Definicja liczby zespolonej- liczbę zespolona nazywamy uporządkowana para liczb R. zbiór liczb oznaczmy przez : C :=[(x,y) є RxR}. Inaczej zapis: C={z=(x,y); x єR, y єR}.
Postać algebraiczna- liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy: i=(0,1).
Postać trygonometryczna liczby zespolonej- każdą liczbe zespoloną można przedstawic w postaci: Z=r(cosρ + isinρ), gdzie r ≥0 oraz ρєR. Liczba r jest wówczas modułem liczby z , a ρ jednym z jej argumentów.
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w post. tryg.- niech Z1=r1(cosρ1 +isinρ2), Z2=r2(cosρ2 +isinρ2), będą liczbami zespolonymi wówczas: Z1∙Z2=r1∙r2[cos(ρ1+ ρ2)+ isin(ρ1+ ρ2)]
Z1/Z2= r1/r2[ cos ((ρ1- ρ2)+ isin(ρ1- ρ2)], Z2≠0.
Wzór de Moivre'a- niech Z=r (cosρ +isinρ), r ≥0, ρєR. Wtedy Zn=rn (cosnρ +isinnρ).
Pierwiastkowanie liczb zespolonych- pierwiastkiem stopnia nєN z liczby zespolonej Z nazywamy każdą liczbę zespoloną spełniającą równość: Wn=Z. zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej Z oznaczamy:
Definicja macierzy- macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru mxn, gdzie m,nєN nazywamy prostokątną tablicą złożoną z mxn liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m-wierszach i n-kolumnach. a11, a12, a13,…,a1n
A= a21, a22, a23,…,a2n
am1, am2, am3,…,amn
Rodzaje macierzy: zerowa, kwadratowa, trójkątna dolna, trójkątna górna, diagonalna, jednostkowa
Definicja działań na macierzach- niech A=[aij], B=[bij] będą macierzami wymiaru mxn. Sumę (różnicę) macierzy A i B nazywamy macierz C=[cij], której elementy określone są wzorem: Cij= aij ± bij.
Iloczyn macierzy przez liczbę: niech a będzie macierza A=[aij] mxn oraz niech αeR lub C iloczynem macierzy przez liczbe nazywamy macierz B=[bij]mxn okreslaną wzorem: bij= αaij 1<=i<=m, 1<=j<=n. Iloczyn macierzy: niech macierz A=[aij]mxn oraz B=[bij]nxk iloczynem Ai B nazywamy C=[cij]mxk, której elementy określone są wzorem: cij=ai1b1j+ai2b2j+…ainbnj
Macierz transponowana- niech A=[aij]mxn macierza transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B=[bij]mxn, której elementy określane są wzorem: aij = bij , 1 ≤i ≤n , 1 ≤j ≤m
Macierz symetryczna i antysymetryczna- macierz A jest macierzą symetryczną AT=A
Macierz A jest macierzą antysymetryczna AT=-A.
Definicja wyznacznika- wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A=[aij] przypisze liczbę rzeczywistą (): det A. funkcja ta jest określana wzorem indukcyjnym: jeżeli macierz A ma stopień n=1 to det A=a11. jeżeli macierz A ma stopień n≥2 to wyznacznik det definiujemy: detA=(-1)1+1a11detA11+(-1)1+2a12detA12+…+(-1)1+na1ndetA1n.
rozwinięcie Laplace'a wyznacznika- niech A=[aij] będzie macierzą kwadratową wymiaru n ≥2 oraz niech liczby naturalne i oraz j , gdzie 1 ≥i,j ≥n będą ustalone. Wtedy wyznacznik macierzy A można obliczyć ze wzorów: detA=ai1Di1+ai2Di2+…+aniDni inaczej mówiąc wyznacznik jest równy sumie ilości elementów i-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych rozwinięcie. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace'a wyznacznika względem i-tego wiersza: detA=aj1Dj1+aj2Dj2+…+anjDnj. Laplace'a wyznacznika względem j-tej kolumny.
Własności wyznaczników- niech det [k1,k2,…,kn] oznacza wyznacznik macierzy o kolumnach k1…kn: det[k1,…0,….kn]=0
det[k1…ki,…kj….kn]= - det[k1,…ki,…kj….kn]
det[k1…ki,…kj….kn]=0
det[k1…cki,….kn]=c det[k1,…ki, ….kn]
det[k1…kj+kj….kn]=det [k1,…kj….kn]+ det[k1,… kj….kn]
det[k1…ki,kj….kn]= det[k1,…ki+ckj….kn]
macierz odwrotna- niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A-1, która spełnia warunki: A·A-1=A-1·A=In.
własności macierzy odwrotnych- niech macierz A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, będą odwracalne oraz αє/{0}, nєN, wtedy macierze A-1,AT,A·B, αA, An będą również odwracalne i prawdziwe są równości: det(A-1)=(detA)-1; (A-1)-1=A ; (AT)=(A-1)T ; (A·B)-1= B-1 ·A-1 ; (αA)-1= α1 A-1 ; (An)=( A-1)n.
rząd macierzy- niech A będzie dowolna macierzą wymiaru mxn oraz niech 1<=k<=min{m,n} MINOREM stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej, która powstała po skreśleniu m-k wierszy oraz n-k kolumn rząd macierzy- rzędem macierzy nazywamy największy stopień jej niezerowego minora. Rząd macierzy A oznaczamy: rzA przyjmujemy, że rząd dowolnej macierzy zerowej jest równy zero.
Własności rzędu macierzy- rząd macierzy A wymiarze mxn spełnia nierówności: 0 ≤rzA ≤min {m,n} detA ≠0 ; rząd macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi ; rząd macierzy transponowanej jest równy rzędowi macierzy wyjściowej: rzAT=rzA.
Układ równań liniowych- układem m-równości liniowych z n-niewiadomymi x1,x2,…xn, gdzie m,nєN nazywamy układem postaci: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+…+amnxn=bm , gdzie aijєR , bjєR i 1≤i≤m , 1≤j≤n
Układ Cramera- układem Cramera nazywamy układ równań liniowych A ∙x=B w którym: A- jest macierzą kwadratową nieosobliwą (wyznacznik ≠0).
