podstawowy podział: jak widzisz (coś)^n to wiadomo, że cauchy, jak widzisz (coś)! to wiadomo, że D'alambert (i to ma wyższy priorytet niż cauchy), jak widzisz (-1)^n*(coś) to Leibnitz, a jak nie nie pasuje do żadnego z powyższych, to panikujesz i korzystasz z porównawczego
Leibnitz: jeżeli nie ma tego, czy ciąg jest bezwzględnie zbieżny czy względnie (nie ważne czy ma 3 czy 2 nogi, ważne że umie chodzić) to po pierwsze olewasz te (-1)^n a później zadajesz sobie dwa pytania:
czy granica tego ciągu jest = 0
czy ciąg jest malejący
jeżeli na obydwa odpowiadasz twierdząco, to znaczy, że szereg jest warunkowo zbieżny
przykłady:
((-1)^n)/n - warunkowo zbieżny, bo z leibnitza są trywialnie warunki spełnione, a jednocześnie pamiętamy, że 1/n jest rozbieżne w standardowej postaci
((-1)^n)/(n^2) - jest bezwarunkowo(bezwzględnie?) zbieżny, bo i 1/(n^2) jest zbieżne i ten wyżej też
Porównawcze: to w zasadzie jest twierdzenie o trzech ciągach przeniesione na szeregi. Tylko, że tutaj jednym z ograniczeń jest zawsze 0 lub nieskończoność, więc potrzebujemy tylko jednego szeregu
biorąc na logikę: jak masz jakiśtam szereg, to szukasz większego, zbieżnego (bo jak będzie większy i zbieżny, to ten mniejszy napewno) albo mniejszego, rozbieżnego
Sinusy (1/n,1/2n) i tangensy są odpowiednimi przybliżeniami które warto zapamiętać (lub rozrysować)
tak samo jak dziś z cosinusem robiliśmy, skoro cosinus nigdy nie jest większy od 1 to dlaczego nie wziąć dwóch
tutaj warto znać też zależności z granicami które dziś były podane, jak myslisz w rzędach wielkości a nie konkretnych liczbach (bo to aż milion, szczegół że ten milion bedzie później mniejszy niż log n) to jest prościej
dla rozbieżnych, najczęściej się przybliża z dołu do 1/n (bo w końcu jeden z najmniejszych rozbieżnych szeregów)
Zapamiętać, że 1/n^a jest zbieżny jak a>1, rozbieżny jak a<=1
jeszcze taka ważna uwaga: kryterium porównawcze jest o tyle fajne, że możesz je łączyć z cauchy'm czy d'alambertem
czyli np. masz ((3^n)-1)/(5^n), to sobie ograniczasz przez 3^n/5^n i świat staje się piękniejszy, bo z cauch'ego to jest na pół linijki i nie trzeba grzebać się z -1