WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 3 - odpowiedzi

Klasy I

3. O liczbach



wiadomo, że

,
,
,
.

Wyznacz te liczby.

Odp.

Powyższy układ 4 równań z 4 niewiadomymi najłatwiej rozwiązać - metodą podstawienia - umiejętnie dobierając do siebie równania. Weźmy pod uwagę ostatnie 2 równania:

.

Otrzymany wynik podstawmy do pierwszych trzech równań:

,
,
.

Dalej rozwiązujemy analogicznie:

.

Stąd:
,
, czyli:

. Dalej mamy:
.

Odp.
,
,
,
.

Klasy II

3. Ratunkowy statek kosmiczny spotyka kosmiczny statek wycieczkowy uszkodzony meteorytem, zabiera siedmioosobową załogę tego statku i z tego powodu jego zapas tlenu zmniejsza się z 95 do 60 dni. Dokładnie 6 dni później spotyka on jeszcze jeden uszkodzony statek kosmiczny i zabiera nową grupę rozbitków, co zmniejsza jego autonomię tlenową do 38 dni. Ilu rozbitków zabrał z drugiego uszkodzonego statku?

Odp.

Oznaczmy przez:

- dzienne zużycie tlenu przypadające na jedną osobę,

- ilość osób, która pierwotnie leciała w ratunkowym statku.

- ilość osób, którą zabrał statek ratunkowy z 2 uszkodzonego statku.

- zapas tlenu, który miał statek ratunkowy w chwili spotkania pierwszego statku.

Z treści zadania wynika:
.

.

Stąd:
.

Dzieląc obustronnie równanie przez 19 otrzymujemy:

.

Odp. Statek ratunkowy zabrał 8 rozbitków z drugiego uszkodzonego statku.

Klasy III

3. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

zawsze prawdziwa jest nierówność
.

Odp. Założenie:

- dowolne liczby rzeczywiste.

Teza: Nierówność
jest zawsze prawdziwa.

Dowód wprost. (Przyjmujemy, że założenie jest prawdziwe i pokazujemy prawdziwość tezy).

Przekształcając równoważnie nierówność z tezy otrzymujemy kolejno:

(różnica sześcianów)

(kwadrat sumy)

Dla dowolnych liczb rzeczywistych

kwadrat ich różnicy jest nieujemny:
, suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych również jest nieujemna:
. Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest nieujemny.

Co należało udowodnić.

Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa

---