Wzór Cramera- układ Cramera A ∙x=B ma dokładnie 1 rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone wzorem: x=1\detA [detA1]
[ detA2]
[detAn] gdzie n to stopień macierzy A natomiast Aj dla 1≤j≤n oznacza A w której j-tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B.
Twierdzenie Kronckera-Capellego- układ równan liniowych A ∙x=B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej (rozszerzonej) [A|B] tego układu: rzA=rz[A|B]. Niech A ∙x=B będzie układem równań liniowych z n-niewiadomymi wówczas: jeżeli rząd macierzy A rzA ≠ rz[A|B] to układ nie ma rozwiązania(jest sprzeczny). Jeżeli rzA=rz[A|B]=n to układ ma dokładnie jesno rozwiązanie (układ oznaczony). Jeżeli : rzA=rz[A|B]=r, gdzie r<n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n-r) parametrów (układ nieoznaczony).
Definicje ciągu liczbowego-ciagiem liczbowym nazywamy funkcje odwzorowującą zbiór liczb naturalny w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez an. ciąg o wyrazach an oznaczamy (an). zbiór wyrazów tego ciągu an tzn. obu an takich, że {an:nєN} oznaczamy {an}. ciąg na płaszczyźnie będziemy przedstawiać jako pary (n,an).
Definicje ciągu ograniczonego- ciąg an jest ograniczony z dołu (z góry) jeżeli zbiór {an}(wszystkich wyrazówtego ciągu) jest ograniczony z dołu(z góry). ЭmєR dla każdegonєN an≥m ; ЭMєR dla każdegonєN an≤M. jeżeli Эm, gdzie MєR dla każdegon <-N m≤an≤M to mówimy ze ciąg jest ograniczony.
Definicja ciągu monotonicznego- ciąg rosnący ciąg an jest rosnący jeżeli a1<a2<a3<a4… tzn dla każdegonєN an<an+1 (ciąg jest rosnący gdy jego wyrazy powiększają się wraz ze wzrostem indeksu). Niemalejący ciąg jeżeli a1 ≤a2 ≤a3 ≤a4… tzn dla każdego nєN an≤an+1. ciąg malejący ciąg an jest malejący jeżeli a1>a2>a3>a4…. tzn dla każdegonєN an>an+1. nierosnący ciąg jeżeli a1≥a2 ≥a3 ≥a4… tzn dla każdegonєN an≥an+1.
Definicja granicy ciągu- ciąg (an) jest zbierzny do granicy właściwej aєR co zapisujemy: liman=a, wtedy i tylko wtedy, gdy (wtw): dla każdego>0Эn0єN dla każdegonєN [(n>no)=>|an-a|<ε]. Geometryczne ciąg jest zbieżny do granicy a, gdy jego dostatecznie dalekie wyrazy wyrazy leżą dowolnie blisko punktu a.
Twierdzenie o granicach właściwych ciągu- jeżeli ciąg (an), (bn) są zbieżne do granić właściwych to: limn-.∞(an±bn)=liman n-.∞ ± lim bn n-.∞ ; limn-.∞(c·an)=climan n-.∞ ; limn-.∞(an·bn)= (limn-.∞an) · (limn-.∞bn) ; limn-.∞ an/bn= lim an/ lim bn gdzie lim bn ≠0 ; limn-.∞ (an)p= (limn-.∞an)p gdzie pєZ|{0} ; limn-.∞ √an= √ limn-.∞an.
Twierdzenie o trzech ciągach- dla każdegoε>0 ЭnbєN dla każdegon>nb ; [(n>nb)=>|bn-b|<ε] ; ЭnaєN dla każdegon єN (n>na =>|an-b|< ε) ; ЭncєN dla każdegon єN (n>nc =>|cn-b|< ε); niech nb=max{na,ncno} an-b< ε , b- ε<an<b+ ε , b- ε<cn<b+ ε, b- ε<an ≤bn ≤cn< b+ ε, b- ε<bn<b+ ε, ЭnbєN dla każdegon >nb, |bn-b|<ε.
Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym- jeżeli ciąg (an) jest niemalejący dla n ≥n0 oraz ograniczony z góry to jest zbieżny do granicy właściwej.
Określenie liczby e- ciąg en=(1+1/n)n jest rosnący i ograniczony z góry, z zatem zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy przez e e:=limn-. ∞(1+1/n)n , e ≈2,7182818285..
Ciągi specjalne-
Symbole nieoznaczone- 0/0, ∞/ ∞, 0 ∙ ∞, ∞- ∞, 1 ∞, ∞0, 00,
Definicja funkcji- funkcją określoną na zbiorze X: Xer o wartościach w zbiorze YeR nazywamy przyporządkowanie które każdemu elementowi xeX dokładnie jednego elementu yeY
Definicja funkcji okresowej- f: x-.R jest okresowe jeżeli ЭT>0 dla każdegox єx, x±T єx, f(x+T)=f(x), gdzie T nazywamy okresem funkcji. Jeśli istnieje najmniejszy okres funkcji f to nazywamy go okresem podstawowym. Geometrycznie funkcja jest okresowa gdy jej wykres po przesunięciu o wektor V=(±T,0) nałożą się na siebie.
Definicja funkcji parzystej- funkcja f: xy jest parzysta dla każdegox єx (-x єx) f(-x)=f(x), funkcja jest gdy OY jest osia symetrii wykresu.
Definicja funkcji nieparzystej- funkcja f: xy jest nieparzysta dla każdegox єx (-x єx) f(-x)=-f(x) nieparzysta gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.
Definicja funkcji ograniczonej- z dołu: funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze AcDf, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu: ЭmєR dla każdegox єA f(x) ≥m. funkcja jest ograniczony z góry na zbiorze AcDf, jeżeli zbiór istnieje: ЭMєR dla każdegox єA f(x) ≤ M. funkcja jest ograniczona na zbiorze ACDf jeżeli istnieje ЭM,mєR dla każdegox єA m≤f(x) ≤M.
Definicja funkcji monotonicznej- funkcja jest rosnąca na zbiorze ACDf jeżeli dla każdegox1,x2 єA [(x1<x2)=>f(x1)<f(x2)]. Funkcja jest malejąca na zbiorze ACDf jeżeli: dla każdegox1,x2 єA [(x1<x2)=>f(x1)>f(x2)]. Funkcja niemalejąca nierówności są słabe dla każdegox1,x2 єA, [(x1≤x2)=>f(x1)≤f(x2)].
