunek, czyli prostą, na której leży wektor (linię działania), 

c) Zwrot, 

d) Punkt przyłożenia. 

 

Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają dla swego określenia podania wszystkich wy‐

mienionych cech. Z tego punktu widzenia rozróżniamy: wektory zaczepionewektory prze‐

suwne lub ślizgające się oraz wektory swobodne

 

Wektory 1

 

background image

Wektory, cd.

 

 

Wektory   

     ‐ 

zaczepione 

Do ich określenia wymagają podania wszystkich czterech cech. Wekto‐

rów takich nie można przemieszczać ani przesuwać. 

 

Wektory   

     ‐ 

przesuwne 

Są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania. Takie wek‐

tory mogą być jedynie przesuwane wzdłuż prostych, na których leżą.  

 

Wektory   

     ‐ 

swobodne 

Są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy do ich linii 

działania. Oznacza to, że wektor swobodny można dowolnie przemiesz‐

czać, równolegle do kierunku jego działania. 

 

W naszych rozważaniach będziemy zajmować się wektorami swobodnymi. Graficznie wekto‐

ry przedstawia się za pomocą odcinka skierowanego. 

 

 

Wektory 2

 

background image

Wektory, cd.

 

Oznaczenia wektorów:   

 

 

 

 

,

,

,

a b υ F

,

,

,

a b

F

υ

G

G

G

G

 

Oznaczenia modułu: 

 

 

| |, | |,

a

a

a

G

 

 

Istotną własnością wektorów jest to, że można je składać (dodawać) zgodnie z regułą równo‐

ległoboku. 

 

Dodawanie i odejmowanie wektorów 

a) suma  ‐  

metoda równoległoboku  lub  metoda wieloboku 

 

 

 

Na ogół:   

|

|

| | | |

a

b

a

b

+

+

G

G

G

G

 

 

 

 

Wektory 3

 

background image

Dodawanie i odejmowanie wektorów, cd. 

b) różnica  ‐  różnicą wektorów 

a

G

 i b

G

 jest taki wektor  , który dodany do wektora 

c

G

b

G

 daje 

wektor   

a

G

 

 

 

 

 

Na ogół:|

|

| | | |

a

b

a

b

G

G

G

G

 

 

 

Mnożenie wektora przez skalar 

 

b

a

α

=

G

G

   

 

 

 

 

α

  ‐ skalar. 

 

   

 

 

 

Kierunki wektorów   i 

| | |

| | |

b

a

α

=

G

G

b

G

a

G

 są zgodne. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zwrot: 

zgodny ze zwrotem 

a

G

, gdy 

0

α

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

przeciwny zwrotowi 

a

G

, gdy 

0

α

<

 

 

Wektory 4

 

background image

Wersor 

Każdy wektor można przedstawić w postaci 

| |

a

a

a e

=

G

G G

   (lub równoważnie  

a

a

a e

=

G

G

 )  

a

e

G

 ‐ wektor jednostkowy, wersor wektora 

a

G

 

 

 

 

Wersor jest wielkością bezwymiarową:  

/ | |

a

e

a

a

=

G

G G

 

 

Rzut wektora na oś 

Rzut wektora na oś jest skalarem, zdefiniowanym 

jako 

 

| | cos

l

a

a

ϕ

=

G

   

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną 

rzutu wektora   na oś l

a

G

Rzut wektora na oś może być dodatni, ujemny lub równy zeru. 

Wektory 5

 

background image

Wyrażenie wektora przez jego rzuty na osie układu współrzędnych 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wektor   można przedstawić w postaci liniowej kombinacji wersorów 

a

G

x

e

G

 i 

y

e

G

 

 

 

x

x

y

y

a

a e

a e

=

+

G

G

G

 

lub ogólnie: 

 

 

 

x

x

y

y

z

z

x

y

a

a e

a e

a e

a

a

a

=

+

+

=

+

+

G

G

G

G

G

G

G

z

 

 

 

 

 

 

 

 

,

,

x

y

a a a

G G G

z

‐  składowe wektora 

a

G

 

 

 

 

 

 

2

2

2

2

|

|

x

y

z

a

a

a

a

=

+

+

G

,   

 

2

2

2

x

y

a

a

a

=

+

+

z

a

   

 

Wektory 6

 

background image

Wektor położenia 

Do określania położenia jakiegoś wybranego punktu  P w

r‐

te

uży

or 

p

 ka

zjańskim układzie współrzędnych  , ,

x y

wany jest wekt

ołożenia r

z

 

G

  

x

y

z

r

x e

y e

z e

=

+

+

G

G

G

G

 

 

2

2

2

r

x

y

z

=

+

+

 

 

 

Iloczyn skalarny wektorów 

 

 

 

Właściwości iloczynu skalarnego 

Jeśli 

/ 2

α π

=

,  to  

0

a b

=

G

G

.   

