Szeregi o wyrazach dowolnych

Def. Szereg
nazywamy szeregiem naprzemiennym.

kryterium Leibniza. Jeżeli ciąg (a_n) jest nierosnący oraz a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n ≥ ... oraz lim a_n = 0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.

kryterium Dirichleta.
(a_n i b_n dowolne) a_n monotonicznie maleje do zera oraz
, to szereg jest zbieżny.

Def. Szereg zbieżny
nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny szereg

Def. Szereg zbieżny
nazywamy warunkowo zbieżnym, jeżeli szereg
jest rozbieżny

Tw. Jeżeli szereg
jest zbieżny, to jest bezwzględnie zbieżny szereg
.

Def. Szereg
o wyrazach
nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów.
i
.

Tw. (Cauchy'ego-Martensa o iloczynie szeregów). Jeżeli szeregi
i
są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny, przy czym

Szeregi funkcyjne

Def. Ciąg. (S_n(x)) sum
nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem
.

Def. Szereg funkcyjny nazywamy zbieżnym w zbiorze X, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w tym zbiorze
natomiast rozbieżnym w przeciwnym przypadku.

Funkcję graniczną S(x) nazywamy sumą szeregu funkcyjnego w zbiorze X i piszemy

Def. Ciąg funkcyjny (f_n(x)) nazywamy zbieżnym (punktowo) w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy
.

Def. (Cauchy) Ciąg funkcyjny (f_n(x)) nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy

Jeżeli ciąg (S_n(x)) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze X, to szereg funkcyjny nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym zbiorze. Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze X i zbieżny jest szereg
, to nazywamy go bezwzględnie zbieżnym w zbiorze X.

kryterium Weierstrassa. Jeżeli istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego n ≥ N i dla każdego x ∈ X spełniona jest nierówność |f_n(x)| ≤ a_n przy czym szereg liczbowy
jest zbieżny, to szereg funkcyjny
jest zbieżny w zbiorze X jednostajnie i bezwzględnie.

Tw. (Leibniz) Dany jest ciąg funkcyjny (f_n(x)) na zbiorze D o wartościach R. Jeżeli f_n(x) maleje do zera jednostajnie (ew. lokalnie jednostajnie) na D ⇒
jest zbieżny jednostajnie (ew. lok. jedn.) na D. Można oszacować |s(x) - s_n(x)| ≤ f_n+1(x).

Tw. (o całkowaniu szeregu funkcyjnego (wyraz po wyrazie)) Jeżeli szereg
o wyrazach ciągłych w przedziale <a; b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny, to
.

Tw. (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego (wyr. po wyr.)) Jeżeli wyrazy szeregu funkcyjnego mają ciągłe pochodne f_n'(x) w przedziale <a; b>, szereg funkcyjny jest zbieżny w tym przedziale, a ponadto szereg
jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a; b>, to
dla każdego x ∈ <a; b>.

Def. Funkcję f ∈ C^∞(U_x0, δ) nazywamy analityczną w punkcie x₀, jeżeli w otoczeniu U_x0, δ jest ona sumą swojego szeregu Taylora.
|x - x₀| < δ

Tw. Jeżeli f klasy C^∞(U_x0, δ) ma ograniczone pochodne, tzn. ∃M>0 ∀k≥0 ∀x∈U_{x0, δ' < δ} |f^(k)(x)| ≤ M, to f jest analityczna w x₀, czyli
x ∈ U_{x0, δ}.

Tw. (N.H. Abel) Jeżeli szereg potęgowy
jest zbieżny w punkcie x = 0, to jego suma jest w tym punkcie f ciągła: tzn. jeżeli szereg ma R = 1 i jest zbieżny w co najmniej jednym punkcie x₀, to
.

Szeregi potęgowe

Def. Szereg funkcyjny
nazywamy szeregiem potęgowym. Liczby a₀, a₁, ... oraz liczba x₀ są tu dane, natomiast x jest zmienną.

Lemat. (o szeregu potęgowym). Jeżeli szereg
jest zbieżny dla x = ρ ≠ 0, to jest zbieżny (bezwzględnie) dla każdego x spełniającego warunek |x| < |ρ|.