Definicja funkcji złożonej- niech x,y,z,w,cR przy czym YcZ oraz f:xY; g:ZW . złożenie funkcji g i f nazywamy funkcją g∙f:xW określone wzorem (g∙f)(x)=g(f(x)).
Definicja funkcji odwrotnej- niech f: xy istnieje na dziedzinie. Funkcje odwrotne od fukcji nazywamy funkcją f-1:Yx określona przez warunki: f-1(y)=xy=f(x) xєX, yєY.
Definicja funkcji cyklometrycznej- (kołowe) x=siny, x=cosy, x=tgy, x=ctg są ciągłe i silnie monotoniczne Iniektywne odpowiednio na przedziałach: [-pi/2,pi/2], [0,pi], [-pi/2,pi/2],[0,pi] przy czym funkcje siny i tgy są silnie rosnące a f-cje cosy i ctgy silnie malejące. Wobec tego istnieją względem nich odwrotne odpowiednio: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx i nazywamy je funkcjami cyklometrycznymi -1<=x<=1 -∞<=x<=+∞
definicja granicy funkcji- sąsiedztwem o promieniu r>0 x0eR nazywamy zbiór który oznaczamy: S(x0,r)=(x0-r,x0)u(x0,x0+r)
niech x0 będzie dowolnym punktem x0eR oraz niecg funkcja f będzie określona przynajmniej w S(x0) liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0 co zapisujemy: limx->∞
f(x)=g dla każdegoε>0 Эφ>0 dla każdegoxєS(x0) [(|x-x0|)<φ)=>(|f(x)-g|<ε)] lewostronna właściwa w punkcie- niech x0єR oraz funkcja będzie określona przynajmniej S(xo-). Liczba g jest granicą lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x0 co zapisujemy: limx->x0-f(x)=g dla każdegoε>0 Эφ>0 każdegoxєS(x0-) 0<x0-x<φ => |f(x)-g|<φ. Prawostronna analogicznie. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie- niech x0єR oraz funkcja Fredzie określona przynajmniej w sąsiedztwie S(x0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x0 co zapisujemy: limf(x)= ∞ dla każdegoε>0 Эφ>0 każdegoxєS(x0) [(|x-x0|)<φ)=>(|f(x)-g|>ε)]. Granicy właściwej funkcji w nieskończoności: niech x0єR funkcja będzie określona przynajmniej S(∞). Funkcja f ma granice nieskończoności co zapisujemy: limf(x)=g dla każdegoε>0 Э ∆>0 każdegoxєS(∞) [(x>)=>(|f(x)-g|< ε0].
Własności granic właściwych w punkcie- jeżeli funkcje f i g maja granice właściwe w punkcie x0 to: limx-.x0 (f(x) ±g(x))= limx-.x0 f(x) ± limx-.x0 g(x); limx-.x0 cf(x)= c limx-.x0 f(x) gdzie cєR; limx-.x0 f(x) · g(x)= limx-.x0 f(x) · limx-.x0 g(x) ; limx-.x0 f(x) /g(x)= limx-.x0 f(x) / limx-.x0 g(x) o ile limx-.x0 g(x) ≠0 ; limx-.x0[f(x)]g(x)= (limx-.x0 f(x)) limx-.x0 g(x) ;
Twierdzenie o granicy funkcji złożonej- jeżeli funkcje f i g spełniaja warunki: limx-.x0 f(x)=y; f(x) ≠y0 dla każdego xєS(x0); limy-..y0g(y)=q to limx-.x0g(f(x))=q.
Twierdzenie o trzech funkcjach- jeżeli funkcje f,g,h spełniają warunek: f(x) ≤g(x) ≤h(x) dla każdego x xєS(x0); limx-.x0f(x)= limx-.x0h(x)=g to limx-.x0g(x)=g.
Twierdzenie o dwóch funkcjach- jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: : f(x) ≤g(x) dla każdego x xєS(x0); limx-.x0f(x)= ∞ to limx-.x0g(x)= ∞.
Twierdzenie o granicach niewłaściwych funkcji- p+ ∞= ∞ dla - ∞<p≤∞; p·∞=∞ dla 0<p≤∞; p/∞=0 dla -∞<p<∞; p/0+=∞ dla 0<p≤∞; p+∞=0 dla 0+≤p<1; p∞=∞ dla 1<p≤∞; ∞q=0 dla -∞≤q<0; ∞q=∞ dla 0<q≤∞.
Granice podstawowych wyrażeń nieograniczonych- limx-.0 sinx/x=1 limx-.0 tgx/x=1; limx-.0 arc sinx/x=1 limx-.0 arc tgx/x=1; limx-.0 ax-1/x=lna a>0 limx-.0ex-1/x=1; limx-.0loge(1+x)/x=1/lna limx-.0ln(1+x)/x=1; limx-. ±∞ (1+a/x)1/x=ea aєR limx-. ±∞ (1+1/x)=e; limx-.0 (1+x)1/x=e.
Asymptota pionowa lewostronna- prosta x=a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli granica funkcji: limx-.a- f(x)=- ∞ albo limx-.a- f(x)=+ ∞ (analogicznie asymptota pionowa prawostronna).
asymptota pionowa obustronna- prosta jest asymptota pionowa obustronną jeżeli jest jednocześnie asymptotą prawo i lewostronna.
Asymptoty ukośne- prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy gdy limx-.∞[f(x)-(ax+b)]=0. analogicznie definicja asymptoty w -∞.
Asymptoty poziome- prosta y=b jest asymptotą poziomą funkcji w ∞ wtedy i tylko wtedy gdy limx-.∞f(x)=b. analogicznie względem istnienia asymptoty pionowej w - ∞.
ciągłość funkcji na przedziale-
własności funkcji ciągłej na przedziale domkniętym-
nieciągłość funkcji pierwszego rodzaju- funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju jeżeli istnieje granica skończona: limx-.x0- f(x), limx-.x0+ f(x) oraz limx-.x0- f(x) ≠f(x0) lub limx-.x0+ f(x) ≠f(x0). Funkcje w x0 nieciągłości I rodzaju typu „skok” jeżeli spełnia warunek: limx-.x0- f(x) ≠ limx-.x0+f(x). jeżeli funkcja spełnia warunek limx-.x0- f(x)= limx-.x0+f(x) ≠f(x0) to mówimy ze funkcja w x0 nieciągłości I rodzaj typu „luka”.
