WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 9 - odpowiedzi

Klasy I

9. Trójkąt o bokach
,
,
podzielono prostą równoległą do boku
na dwie części o równych polach. Obliczyć długości boków otrzymanych figur.

Odp.

„Mały” trójkąt jest podobny do „dużego” trójkąta w skali
. Wynika to z kryterium kąt - kąt.

Stąd
. Wiadomo, że
. Stąd




. Czyli
.

Podobnie:


, czyli
i

, czyli
.

Odp. Otrzymaliśmy trójkąt o bokach długości:
,
,
i trapez o bokach długości: 8,
,
,
.

Klasy II

9. W koszu jest 16 owoców. Są tam jabłka, gruszki i pomarańcze. Pomarańcz jest co najmniej tyle ile jabłek, a jabłek jest więcej niż gruszek. Jeżeli z tego kosza wybierzemy losowo 9 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce co najmniej dwóch rodzajów. Gdybyśmy zaś, zamiast 9, wybrali 14 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce wszystkich trzech rodzajów. Ile w tym koszu mogło być pomarańcz, ile jabłek, a ile gruszek? Jeżeli jest więcej niż jedno rozwiązanie, to podać liczbę rozwiązań oraz to rozwiązanie, w którym liczba pomarańcz jest największa.

Odp.

Oznaczmy przez:
- ilość jabłek,
- ilość gruszek,
- ilość pomarańczy.

Wiadomo, że:
i
.

Jeżeli z tego kosza wybierzemy losowo 9 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce co najmniej dwóch rodzajów. Wynika stąd, że:
i
i
.

Gdybyśmy zaś wybrali 14 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce wszystkich trzech rodzajów. Wynika stąd, że:
i
i
.

. Stąd

oraz

			wniosek
3	4	9	Sprzeczność:
		5	8
		6	7
	4	5	7
		6	6
5	6	5	Sprzeczność:

Odp. 4 rozwiązania. 3 gruszki, 5 jabłek, 8 pomarańczy.

Klasy III

9. W okręgu obieramy średnicę
i równoległą do niej cięciwę
. Udowodnić, że w trójkącie ACD różnica kątów przy wierzchołkach
i
jest kątem prostym.

Odp.

1. Wykażę, że trapez ABDC jest równoramienny.

Trójkąty AOC, BDO, DCO są równoramienne. W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi
.

co należało udowodnić

2. Wykażę, że różnica kątów przy wierzchołkach
i
jest kątem prostym.

Kąt pisany oparty na średnicy jest prosty:

W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi
:

Trapez ABDC jest równoramienny:

co należało udowodnić.

8

6

4

x

y

z

A

B

C

D

D

C

B

A

O

1)

2)