 

2

2

| |

a

a a

a

=

=

G

G G

G

 

Iloczyn skalarny ab

G

G

 dwóch wektorów, a

G

 i b

G

, jest skalarem 

zdefiniowanym następująco: 

| | | | cos

a b

a b

α

=

G

G

G

G

Iloczyn skalarny jest: 

‐  przemienny:  

a b

b a

=

G

G

G

G

‐  rozdzielny względem dodawania: 

(

)

...

...

a b

c

a b

a c

+ +

=

+

+

G

G

G

G

G

G G

 

Wektory 7

 

background image

Iloczyn skalarny wersorów osi kartezjańskiego układu odniesienia 

i

k

i

e e

k

δ

=

G G

 

i k

δ

 ‐ symbol Kroneckera

 

1

0

i k

i

k

i

k

δ

=

= ⎨

 

 

Zależność iloczynu skalarnego od składowych:   

 

x

x

y

y

z

z

a b

a b

a b

a b

=

+

+

G

G

 

 

Ponadto można pokazać, że:  

 

x

x

a

a e

=

G G

,  

e

,  

e

y

y

a

a

=

G G

z

z

a

a

=

G G

 

 

 

Iloczyn wektorowy wektorów 

Iloczynem wektorowym wektorów a

G

 i b

G

 jest wektor c

G

 dany wzorem 

 

 

 

 

| | | | sin

c

a b

n

α

=

G

G

G

G

 

n

G

   ‐ wersor normalny do płaszczyzny, w której leżą wektory a

G

 i b

G

 i tworzący z tymi 

 

wektorami układ prawoskrętny. 

 

 

Wektory 8

 

background image

Iloczyn wektorowy wektorów, cd. 

 

 

 

| | | | sin

c

a b

a b

n

α

= × =

G

G

G

G

G

G

 

 

 

Długość (moduł) wektora, będącego iloczynem wektorowym wektorów a

G

 i b

G

, jest liczbowo 

równa polu powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach a

G

 i b

G

 

 

 

| | |

| | | | | sin

c

a b

a b

α

= × =

G

G

G

G

G

 

 

 

Dwa sposoby zapisu iloczynu wektorowego: 

 

 

 

 

 

lub   

a b

×

G

G

[

]

ab

G

G

 

 

 

 

   

[

]

ab

a b

≡ ×

G

G

G

G

Wektory 9

 

background image

Iloczyn wektorowy wektorów, cd. 

 

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny 

 

 

 

 

b a

a b

× = − ×

G

G

G

G

 

Iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodawania 

 

 

 

(

)

...

...

a

b

c

a b

a c

×

+ +

= × + × +

G

G

G

G

G

G G

 

 

Iloczyny wektorowe wersorów osi układu współrzędnych 

 

 

0

x

x

y

y

z

z

e

e

e

e

e

e

× = × = × =

G

G

G

G

G

G

 

x

y

z

e

e

e

× =

G

G

G

x

e

y

z

e

e

× =

G

G

G

z

x

y

e

e

e

× =

G

G

G

 

 

 

 

Wektory 10

 

background image

POCHODNA FUNKCJI 

Iloraz różnicowy funkcji 

Niech 

)

 jest funkcją określoną na pewnym otoczeniu   punktu  , zaś 

 taką 

liczbą, że 

U

.~ 

(

y

f x

=

0

x

h

+ ∈

U

0

x

0

h

Iloraz 

 

 

0

0

(

)

( )

f x

h

f x

y

h

x

+ −

Δ

=

Δ

 

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji   w punkcie  . 

f

0

x

 

Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego 

 

 

0

0

(

)

(

y

f x

h

f x

Δ =

+ −

)

   

 

 

x

h

Δ =

 

 

y

tg

x

α

Δ

=

Δ

 

Wektory 11

 

background image

Przykłady interpretacji fizycznej ilorazu różnicowego 

Średnia prędkość poruszającego się punktu materialnego w przedziale czasu  t

Δ , gdy droga   

jest funkcją czasu  . 

s

t

 

0

0

(

)

( )

s t

t

s t

s

t

t

+ Δ −

Δ

=

Δ

Δ

 

 

Średnie natężenie prądu w przedziale czasu  t

Δ , gdy ładunek  , który przepłynął przez jakąś 

powierzchnię jest funkcją czasu  . 

q

t

 

0

0

(

)

( )

q t

t

q t

q

t

t

+ Δ −

Δ

=

Δ

Δ

 

 

Pochodna funkcji w punkcie 

Granicę właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego dla   dążącego do zera nazywamy po‐

h

chodną funkcji   w punkcie   i oznaczamy symbolem 

f

0

x

0

( )

f x

 

 

0

0

0

0

0

0

0

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

lim

lim

h

x

x

f x

h

f x

f x

f x

f x

h

x

x

+

=

=

 