Definicja pochodnej- niech x0eR oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x0. ilorazem różnicowym funkcji w punkcie x0 odpowiadającym przyrostowi ∆x gdzie 0<| ∆x|<r zmiennej niezależnej nazywamy liczbę: ∆f/ ∆x=f(x0+ ∆x)-f(x0)/ ∆x. niech x0eR niech funkcja f będzie określona przynajmniej na oda x0 O(x0). Pochodną właściwą funkcji f w x0 nazywamy granicę właściwą f'(x0)=limx->x0f(x)-f(x0)/x-x0.
Interpretacja geometryczna pochodnej- niech α oznacza kąt miedzy styczna do wykresu funkcji w punkcie (x0, f(x)) i dodatnie osie OX wtedy f'(x0)=tgα
Równanie stycznej- równanie stycznej do wykresu funkcji w (x0, f(x)) ma postać : y=f(x0)+ f'(x0)(x-x0). Niech x0 eR a funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu punktu x0 prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie x0, f(x0) jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkji f przechodzących przez punkty (xo,f(x0)), (x,f(x)), xx0.
Definicja funkcji różniczkowej- funkcja ma pochodną właściwą na przedziale otwartym (a,b) -∞≤a≤b≤+∞, jeżeli ma taka pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Funkcje określone na przedziale , kotnej wartości w punktach z są równe f'(x) nazywamy pochodną funkcji na przedziale i oznaczamy f' lub df/dx. Df/dx(a,b)->xf'(x) єR. Mowimy ze funkcja f jesr różniczkowa na przedziale (a,b) jeżeli ma ona pochodna właściwą w każdym punkcie tego przedziału.
Twierdzenia o pochodnej i pochodne funkcji elementarnych- jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punktach xo, to: (f±g)'(x0)=f'(x0) ±g'(x0); (cf)'(x0)=cf''(x0); (f·g)'(x0)=f''(x0) · fg(x0)+ f'(x0) ·g'(x0); (f/g)' ·(x0)= f'(x0) ·g(x0)-g'(x0) ·f(x0)/g2(x0) o ile g(x0) ≠0;
Twierdzenie Rolle'a- jeżeli funkcja spełnia warunki: jest ciągła na [a,b] gdy a<b, ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b) i wartości f(a)=f(b) to Э cє (a,b) gdzie f'(c)=0.
Twierdzenie Lagrange'a-jeżeli funkcja spełnia warunki: f jest ciągła [a,b], ma pochodną właściwa lub niewłaściwą (a,b) to Эcє (a,b) takie że f'(c)=f(b)-f(a)/b-a.
Twierdzenie Cauchy'ego- jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: są ciągłe na przedziale [a,b], maja pochodne właściwe lub niewłaściwe w przedziale (a,b) i g'(x) ≠0 dla każdego xє(a,b) to Эcє (a,b) takie, że f'(c)/g'(c)=f(b)-f(a)/g(b)g(a)
Twierdzenie de l'Hospitala- dla 0/0 jeżeli funkcja f i g spełniają warunki: limx-.x0 f(x)= limx-.x0g(x)=0 przy czym g(x) ≠0 dla x єS(x0); Эlimx-.x0f(x)/g(x) to limx-.x0f(x)/g(x)= limx-.x0f'(x)/g'(x). dla ∞/ ∞ jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: limx-.x0f(x)= limx-.x0g(x)= ∞; Эlimx-.x0f''(x)/g'(x) to limx-.x0f(x)/g(x)= limx-.x0f'(x)/g'(x).
Ekstrema lokalne-minimum lokalne funkcji: funkcja f ma w punkcje x0єR ma minimum lokalne funkcji jeżeli: Эφ>0 dla każdego x єS(x0, φ) f(x) ≥f(x0). Maximum lokalne funkcji: Эφ>0 dla każdego x єS(x0, φ) f(x) ≤f(x0). Funkcja f ma w punkcie x 0єR minimum lokalne właściwe jeżeli istnieje φ większe od 0 takie ze dla każdego punktu malejącego do sąsiedztwa punktu x0 f(x) jest większe od f(x0).
Monotoniczność- liczba m єR jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze ACDf, jeżeli: Эx0єA f(x0)=m oraz dla każdego x єA f(x) ≥m. liczba M єR jest wartością największą funkcji f na zbiorze ACDf, jeżeli: Эx0єA f(x0)=M oraz dla każdego x єA f(x)≤M.
Wypukłość- funkcja f jest wypukła na przedziale (a,b) gdzie -∞≤a<b≤+∞ jeżeli dla każdego a<x1<x2<x3<b oraz dla każdegoλ є (0,1); f(λx1+(1-λ)x2) ≤λf(x1)+(1-λ)f(x2). Geometrycznie wypukłośc oznacza ze każdy odcinek siecznej wykresu leży wyżej lub pokrywa się z fragmentem wykresu położonym między punktami, przez które przechodzi sieczna.
Punkty przegięcia-niech f będzie określona przynajmniej na o(x0) ponadto niech funkcja f ma tam pochodną właściwą lub niewłaściwą. Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy jeżeli: Эφ>0 takie, że funkcja jest ściśle wypukłą na S(x0-, φ) oraz ściśle wklęsła na S(x0+, φ), albo jest odwrotnie.
Rach wektorowy- przestrzenia R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb R: R3={(x,y,z): x,y,z,eR}.
Działania na wektorach- niech u=(x,y,z) , v=(x1,y1,z1), w=(x2,y2,z2) sume wektorów określamy v+u=(x1+x2,y1+y2,z1+z2). Iloczyn wektora przez liczbę eR α: αu=( αx, αy, αz).
Iloczyn skalarny- niech u i v będą dowolnymi wektorami w R3. iloczyn skalarny dwóch wektorów określany wzorem: u · v=|u|·|v|·cos
Iloczyn wektorowy- niech u i v będą nie współliniowymi wektorami w R3. iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów u i v nazywamy wektor w, który spełnia warunki:
1.jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u i v
2.jego dł. jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v. |u|·|v|·sin
3.orientacje trójki wektorów u,v,w jest zgodne z orientacja układu OXYZ.
