Kolokwium II

rok 2011/2012

Zadanie 1:

a) Sformułować kryterium porównawcze.
b) Zbadać zbieżność szeregu

.

Rozwiązanie:

a) Niech dane będą szeregi

i

takie, że

.

Wówczas:
- ze zbieżności szeregu

wynika zbieżność szeregu

,

- z rozbieżności szeregu

wynika rozbieżność szeregu

.

b) Aby zbadać zbieżność szeregu

wykorzystam kryterium porównawcze. W

tym celu skorzystam z zależności:

Najpierw poszukam szeregu większego od

. Jeżeli będzie zbieżny, to badany

szereg również będzie zbieżny.

Z własności szeregu harmonicznego wiemy, że szereg

jest rozbieżny, więc nie

możemy w ten sposób określić zbieżności badanego szeregu.

Teraz poszukam szeregu mniejszego od

. Jeżeli będzie rozbieżny, to badany

szereg również będzie rozbieżny.

Z własności szeregu harmonicznego wiemy, że szereg

jest rozbieżny, więc tym,

bardziej szereg

, który jest większy od

jest rozbieżny.

Odpowiedź:

Szereg

jest rozbieżny.

Autor:

Bartosz Stańczyk

grupa

10

20.01.2014