Def. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy kres górny zbioru wartości bezwzględnych wszystkich liczb x (Z), dla których ten szereg jest zbieżny. R = sup Z.

Tw. (o zbieżności szeregu potęgowego) Jeżeli promień zbieżności szeregu potęgowego R ≠ 0, to dla każdego dodatniego r < R szereg ten jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w przedziale <-r; +r>.

wniosek 1. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w każdym przediale domkniętym <a; b>, położonym wewnątrz przedziału zbieżności.

wniosek 2. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie w całym wnętrzu (-R; +R) przedziału zbieżności.

wniosek 3. Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w całym wnętrzu (-R; +R) przedziału zbieżności.

Tw. (o promieniu zbieżności). Jeżeli istnieje granica
, to promień zbieżności szeregu potęgowego R = 1 / λ.

Tw. (o całkowaniu sz. potęgowego) Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu potęgowego, to

Tw. (o różniczkowaniu sz. potęgowego) Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu potęgowego, to
.

Szereg Taylora

Tw. (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie na przedziale domkniętym o końcach x₀ i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x₀ i x, że
.

Jeżeli funkcja ma w pewnym otoczeniu Q punktu x₀ wsztstkie pochodne, to dla każdego x ∈ Q-{x₀} i każdego n ∈ N
, gdzie c jest liczbą z wnętrza przedziału o końcach x i x₀.

Jeżeli istnieje otoczenie Q₀, w którym
(R_n(x) - n-ta reszta wzoru Taylora), to
, dla każdego x ∈ Q₀.

Lemat. (o reszcie wzoru Taylora) Jeżeli istnieje taka liczba M > 0, że dla każdego x ∈ Q₀(x₀; δ) i dla każdego naturalnego na spełniona jest nierówność |f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ M, to dla każdego x ∈ Q₀ spełnione jest
.

Twierdzenia Banacha (przestrzenie metryczne)

Def. Zbiór X nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli każdej parze (a, b) jego elementów jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba nieujemna ρ(a, b) taka, że:

1. ρ(a, b) = 0 ⇔ a = b

2. ρ(a, b) = ρ(b, a)

3. ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b)

Funkcję ρ(a, b), określoną na zbiorze wszystkich para punktów przestrzeni X, nazywamy metryką tej przestrzeni. Wartość funkcji ρ(a, b), czyli wartość metryki, nazywamy odległością punktu a od punktu b;

Lemat (Schwarza-Cauchy'ego) Dla każdych dwóch układów (u₁, u₂, ..., u_n) i (v₁, v₂, ..., v_n) n liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
. Nierówność tą nazywamy nierównością Schwarza-Cauchy'ego.

Def. (zbieżność w sensie metryki) Ciąg (x_n) punktów przestrzeni X nazywamy zbieżnym w tej przestrzeni, jeżeli istnieje taki punkt x ∈ X, że
. Piszemy wówczas
.

Def. Mówimy, że ciąg (x_n) punktów przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy'ego w sensie metryki ρ(a, b) tej przestrzeni, jeżeli dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba δ, że dla każdych dwóch liczba naturalnych r, s spełniających warunek min(r,s)>δ, spełniona jest nierówność ρ(x_r, x_s) < ε.

Lemat. Jeżeli ciąg (x_n) punktów przestrzeni metrycznej X jest zbieżny w tej przestrzeni, to spełnia warunek Cauchy'ego w sensie jej metryki.

Def. Ciąg podstawowy punktów przestrzeni metrycznej X jest to ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w sensie metryki tej przestrzeni.

Def. Przestrzeń zupełna jest to przestrzeń metryczna, w której jest zbieżny każdy ciąg podstawowy jej punktów.

Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli operacja A jest określona na punktach przestrzeni metrycznej i zupełnej X, przy czym:

1. jeżeli x ∈ X, to A(x) ∈ X,

2. istnieje taka liczba dodatnia α < 1, że dla każdego y ∈ X i dla każdego z ∈ X spełniona jest nierówność ρ[A(y), A(z)] ≤ α * ρ(y, z)

to w przestrzeni X istnieje dokładnie jeden punkt x_* spełniający równanie x = A(x); punkt x_* jest punktem granicznym ciągu kolejnych przybliżeń x_n+1 = A (x_n) , n = 0, 1, 2, ... , przy czym x₀ jest dowolnym punktem przestrzeni X.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Zbiory w przestrzeni Rⁿ

Przestrzeń Rⁿ Zbiór wszystkich uporządkowanych układów (x₁, x₂, ..., x_n), n liczb rzeczywistych (n ≥ 1), nazywamy przestrzenią n-wymiarową Rⁿ. Układy (x₁, x₂, ..., x_n) nazywamy punktami przestrzeni Rⁿ, liczby x₁, x₂, ..., x_n - współrzędnymi prostokątnymi tych punktów.

Odległość d_AB punktów A(a₁, a₂, ..., a_n) i B(b₁, b₂, ..., b_n) przestrzeni Rⁿ jest określona wzorem:

Otoczenie i sąsiedztwo punktu. Niech r oznacza dowolną liczbę dodatnią.

Def. Otoczenie Q(P₀; r) punktu P₀(a₁, a₂, ..., a_n) o promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów P(x₁, x₂, ..., x_n), dla których:

Def. Sąsiedztwo S(P₀; r) punktu P₀(a₁, a₂, ..., a_n) o promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów P(x₁, x₂, ..., x_n), dla których:

Def. Zbiór Z ⊂ Rⁿ nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka liczba r > 0, że Z ⊂ Q(0; r), natomiast nieograniczonym, gdy liczba taka nie istnieje.

Def. Zbiór nazywamy skończonym, jeżeli należy do niego dokładnie n ∈ N punktów.

Def. Zbiór nazywamy nieskończonym, jeżeli nie jest ani pusty ani skończony.

Zbiory otwarte i domknięte.

Def. Punkt P ∈ Z nazywamy punktem wewnętrznym zbioru Z, jeżeli zbiór ten zawiera pewne otoczenie punktu P.

Def. Zbiór, którego każdy punkt jest punktem wewnętrznym, nazywamy zbiorem otwartym.

Def. Łuk zwykły w przestrzeni Rⁿ jest to zbiór wszystkich punktów P(x₁, x₂, ..., x_n) o współrzędnych x₁ = x₁(t), x₂ = x₂(t), ..., x_n = x_n(t), gdzie x­_i(t), i ∈ N, są to funkcje ciągłe, określone w przedziale <α; β>, przy czym różnym wartościom parametru t ∈ (α; β) odpowiadają różne punkty P.

Łuk zwykły nazywamy otwartym, jeżeli nie jest spełniona co najmniej jedna z równości x_i(α) = x_i(β), i ∈ N, natomiast zamkniętym lub zwykłą krzywą zamkniętą, jeżeli każda z tych równości jest spełniona.

Jeżeli funkcje x_i(t) mając ciągłe pochodne w przedziale <α; β> oraz
dla t ∈ <α; β> to łuk zwykły nazywamy gładkim (regularnym). Jeżeli natomiast przedział <α; β> można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów tak, żeby w każdym z nich oddzielnie funkcje x_i(t) miały ciągłe pochodne (na końcach - pochodne jednostronne) oraz spełniony był powyższy warunek , to łuk zwykły nazywamy kawałkami gładkim.

Def. Obszar jest to taki zbiór otwarty, którego każde dwa punkty można połączyć łukiem zwykłym (np. łamaną) całkowicie w nim zwartym.

Def. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru Z, jeżeli w każdym sąsiedztwie punktu P znajduje się punkt tego zbioru.

Def. Zbiór domknięty jest to zbiór, do którego należą wszystkie jego punkty skupienia. (F ⊂ X domknięty → dopełnienie jest zbiorem otwartym)

Def. Domknięcie A^- zbioru A to przekrój wszystkich zbiorów domkniętych A ⊂ F: A^- = ∩{ F | A ⊂ F ∧ F - domk.}

1. A^- jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawartym w A.

2. A jest domknięty ⇔ A = A^-

3. x ⊂ A^- ⇔ w dowolnym otoczeniu punktu x istnieją punkty zbioru A: ∀ε>0 A ∩K(x₀, ε)≠0.