Iloczyn wektorowy oznaczmy uxz. Jeżeli jeden z wektorów jest wektorem zerowym lub jeżeli wektory te są współliniowe przyjmujemy, że iloczyn wektorowy uxv=0
Iloczyn mieszany-niech u,v,w będą wektorami w R. iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów u,v,w określamy wzorem: (u,v,w)=(uxv)·w
Równania normalne płaszczyzn-równanie płaszczyzny Pi przechodzącej przez punkt PO=(xo,yo,zo) o wektorze wodzącym ro i prostopadłej do wektora n=(A,B,C)=0 ma postać: Pi: (r-ro) ·n=0, gdzie r-(x,y,z) jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor n nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny. Pi: (x-xo)A+(y-yo)B+(z-zo)C=0
Równanie ogólne płaszczyzn- każde równanie postaci: Ax+By+Cz+D=0 gdzie |A|+|B|+|C|>0 przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny n=(A,B,C) oraz przecina oś OZ w punkcie: Z=-D/C i ile c=0.
Równanie parametryczne płaszczyzny- równaniem płaszczyzny Pi przechodzącej przez punkt Po=( xo,yo,zo) o wektorze wodzącym ro i rozpiętej na nie współliniowych wektorach u=(a1,b1,c1) i v=(a2,b2,c2) ma postać: r=ro+su+TV , s,t € R lub inaczej (x,y,z) =( xo,yo,zo)+S(a1,b1,c1)+t(a2,b2,c2)
x=xo+sa1+ta2
y=yo+sb1+tb2
z=zo+sc1+tc2 , s,t €R
równanie prostej parametrycznej- równaniem prostej l przechodzącej przez punkt Po(xo,yo,zo) o wektorze wodzącym ro i wyznaczonej przez wektor nieznany o kierunku v=(a,b,c) ma postać: r=ro+tv, (x,y,z)= (xo,yo,zo)+t(a,b,c)
równanie prostej kierunkowe- równanie prostej l przechodzącej przez punkt Po(xo,yo,zo) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunkowy v=(a,b,c) ma postać: l: x-xo/a = y-yo/b= z-zo/c
równanie prostej krawędziowe- prosta l, która jest częścią wspólną dwóch płaszczyzn: Pi1:A1x+B1y+C1z+D1=0, Pi2: A2x+B2y+C2z+D2=0 będziemy zapisywać w postaci:
l: Pi1:A1x+B1y+C1z+D1=0
Pi2: A2x+B2y+C2z+D2=0
Podział odcinka całka oznaczona- podział odcinaka [a,b] na n części gdzie neN nazywamy zbiór P={x0,x1,x2…xn} pezy czym a=xo<x1<x2<…<xn=b.
Suma całki oznaczonej- niech f będzie funkcją ograniczona na przedziale oraz niech P będzie podziałem tego przedziału. Sumą całkowa f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim xk* gdzie 1 ≤ k ≤n tego podziału nazywamy sumę: S(fP)= ∑f(xk*)∆xk.
Definicja całki oznaczonej- niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] całkę oznaczoną Reimanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem: ∫ od a do b f(x)dx=lim ∂(p)0 ∑ f(x*k) ∆xk O ile granica po prawej stronie istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału przedziału [a,b] oraz od wyboru punktów pośrednich. fx)dx=0 , f(x)dx=- f(x)dx , a<b funkcja dla której istnieje całka oznaczona Reimanna na odcinku [a,b] nazywamy funkcją całkową na tym przedziale.
Interpretacja geometryczna- niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji ciągłej nieujemnej f osią OX oraz prostymi x=a, y=b. pole D trapezu krzywoliniowego jest granicą sumy pól prostokątów. Trójkąt Dk aproksymujących ten trapez, gdy średnica podziału δ (P)0 : |D|= lim δ (P)0 ∑ |∆Dk|= lim δ (P)0 ∑ f (x*k) ∆xk= ∫ od a do b f(x)dx, a<b
Własności całki oznaczonej- addytywność całki względem podziału całkowania: jeżeli funkcja f jest całkowana na [a,b] oraz c € [a,b] to: ∫ od a do b f(x)dx=∫ od a do b f(x)dx+ ∫ od a do b f(x)dx.
Zachowanie nierówności przy całkowaniu- jeżeli funkcja g i f spełniają warunek: są całkowanie na [a,b] f(x)≤g(x) dla każdego xe[a,b].
Niech f będzie całkowana na [a,b] wartościa średnią funkcji f na [a,b] nazywamy licbę: fsr=1/b-a ∫od a do b f(x)dx. Jeżeli funkcja f jest całkowalna i jest nieparzysta to dla a>0 ∫od a do -a f(x)dx=0.jest parzysta to dla a>0 ∫ od a do -a f(x)dx=2∫od a do 0 f(x)dx. Ma okres T ∫ od a+T do a f(x)dx= ∫ od T do 0 f(x)dx.
Pole trapezu krzywoliniowego (całka oznaczona)- niech funkcja d i g będą ciągłe na [a,b] oraz niech d(x) ≤g(x) x€[a,b] wtedy pole trapezy krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji g i d oraz prostymi x=a, x=b wyraża się wzorem: |D|= ∫ od a do b [g(x)-d(x)]dx
Długość łuku (całka oznaczona)- niech funkcje f ma ciągła pochodną na [a,b] wtedy dł. krzywej: ={(x,f(x): x€[a,b]} wyraża się wzorem: |L|= ∫od a do b √1+[f '(x)]2 dx.
Jeżeli krzywa jest dana parametrycznie za pomocą równań: x=g(t), y=h(t) przy czym funkcie g(t) i h(t) maja ciągłe pochodne na przedziale [t1,t2] oraz łuk nie ma części wielokrotnych to długość łuku wyraża się wzorem: |L|=∫ od t1 do t2 √[x'(t)]2 +[y'(t)]2 dt.
Jeżeli funkcja dana jest rówaniem współrzędnych biegunowych r=f(ą) przy czym f(ą) ma w przedziale od [a,b] ciągłą pochodną oraz łuk nie ma części wielokrotnych to: |L|= ∫ od a do b √r2+[f(ą)']2 dą.
