Kolokwium poprawkowe z kinematyki

1. Wiedząc, że
i
oblicz wartość wyrażenia:

.

2. Wiedząc, że
i
oblicz wartość wyrażenia
:

Na podstawie tożsamości
obliczamy
,
oraz

.

3. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.

Odp.:
gdzie
jest przyspieszeniem stycznym,
jest przyśpieszeniem normalnym,
jest jednostkowym wektorem stycznym,
jest krzywizną toru,
jest promieniem krzywizny toru,
jest jednostkowym wektorem normalnym.

4, Dane są równania ruchu płaskiego punktu materialnego:
gdzie
i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w najwyższym punkcie toru.

Odp.:
,
.

5. Stożek prawidłowy o wysokości h i rozwartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie. Wiadomo, że wartość bezwzględna wektora prędkości kątowej stożka jest stała i wynosi
. Oblicz wartość przyśpieszenia środka podstawy stożka.

Odp.:
.

Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że stożek porusza się ruchem kulistym wokół swego wierzchołka a linia kontaktu stożka z płaszczyzną jest osią chwilowego obrotu stożka. Zatem prędkość środka podstawy obliczmy ze wzoru
, gdzie
jest wektorem położenia środka podstawy względem wierzchołka. jej wartość bezwzględna wynosi
i jest stała. Zatem przyśpieszenie styczne środka podstawy jest równe zeru.

Środek podstawy porusza się po okręgu o promieniu
. Zatem jego przyśpieszenie normalne wynosi
.

6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły.

Odp.: Prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem innego punktu A bryły wynoszą odpowiednio

,

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły.

7. Wiadomo, że punkty A, B i C o współrzędnych [0,0,0], [1,0,0] i [0,1,0] mają w danej chwili prędkości o składowych odpowiednio [1,1,1], [1,2,0] i [0,1,2] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły w tej chwili.

Odp.:
.

Obliczenia: Korzystamy ze wzorów
i
otrzymując następujący układ równań
,
.

8. Korba o długości r układu korbowego obraca się ze stałą prędkością kątową . Obliczyć wartości przyśpieszeń końca korbowodu w położeniu, w którym korba jest prostopadła do korbowodu. Założyć, że długość korbowodu l>r.

Odp.: . Obliczenia: Z ruchu obrotowego korby wynika i  . Z więzów korbowodu wynika, że O jest środkiem chwilowego obrotu korbowodu. Ze wzoru wynika zatem prędkość obrotowa korbowodu, a następnie przyśpieszenie dośrodkowe punktu C względem B. Rzutując wzór na oś korbowodu otrzymujemy . Stąd bo .

9. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzednych o wersorach

to prędkość bezwzględna punktu wynosi
gdzie

jest prędkością względną, a

jest prędkością unoszenia, natomiast
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.

10. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzednych o wersorach

to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi
gdzie

jest przyśpieszeniem względnym,

jest przyśpieszeniem unoszenia, a

jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast
i
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.