WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 5 - odpowiedzi

Klasy I

5. Świeże grzyby zawierają 90% wody, suszone tylko 12%. Ile świeżych grzybów trzeba ususzyć, aby otrzymać 5 kg suszonych grzybów?

Odp. Grzyby - świeże jak i suszone - składają się z wody i „masy suchej”.

Skoro świeże grzyby zawierają 90% wody, to zawierają 100% - 90 % = 10 % „masy suchej”. Grzyby suszone zawierają 12 % wody, więc „masy suchej” jest 100% - 12 % = 88 %.

Niech: x - poszukiwana waga świeżych grzybów.

W wyniku suszenia grzybów waga „masy suchej” nie zmienia się. Stąd wynika, że:

10 % z x = 88 % z 5

Odp. Aby otrzymać 5 kg suszonych grzybów trzeba ususzyć 44 kg świeżych grzybów.

Klasy II

5. Dzieląc liczbę 100 przez pewną liczbę naturalną
otrzymujemy resztę 4, a dzieląc liczbę 90 przez tę samą liczbę
otrzymujemy resztę 18. Znajdź liczbę
.

Odp. Przypomnijmy sobie dzielenie z resztą.

Niech
,
,
,
- dowolne liczby naturalne. Mówimy, że w wyniku dzielenia liczby
przez
otrzymujemy iloraz
i resztę
(
i 
), jeżeli
.

Z warunków zadania wynika, że istnieją takie dwie liczby naturalne
i
takie, że:

i
i

Odejmując oba równania stronami otrzymujemy:




.

Ponieważ lewa strona równania jest podzielna przez
, to i prawa strona jest podzielna przez
. Czyli
jest dzielnikiem 24.

Dzielniki 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Możemy odrzucić wszystkie liczby mniejsze od 18. Zostaje nam tylko 24.

Odp. 24.

Klasy III

5. Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym
. Udowodnij, że
.

Odp.

Narysujmy rysunek pomocniczy. Wprowadziliśmy oznaczenia:

,
,
,
,
.

Teza z naszego twierdzenia brzmi teraz następująco:
.

W dowodzie będziemy korzystali z własności trójkątów i trapezów oraz miary kąta.

1. W trapezie suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu jest równa
   , czyli:
   .

2. Suma miar kątów trójkąta jest równa
   , czyli
   .

Z (2) wynika, że
.

Podstawiając do (1) otrzymujemy:








.

Co należało udowodnić.

Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa

A

B

C

D

E