Pole powierzchni bryły obrotowej- pole pow. bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi OX łuku AB obliczamy ze wzoru: P=2Pi ∫od a do b ydL=2Pi ∫ od b do a y√1+(dy/dx)2 dx, przy założeniu ze funkcja y=f(x) ma na przedziale A≤x≤B ciągłą pochodną. Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej: x=g(t) i y=h(t) gdzie t1≤t≤t2 przy czym obydwie funkcje mają na tym przedziale ciągle pochodne funkcje g(t) jest na tym przedziale stale rosnące albo stale malejące, a funkcja h(t) przybiera wartości nieujemne to mamy analogiczne wzory: S=2Pi ∫od t1 do t2 ydL=2Pi ∫ od t1 do t2 y(t)√(dx/dt)2 +(dy/dt)2 dt , V=Pi ∫ od t1 do t2 y2 (dx/dt) dt.
Objętość bryły obrotowej- niech V oznacza bryłę ograniczoną powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji nieujemnej y=f(x), gdzie a≤x≤b wokół osi OX oraz płaszczyznami x=a, x=b. objętość |V| bryły jest granicą sumy objętości walców: |∆Vk| aproksymujących tą bryłę przy δP0
Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju- niech funkcja f będzie określona na przedziale [a,+ ∞). Całkę niewłaściwą I rodzaju funkcji f na [a,+ ∞).definiujemy wzorem: ∫od a do +∞ f(x)dx= lim T∞ ∫od a do T f(x)dx . jeżeli granica po prawej stornie istnieje i jest właściwa to mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f na [a,b] jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ (-∞) to mówimy, że całka jest rozbieżna do +∞ (-∞). W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwa I rodzaju na przedziale (-∞,b]: f(x)dx= lim T-∞ f(x)dx. Niech funkcja f będzie określana na (-∞,+∞). Całkę niewłaściwą I rodzaju funkcji f na (-∞,+∞) definiujemy wzorem: f(x)dx= f(x)dx + f(x)dx, gdzie a oznacza dowolną liczbę R.
Całka niewłaściwa drugiego rodzaju- niech funkcja f określona na przedziale (a,b] będzie nieograniczona tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu a (bez punktu a). całkę niewłaściwa II rodzaju funkcji f na (a,b] definiujemy wzorem: ∫ od a do bf(x)dx= lim Aa ∫ od A do bf(x)dx. Jeżeli granica po prawej str znaku równości jest właściwa to mówimy, że całka niewłaściwa funkcji jesr zbieżna, natomiast jeżeli granica po prawej str jest równa +∞ lub -∞ to mówimy, ze całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞, -∞ i w pozostałych przypadkach też mówimy, że jest rozbieżna. Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą II rodzaju na [a,b) i nieograniczonej tylko na lewostronnym sąsiedztwie punktu b: ∫ od a do bf(x)dx=lim Ab ∫ od a do b f(x)dx
Całka oznaczona definicja- funkcja F jest funkcją pierwotna funkcji f na przedziale I jeśli F'=f(x) dla każdego x єI. Niech x będzie funkcją pierwotną f na przedziale I. całkę nieoznaczoną funkcji F na przedziale I nazywamy zbiór funkcji: {F(x)+c cєR}. Całkę nieoznaczona nazywamy ∫f(x)dx ∫ f.
Własności podstawowe całki- jeżeli funkcja f i g maja funkcje pierwotna to:
1.∫[f(x)+g(x)]dx= ∫f(x)dx+fg(x)dx addytywność całki
2.dla każdego αєR ∫αf(x)dx=α∫f(x)dx jednorodność całki
Całkowanie przez części- niech f i g maja całkę pochodną na przedziale I wtedy: [f(x) ∙ g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) całkując obustronnie ww równość otrzymujemy: ∫[f(x)g(x)]'dx=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x) ∙g'(x)dx
Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie- jeżeli 1. f: I R jest ciągła na I ; 2. φ: J I ma ciągłą pochodną J ,to ∫f(x)dx=∫f(φ(t) φ'(f)dt=F(φ(t))+c gdzie F est funkcją pierwotną funkcji f acєR.
Całkowanie funkcji wymiernych- funkcje wymierne to iloraz dwóch wielomianów przy czym zakładamy, że wielomian będący dzielnikiem nie jest wielomianem zerowym.
Funkcja wymierna właściwa- funkcje wymierną R(x)=L(x)/M(x) nazywamy funkcją wymierną właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.
Całkowanie funkcji wymiernych ułamki proste I i II rodzaju- funkcja wymierną właściwą w postaci A/(x+a)n , gdzie nєN; a,bєR nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. Funkcję wymierną właściwą w postaci P(x)+Q/(x2+px+q)n, gdzie nєN, p,g,P,QєR przy czym Δ =p2-4g<0 nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Całkowanie funkcji niewymiernych- symbol R(x,y) oznacza dowolną funkcje zmiennych x,y. jeżeli w funkcji R(x,y) podstawimy y= φ(x), gdzie φ jest funkcją niewymierną to otrzymane w ten sposób funkcje R(x, φ(x)) może być nie całkowana elementarnie R(x, φ(x)). Istnieją dwa typy funkcji niewymiernej φ, dla których funkcje R(x, φ(x)) jest całkowana elementarnie i jej całka sprowadza się do całki z funkcji wymiernej: pierwiastek dowolnego stopnia funkcji homograficznej całka ∫R(x, φ(x))dx y= φ(x)= ax+b/px+q przy pomocy podstawienia y= ax+b/px+q sprowadza się do całki funkcji wymiernej.
Wzór Eulera- całkę ∫R(x,y)dx, gdzie y=√ax2+bx+c Δ=b2-4ac. Rozwiązaniem za pomocą jednego z podstawień Eulera: I: za √ax2+bx+c =a(t-x) , gdzie a>0
II: za √ax2+bx+c=xt+√c, gdzie c>0
III: za √ax2+bx+c=√a(x-x1)(x-x2)=t(x-x1), gdzie Δ>0 sprowadza się do całki wymiernej zmiennej t.
Metoda współczynników nieoznaczonych- całkę typu ∫dx/√ax2+bx+c=∫dt/√y znajdziemy przekształcając trójmian A= ax2+bx+c do postaci kanonicznej: ax2+bx+c=a[x+b/2a)2+4ac-b2/4a2], - Δ>0. całka typy ∫Wn(x)/√y dx gdzie Wn(x) jest wielomianem zmiennej x stopnia n, najdziemy stosując wzór: ∫Wn(x)/√y dx=Gn-1(x) √y+A: ∫dx/√y, gdzie Gn-1(x) jest wielomianem (n-1) a jego współczynnik znajdujemy metodą współrzędnych nieoznaczonych.
