4. Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego jest całką równania Eulera otrzymaną przy następujacych założeniach:

1. Płyn jest nielepki
   i nieprzewodzący ciepła
   ,

2. Płyn jest barotropowy
   (gęstość jest jawną funkcją wyłącznie ciśnienia),

3. Przepływ odbywa się w potencjalnym polu sił masowych, czyli
   ,
   gdzie: U - potencjał pola jednostkowych sił masowych
   ,

4. Przepływ jest stacjonarny:
   - pochodna lokalna prędkości równa zeru.

Wyprowadzenie:

W przypadku płynu nielepkiego równaniem ruchu (wynikającym z zasady pędu) jest równanie Eulera:

.

Ponieważ pole sił masowych jest potencjalne (zał. 3), więc
;

Ponieważ płyn barotropowy (zał.2), zatem istnieje funkcja ciśnienia
, która spełnia zależność:
(uzasadnienie zamieszczone poniżej − po wyprowadzeniu równania Bernoulliego). Zatem równanie Eulera przybiera postać:

,

(mnożymy skalarnie przez element linii prądu
, która w przypadku przepływu stacjonarnego pokrywa się z torem elementu płynu - operacja jest równoznaczna
z rzutowaniem na kierunek linii prądu wektorów będących składnikami obu stron równania. Od tego miejsca dalsze rozważania obowiązują tylko wzdłuż linii prądu):

;

.

Ponieważ przepływ jest stacjonarny (ustalony) - zał.4, zatem pochodna lokalna prędkości
, zatem:

;

gdzie: dU; dP - różniczki zupełne funkcji U i P.

.

Przekształcimy lewą stronę równania, rozpisując pochodną konwekcyjną prędkości
:

Powracając do przekształconego równania Eulera, otrzymujemy:

,

co można zapisać jako różniczkę zupełną wyrażenia:

.

Po scałkowaniu otrzymujemy ogólną postać równania Bernoulliego:

.

Stała w tym równaniu obowiązuje tylko wzdłuż linii prądu (ponieważ dokonaliśmy rzuto-wania na kierunek linii prądu). Można wykazać, że w przypadku przepływu potencjalnego (pole prędkości bezwirowe) stała obowiązuje w całym obszarze przepływu (bez dowodu).

Uzasadnienie wykorzystanej wcześniej zależności:

Jeżeli
i
, to istnieje funkcja ciśnienia:
:

Uwaga:
- pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej.

1. Równanie Bernoulliego dla płynu doskonałego
   w polu grawitacyjnym ziemskim

Płyn doskonały, zatem:

• nielepki:
  ,

• nieściśliwy:
  .

Funkcja ciśnienia przybiera w związku z tym postać:

.

Przepływ w polu grawitacyjnym ziemskim, czyli pole jednostkowych sił masowych:
, gdzie
- przyspieszenie ziemskie. Zatem:

.

Na podstawie równania różniczkowego potencjału U pola jednostkowych sił masowych
, mamy:

,

skąd po scałkowaniu otrzymujemy:

.

Równanie Bernoulliego przybiera zatem postać:

- równanie Bernoulliego w wymiarze ciśnienia,

lub po podzieleniu przez
:

- równanie Bernoulliego w wymiarze wysokości.

Interpretacja energetyczna

Pomnóżmy obie strony równania Bernoulliego (w wymiarze wysokości) przez ciężar ΔG elementu płynu o objętości ΔV i masie Δm:

,

gdzie: E_k - energia kinetyczna elementu płynu,

E_pp - praca sił ciśnieniowych (określana także jako energia potencjalna ciśnienia),

E_pz - energia potencjalna położenia (względem przyjętego poziomu odniesienia).

Równanie Bernoulliego dla płynu doskonałego w polu grawitacyjnym ziemskim wyraża zatem zasadę zachowania energii w odniesieniu do elementu płynu o masie jednostkowej.

Interpretacja hydrauliczna

Suma:

„wysokości” położenia z, (rozumianej jako współrzędna położenia
względem przyjętego poziomu odniesienia)

„wysokości ciśnienia”
,

„wysokości prędkości”

jest stała wzdłuż linii prądu.

Dr inż. Janusz Bidziński Mechanika płynów - materiały pomocnicze dla studiów niestacjonarnych

1

Z₂

Z₁

V₁

V₂

---