 

 

Wektory 12

 

background image

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie 

Pochodna 

)

 

0

(

f x

jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji 

(

y

f

=

)

x

 w punkcie odciętej  . 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Z definicji pochodnej 

0

0

0

0

( )

( )

( )

lim

x

x

f x

f x

f x

x

x

=

 widzimy, że równanie stycznej do wykresu 

funkcji 

)

 w punkcie 

 ma postać 

(

y

f x

=

(

)

0

0

, ( )

x f x

 

0

 ‐    

0

0

( )

( )(

)

y

f x

f x

x

x

=

+

 

 

Wektory 13

 

background image

Pochodna funkcji (pochodna jako funkcja) 

Jeżeli funkcja   ma pochodną w każdym punkcie 

f

x

 pewnego przedziału (lub innego zbioru 

punktów), to określoną na tym przedziale (zbiorze) funkcję 

 

0

(

)

( )

( )

lim

x

df

f x

x

f x

f x

dx

x

Δ →

+ Δ −

=

Δ

 

nazywamy pochodną funkcji  . 

f

 

 

Druga pochodna 

Jeżeli funkcja 

 jest różniczkowalna, to pochodną funkcji 

f

f

 nazywamy pochodną drugiego 

rzędu (drugą pochodną) funkcji   i oznaczamy symbolem  

f

 

2

2

d f

f

dx

′′ ≡

 

Zachodzi: 

 

 

 

 

 

( )

( ) ( )

f

x

f

x

′′

′ ′

=

2

2

d f

d

df

dx

dx dx

=

 

Wektory 14

 

background image

Twierdzenia o pochodnych 

 

 

)

[

]

( )

(

c f x

c f x

= ⋅

 

 

dla dowolnej stałej 

 

c

R

 

 

[

]

( )

( )

( )

( )

f x

g x

f x

g x

±

=

±

 

 

 

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

f x

g x

f x

g x

f x

g x

=

+

 

 

 

[

]

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

f x

f x

g x

f x

g x

g x

g x

=

 

 

 

[

]

{

}

[

]

( )

( )

( )

f g x

f

g x

g x

=

 

 

 

Wektory 15

 

background image

 

Ważniejsze pochodne funkcji elementarnych 

Wzór funkcji 

( )

y

f x

=

Pochodna  f ′ funkcji 

f

 

Uwagi 

 

 

( )

f x

c

=

( )

0

c

=

 

c

R

∈  

 

b

 

( )

f x

ax

=

+

(

)

ax b

a

+

=

 

2

( )

f x

x

=  

 

2

(

)

2

x

x

′ =

 

 

( )

f x

x

α

=

 

 

( )

1

x

x

α

α

α

′ = ⋅

 

 

{ }

\ 0,1

R

α

 

 

( )

f x

x

=

 

 

( )

1

2

x

x

′ =

 

 

 

0

x

>

 

x

 

( )

sin

f x

=

(sin )

cos

x

x

′ =

 

x

 

( )

cos

f x

=

(cos )

sin

x

x

′ = −

 

 

( )

tg

f x

x

=

 

2

1

(tg )

cos

x

x

′ =

 

 

2

x

k

π

π

≠ +

 dla k C

∈  

 

( )

x

f x

e

=  

 

( )

x

x

e

e

′ =  

 

x

 

( )

ln

f x

=

 

1

(ln )

x

x

′ =  

 

 

0

x

>

Wektory 16

 

background image

Wektory 17

 

W fizyce często stosuje się kropkę nad literą symbolizującą wielkość dla oznaczenia pochod‐

nej tej wielkości po czasie 

Pochodna wektora 

 

Rozważmy wektor 

 

( )

( )

( )

( )

x

x

y

y

z

z

a t

e a t

e a t

e a t

=

+

+

G

G

G

G

,

,

x

y

e e e

G G G

z

‐ stałe w czasie wersory osi układu współrzędnych, 

( ),

( ),

( )

x

y

z

a t a t a t

‐ znane funkcje czasu. 

 

Analizując granicę odpowiedniego ilorazu różnicowego otrzymujemy 

 

d

dt

ϕ ϕ

≡  ,   

2

2

d

dt

ϕ ϕ

≡ 

,  

da

a

dt

G

G

,   

2

2

d a

a

dt

G

G

 

Np. wyrażenie 

y

x

z

x

y

z

da

da

da

da

e

e

e

dt

dt

dt

dt

=

+

+

G

G

G

G

 można zapisać jako 

x

x

y

y

z

z

a

e a

e a

e a

=

+

+

G G

G

G







  

 

0

lim

y

x

z

x

y

z

t

da

da

da

a

da

e

e

e

dt

t

dt

dt

dt

Δ →

Δ

=

=

+

+

Δ

G

G

G

G

G

 

 


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:

więcej podobnych podstron