Całkowanie funkcji trygonometrycznych- całka z funkcji R(u,v) gdzie u=sinx v=cosx, gdzie R jest funkcją wymierną może być sprowadzona do całki f wymiernej za pomocą następujących podstawień; z których pierwsze może być stosowane bez ograniczeń, a pozostałe przy spełnieniu przez funkcję wymierną R pewnych warunków. tgx/2=f ; tgx=s sinx=u Parzysta względem (u,v), R(u,v)=R(-u,-v)f. R nieparzysta względem v, czyli R(u,v)=-R(u,-v). cos=v R nieparzysta względem u, czyli R(u,v)=-R(-u,v) ; tgx/2=t równości wynikające z tego podstawienia dx=2/1+t2dt , sinx=2t/1+t2 , cos2x=1-t2/1+t2 ; tgx=s 1/cos2xdx=ds , sin2x=s2/1+s2 , cos2x=1/1+s2 ; sinx=u cos=v cosxdx=du, cos2x=1-sin2x -sinxdx=dv.
Definicja funkcji dwóch zmiennych- funkcję f określona na zbiorze AєR2 o wartościach w R nazywamy przyporządkowaniem każdemu punktowi zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy: f:AR ; f: A э (x,y)f(x,y) єR ; z=(f(x,y).
Definicja funkcji trzech zmiennych- funkcję f określoną na zbiorze AєR3 o wartości w R nazywamy przyporządkowaniem każdemu punktowi zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy: f:AR ; f: A э (x,y)f(x,y) єR ; z=(f(x,y).
Granica właściwa funkcji dwóch zmiennych- niech (x0,y0) єR2 oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na S(x0,y0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie (x0,y0) co zapisujemy: lim(x,y) (x0,y0) f(x,y)=g dla każdego (Xn,Yn) {(xn,yn)}cS(x0,y0) ; [limm->∞ (xn,yn)= (x0,y0)=> limm->∞ f(xn,yn)=g]
Granica niewłaściwa funkcji dwóch zmiennych- niech (x0,y0) єR2 oraz niech funkcja f będzie określona w sąsiedztwie punktów (x0,y0) , S(x0,y0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą ∞ w punkcie (x0,y0) co zapisujemy: lim(x,y) (x0,y0) f(x,y)= ∞ dla każdego (Xn,Yn) [limm->∞ (xn,yn)= (x0,y0)=> dla każdego {xn,yn}cS(x0,y0)lim->∞ f(xn,yn)= ∞]
Ciągłość w punkcje funkcji 2-óch zmiennych- niech punkt (x0,y0) єR oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0,y0). Funkcja f jest ciągła w punkcie (x0,y0) lim(x,y) (x0,y0) f(x,y)=f (x0,y0).
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu- niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu w punkcie O(x0,y0). Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x0,y0) określamy wzorem: ∂f/ ∂x(x0,y0):=lim Δx->0 f((x0+ Δx,y0)-f(x0,y0)/ Δx.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu- niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu I :∂f/ ∂x, ∂f/ ∂y przynajmniej na O(x0,y0). Pochodne cząstkowe rzędu II w punkcie (x0,y0) określamy wzorem: ∂2f/ ∂x2 (x0,y0)= ∂/ ∂x (∂f/ ∂x) (x0,y0) ; ∂2f/ ∂y2 (x0,y0)= ∂/ ∂y (∂f/ ∂y) (x0,y0) ; ∂2f/ ∂x∂y (x0,y0)= ∂/ ∂x (∂f/ ∂y) (x0,y0); ∂2f/ ∂y∂x (x0,y0)= ∂/ ∂y (∂f/ ∂x) (x0,y0);
Funkcja różniczkowana w punkcie- niech istnieją pochodne cząstkowe odpowiednio ∂f/ ∂x(x0,y0) ∂x/ ∂f(x0,y0). Funkcja f jest różniczkowana w punkcie (x0,y0) gdy spełniony jest warunek: lim(n,k)->(0,0) f(x0+n, y0+k)-f(x0,y0)- ∂f/ ∂x(x0,y0) ∂x/ ∂f(x0,y0)/ √n2+k2 = 0
Warunek konieczny różniczkowalności w punkcie- jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie to jest w tym punkcie.
Warunek wystarczający różniczkowalności w punkcie- jeżeli pochodne cząstkowe ∂f/ ∂x(x0,y0) i ∂x/ ∂f(x0,y0) są ciągłe w (x0,y0) to funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie.
Warunek konieczny istnienia ekstermów lokalnych- jeżeli funkcja f spełnia warunki: ma ekstermum lokalne w punkcie (x0,y0), istnieją cząstkowe pochodne ∂f/ ∂x w (x0,y0) oraz ∂f/ ∂y w (x0,y0) to te pochodne ∂f/ ∂x(x0,y0)=0 i ∂x/ ∂y(x0,y0)=0.
Warunek wystarczający istnienia ekstermów lokalnych- niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu II na otoczeniu punktu (x0,y0) oraz nich: pochodne cząstkowe w tym punkcie są równe zero ∂f/ ∂x(x0,y0)=0 i ∂f/ ∂y(x0,y0)=0.
Definicja całki podwójnej- niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie. Całkę podwójną definiujemy wzorem: ∫∫ f(x,y)dxdy=limδ(p)->o Σ (xk*,yk*)Δ xk ∙ yk , o ile granica po prawej stronie istnieje i jest właściwa i niezależna od sposobu podziału P prostokąta P ani od sposobów wyboru punktów pośrednich E. mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowana na prostokącie P.
Twierdzenie o zamianie całki podwójnej na całki iterowane- jeżeli funkcja f jest ciągła na prostokącie [a,b]x[c,d] to całka podwójna: ∫ ∫ f(x,y)dxdy= ∫ ( ∫ f(x,y)dy)dx= ∫( ∫f(x,y)dx)Dy całki wyżej wymienione nazywamy całkami i iterowanymi funkcji po prostokącie.