Def. Podzbiór A ⊂ X nazywamy gęstym w X, jeżeli jego domknięcie jest identyczne z X, czyli A^- = X.

Def. Punkt P ∈ Z, który nie jest punktem skupienia zbioru nazywamy Z, nazywamy punktem osobliwym tego zbioru.

Def. Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru Z, jeżeli w każdym otoczeniu tego punktu znajduje się zarówno punkt zbioru Z jak i punkt, który do tego zbioru nie należy.

Def. Brzeg zbioru Z jest to zbiór wszystkich punktów brzegowych tego zbioru.

Zbiory jednospójne i wielospójne.

Def. Krzywa Jordana jest to zwykła krzywa zamknięta w przestrzeni R². Krzywa Jordana dzieli płaszczyznę na dwa obszary. Jeden z obszarów jest ograniczony i nazywamy go wnętrzem krzywej Jordana. Drugi z tych obszarów jest nieograniczony.

Def. Obszar w przestrzeni R² nazywamy jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej leżącej w nim krzywej Jordana. Obszar który nie jest jednosójny, nazywamy obszarem wielospójnym.

Jeżeli brzeg obszaru w przestrzeni R² składa się z rozłącznych krzywych Jordana, łuków zwykłych otwartych i punktów, to ich łączną liczbę n nazywamy rzędem spójności i obszar nazywamy n-spójnym.

Funkcje wielu zmiennych

Def. Funkcja n zmiennych x₁, x₂, ..., x­_n, określona w zbiorze Z ⊂ Rⁿ, jest to przyporządkowanie każdemu punktowi P(x₁, x₂, ..., x­_n) ∈ Z dokładnie jednej liczby z ∈ R. Piszemy przy tym: z = f (x₁, x₂, ..., x­_n) dla (x₁, x₂, ..., x­_n) ∈ Z lub z = f (P), P ∈ Z.

Def. Funkcję f(P) nazywamy ograniczoną w zbiorze Z, jeżeli istnieje tak liczba M, że dla każdego P ∈ Z spełniona jest nierówność | f(P) | ≤ M.

Granica i ciągłość funkcji

Granica funkcji n zmiennych.

Def. Mówimy, że ciąg punktów (P_k), k ∈ N, przestrzeni Rⁿ jest zbieżny do punku P₀ i piszemy P_k → P₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

Def. (Heinego) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(P) w punkcie P₀, jeżeli dla każdego ciągu punktów (P_k), P_k ∈ Z, P_k ≠ P₀, zbieżnego do P₀, ciąg (f(P_k)) jest zbieżny do g. Jeżeli liczba g jest granicą funkcji f(P) w punkcie P₀, to piszemy:
.

Def. (Cauchy)

Ciągłość funkcji n zmiennych.

Def. Funkcja f(P) jest ciągła w punkcie P₀ ⇔

Def. Funkcję f(P) nazywamy ciągłą w pewnym zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbiour.

Tw. (o loklanym zachowaniu znaku). Jeżeli funkcja f(P), określona w pewnym otoczeniu punktu P₀, jest w tym punkcje ciągła i f(P_o) >(<) 0, to istnieje takie sąsiedztwo S punktu P₀, że dla każdego punktu P ∈ S jest spełniona nierówność f(P) >(<) 0.

Tw. (o ograniczoności funkcji)l Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i okraniczonym
, to jest w tym obszarze ograniczona.

Tw. (Weierstrassa, o osiąganiu kresów) Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
, to istnieje taki punkt P₁ ∈
, że :
oraz istnieje taki punkt P₂ ∈
, że

Tw. (Cantora, o ciągłości jednostajnej) Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
, to dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla każdych dwóch punktów P₁ ∈
i P₂ ∈
, których odległość
spełnia warunek:
to spełniona jest nierówność |f(P₁) - f(P₂)| < ε.

Właściwości funkcji ciągłej w obszarze domkniętym i ograniczonym
, o której mówi powyższe twierdzenie, nazywamy jednostajną ciągłością.

Pochodne cząstkowe

Def. Granicę właściwą
nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f(P) względem zmiennej x_i w punkcje P₀ i oznaczamy symbolem
.

