ROZWIĄZANIA ETAPU 2:

Klasy pierwsze

Wiemy, że:
, czyli:

=
.

Odp.
.

Klasy drugie

Zauważmy, że:
oraz

;

;

;

……………………………………….;

.

Zauważmy że:

Oczywiście, że można było tę sumę obliczyć w prostszy sposób. Można jednak wykorzystać tą obserwację przy obliczaniu podobnych sum.

Z powyższych rozważań mamy:

=

Odp. 2070.

Klasy trzecie

Niech
,
,
- dowolne liczby rzeczywiste.

Liczba rozwiązań równania
zależy od wartości wyróżnika:

=
=
=
.

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną oraz suma liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną. Stąd
. Czyli równanie
ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Co należało udowodnić.

Suma liczb nieujemnych jest równa zero, gdy każdy składnik jest równy 0. Stąd równanie
ma jedno rozwiązanie, gdy
. A ten warunek zachodzi, gdy
i
.

Równanie
ma jedno rozwiązanie, gdy
i
.

---