Egzamin

rok 2011/2012

Zadanie 4:

Dany jest szereg potęgowy

.

Wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności,

zbadać zbieżność (określić jej rodzaj) w prawym krańcu przedziału zbieżności. Obliczyć sumę szeregu
wewnątrz przedziału zbieżności oraz (o ile to możliwe) również w prawym krańcu.

Rozwiązanie:

1.Wyznaczam

promień zbieżności

=

|

| =

|

| =

, więc R= 3

2.Wyznaczam przedział zbieżności

więc z warunku F(

)=0 =>

=>

skoro

i R=3 , to przedział zbieżności to x (-3,3)

3. Badam

zbieżność dla punktu x=3 (prawy kraniec z polecenia)

=

=

,

szereg naprzemienny => badam czy zbieżny bezwzględnie

, jest to przeskalowany szereg

więc na podstawie kryterium Dirichleta o

α≤1 szereg rozbieżny

Szereg w punkcie x=3 nie jest zbieżny bezwzględnie wiec sprawdzam czy jest zbieżny warunkowo.

,

> 0

dla każdego

n≥1

, warunki dla zbieżności warunkowej spełnione więc szereg w punkcie

x=3

jest zbieżny warunkowo.

4.Obliczam sumę w przedziale x

,

można wyciągnąć przed szereg i

całkę, bo nie jest zależne od n.

=

=

dt

=

dt

=

dt

=

)dt =

=-

(t-3ln|t+3|)

=

(x-3ln|x+3|+3ln3)=S(x)

dla

x

(-3,3)

5. Obliczanie sumy dla punkty x=3:

S(3) =- [3

– 3 ln (6)+ 3 ln (3)]/3 = -1+ln (6) - ln (3) = -1+ln(2).

Odpowiedź:

Promień zbieżności szeregu R=3, przedział zbieżności szeregu x

(-3,3) w 3 zbieżny

warunkowo, suma szeregu dla x

(-3,3) S(x)=-

(x-3ln|x+3|+3ln3

), zaś S(3) = -1+ln(2).

Autor:

Kamil Narkiewicz

grupa

2

14.01.2014