Całki podwójne po obszarach normalnych- niech funkcja f będzie określona i ograniczona na obszarze DcR2 oraz niech R będzie dowolnym prostokątem RcD. Ponadto niech funkcja f* będzie rozszerzeniem funkcji f ma R na cały obszar D i będzie określona wzorem: f*(x,y)={f(x,y) , (x,y) єR i 0 , (x,y) єD|R}
Całkę podwójną na obszarze D definiujemy wzorem: ∫ ∫f(x,y)dP= ∫ ∫f*(x,y)dr , o ile całka po prawej stronie istnieje mówimy wtedy ze funkcja jest całkowana w obszarze D.
Całki iterowane po obszarze normalnym- jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym D={(x,y):a ≤x ≤b, g(x) ≤y ≤h(x)}normalnym względem osi OX to: ∫ ∫f(x,y)dxdy= ∫( ∫f(x,y)Dy)dx.
Zmiana zmiennych w całkach podwójnych- niech Δ i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach uov i boy. Przekształceniem oszaru Δ w obszar D nazywamy funkcję Γ: ΔD okreśłoną wzorem: (x,y)= Γ(u,v)=( Φ(u,v), Ψ(u,v)) gdzie (u,v) є Δ}.
Współrzędne biegunowe- położenie punktu P na płaszczyźnie można opisać para liczb: (φ, ρ), gdzie φ- oznaca miarę kąta między dodatnią częścią osi OX a promieniem wodzącym punktu P: 0 ≤ φPi lub (-Pi≤φ<Pi); ρ- oznacza odległość punktu P od początku układu współrzędnych: 0≤ ρ<+ ∞. Pole (φ, ρ) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.
Zależność między współrzędnymi biegunowymi a kartezjańskimi- współrzędne kartezjańskie (x,y) punktu płaszczyzny danego we współrzędnych biegunowych (φ, ρ) określane są wzorem: β*: {x= ρcos φ i y=ρsin φ}.
Zastosowanie całek podwójnych w geometrii- pole obszaru regularnego D zawartego w R3 wyrażą się wzorem: |D|=∫∫dP. Objętośc bryły V położonej nad obszarem regularnym DcR2 i ograniczonym z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji ciagłych: z=d(x,y) i z=g(x,y) wyraża się wzorem: |V|=∫∫(g(x,y)-d(x,y))dP.
Definicja całki potrójnej- podziałem prostopadłościanu P: P={(x,y,z) єR3 , a ≤x ≤b , c ≤y ≤d, p ≤z ≤g} nazywamy zbiór P ułożony z prostopadłościanów P1, P2, P3…Pn, które całkowicie wypełniają prostopadłościan P i maja parami rozłączone wnętrza (intPin intpj= Φ
Całka potrójna po prostopadłościanie- Niech f-cja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P. Całką potrójną z funkcji po prostopadłościanie P def. wzorem ∫∫∫f(x,y,x)dxdydz= lim∑(xk*,yk*,zk*)∆xk*,∆yk*,∆zk* o ile granica po prawej stronie istnieje i jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału prostopadłościanu P ani od sposobu wyboru punktów pośrednich E. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna po prostopadłościanie P.
Własności całki potrójnej- funkcja na prostopadłościanie jest na nim całkowalna, liniowość całek: f i g całkowalne na P 1. ∫∫∫(f(x,y,z)+g(x,y,z))dv=∫∫∫(f(x,y,z)dv+ ∫∫∫g(x,y,z))dv 2. dla każdego αєR ∫∫∫α(f(x,y,z)dv= α∫∫∫(f(x,y,z)dv 3. addytywność względem obszaru całkowania: jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie P to dla dowolnego podziału tego prostop. na prostopadłościany P1 i P2 o rozłącznych wnętrzach: ∫∫∫(f(x,y,z)dv=∫∫∫(f(x,y,z)dv+ ∫∫∫f(x,y,z))dv
Zmiana zmiennych w całkach potrójnych- niech Ω i V będą obszarami odpowiednio w uovw i xoyz. Przekształcenie obszaru Ω w obszar V nazywamy funkcję Γ: ΩV. (x,y,z)= Γ(u,v,w)=( Φ(u,v,w); Ψ(u,v,w);X(u,v,w)) gdzie (u,v,w) є Ω. Obszarem zbioru Ω przy przekształceniu Γ nazywamy zbiór: Γ(Ω)={(x,y,z):x= Φ(u,v,w); y=Ψ(u,v,w);z=X(u,v,w)) gdzie (u,v,w) є Ω. Przekształcenie Γ nazywamy ciągłym jeżeli Φ,Ψ,X są ciągłe na Ω. Przekształceniem Γ nazywamy iniekcją jeżeli różnym punktom zbioru Ω odpowiadają różne punkty zbioru V.
Podstawowe typy równań rzędu pierwszego liniowe- równanie różniczkowe, które można zapisac w postaci: y'+p(t)y=q(t) nazywamy równaniem liniowym rzedu I jednorodnym, gdy q(t)=0 niejednorodnym dla q(t) ≠0.
Równanie Bernoulliego- równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci: (B) y'+p(t)y=h(t)yr , gdzie r єR\{0,1} nazywamy równaniem Bernoulliego.
Metoda równania charakterystycznego dla równania jednorodnego- równanie postaci x2+px+g=0 nazywamy równaniem charakterystycznym równanie *, a w(λ)=
Metoda uzmienniania stałych- jeżeli para (y1(t), y2(t)) jest układem fundamentalnym równania liniowego RLSJ rzędu II to funkcja: y(t)=c1(t)y1(t)+c2(t)y2(t) gdzie c1(t), c2(t) jest dowolnym rozwiązaniem układu równań: [y1(t) y2(t)][c'1(t)]=[0] [y'1(t) y'2(t)][c'2(t)][h(t)]
Metoda przewidywań- całkę φ(t) można znaleźć metodą przewidywania: jeżeli h(t)=ekt∙Pn(t) gdzie Pn(t) to wielomian stopnia n (degPn=n), przewidujemy że φ(t) ma postać: φ(t)=tpekt∙ Qn(t), gdzie p-jest krotnością pierwiastka k z równania charakterystycznego p=0=>k nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. Jeżeli h(t)=ekt[Pn(t)cosbt+Qm(t)sinbt] przewidujemy rozwiązanie: φ(t)=tpekt[Sr(t)cosbt+Sr(t)sinbt], gdzie r=max{n,m}, p-jest krotnością pierwiastka k ±ib równanie charakterystyczne, p=0=>k+Ib nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.