WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 6 - odpowiedzi

Klasy I

6. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych spełniających równanie
.

Odp. Mnożąc obustronnie równanie
przez
otrzymujemy:
. Przekształcając to równanie otrzymujemy kolejne równania:

.

Wyrażenie
dzieli lewą stronę równania, musi dzielić i prawą. Stąd
musi być dzielnikiem 4, czyli: 1, 2, 4. Wtedy
. Znalezienie wszystkich par liczb naturalnych spełniających równanie sprowadza się do rozpatrzenia następujących przypadków:

lub
lub
. Rozwiązując poszczególne układy równań, otrzymujemy wszystkie pary liczb spełniające równanie:
lub
lub
.

Odp.
lub
lub
.

Klasy III

6. Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że
.

Odp.

Wprowadźmy oznaczenia, tak jak na rysunku:

- odległość punktu
od boku
,
- odległość punktu
od boku
,

 - odległość punktu
od boku
,
- odległość punktu
od boku
.

Chcąc udowodnić równanie trzeba pokazać, że lewa strona (L) jest równa prawej (P).

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:

,
,
,
.

Co należało udowodnić.

Klasy II

6. Kwadrat o boku 10 cm podzielono linią prostą na dwie figury w taki sposób, że obwody otrzymanych figur różniły się o 8 cm, a dodatnia różnica pól tych figur była najmniejsza z możliwych. O ile centymetrów kwadratowych różniły się pola tych dwóch figur?

Odp. Kwadrat można podzielić na 2 różne sposoby - linia podziału może przecinać albo sąsiednie boki, albo przeciwległe.

Widać, że

Różnica pól tych figur:

Różnica pól jest uzależniona od
funkcją kwadratową. Współczynnik a rej funkcji jest dodatni, zatem funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla
. Dla
(
)

wartość
.

Widać, że

Różnica pól tych figur:

W tym przypadku różnica pól jest zawsze stała i wynosi 40.

Odp. Pola tych dwóch figur różniły się o 36 centymetrów kwadratowych.

Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa

t

z

y

x

D

C

B

A

M