Tw. (Schwarza) Jeżeli funkcja f(x₁, x₂, ..., x_n) ma w pewnym obszarze Ω ⊂ Rⁿ ciągłe pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego
to w każdym punkcie tego obszaru

Funkcje zmiennej zespolonej

Płaszczyzna zespolona otwarta i domknięta.

Def. Płaszczyzna zespolona domknięta (płaszczyzna Gaussa) jest to zbiór utworzony ze wszystkich punktów płaszyczyzny zespolonej otwartej oraz z punktu ∞.

Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych

Def. (granica właściwa)
; g = a + ib ;
; (lim z_n = g) ⇔ (lim x_n = a) ∧ (lim y_n = b)

Def. (granica niewłaściwa)

Def. {z_n} jest ograniczony ⇔ ∃M ∀n |z_n| ≤ M

Def. Ciąg
nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach zespolonych i oznaczamy symbolem
(i jest zbieżny wtwg oba szeregi składowe są zbieżne).

Def. Szereg zbieżny nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli zbieżny jest szereg
.

Tw. Jeżeli zbieżny jest szereg
to również jest zbieżny szereg

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

z = z(t) dla t ∈ T lub z = x(t) + iy(t).

pochodna:

całka oznaczona

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Def. Funkcja zespolona f(z) zmiennej zespolonej z określona w dziedzinie Ω jest to przyporządkowanie każdej liczbie z ∈ Ω dokładnie jednej liczby zespolonej w. Piszemy przy tym: w = f(z) dla z ∈ Ω.

z = x + iy; w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

granica funkcji zmiennej zespolonej.

Def. (Cauchy)

Def. (Heinego). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(z) w punkcie z₀, jeżeli dla każdego ciągu {z_n} zbieżnego do z₀, o wyrazach z_n ≠ z₀ i należących do dziedziny Ω funkcji f(z), ciąg {f(z_n)} jest zbieżny do g..

Def. f(z) jest ciągła w punkcie z₀ ⇔

Def. (gr. niewłaściwa)

Def.

Pochodna funkcji zmiennej zespolonej

Def. Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy Δz → 0 nazywamy pochodną funkcji f(z) w punkcie z₀ i oznaczamy symbolem f'(z).
.

Tw. Jeżeli funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma w punkcie z₀ pochodną f'(z₀), to pochodne cząstkowe
istnieją i spełniają warunki Cauchy'ego-Riemanna

Tw. (warunek wystarczający istnienia pochodnej f'(z₀)) Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) są różniczkowalne w punkcie (x₀; y₀), a ponadto pochodne cząstkowe spełniają w tym pukcie warunki Cauchy'ego-riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodną f'(z₀).

Funkcja holomorficzna

Def. Funkcję f(z) nazywamy holomorficzną w punkcie z₀, jeżeli ma pochodną f'(z) w pewnym otoczeniu tego punktu.

Def. Dwie funkcje harmoniczne u(z, y) i v(x, y) nazywamy sprzężonymi ze sobą, jeżeli spełniają układ równań Cauchy'ego-Riemanna.

Ciągi i szeregi funkcji zespolonych

Def. Ciąg funkcyjny {f_n(z)} określony w zbiorze Ω jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej n dokładnie jednej funkcji f_n(z) określonej w tym zbiorze.

Def. (zbieżność)
, gdzie f(z) nazywamy funkcją graniczną.

Def. (zbieżność jednostajna)

Tw. (o ciągłości funkcji granicznej). Jeżeli
oraz ∀n f_n(z) ∈ C^o(Ω), to f(z) ∈ C^o(Ω)

Def. Ciąg
nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem
.

Def. Szereg zbieżny w zbiorze Ω nazywamy bezwzględnie zbieżnym w tym zborze, jeżeli dla każdego z ∈ Ω zbieżny jest szereg

Kryterium Weierstrassa. Jeżeli dla każdego n ∈ N i dla każdego z ∈ Ω jest spełniona nierówność |f_n(z)| ≤ a_n, przy czym szereg liczbowy
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny w zbiorze Ω jednostajnie i bezwzględnie.

szereg potęgowy.

Def. Szereg funkcyjny
nazywamy szeregiem potęgowym. Liczby zespolone a₀, a₁, ... oraz liczba z₀ są tu dane, natomiast z jest zmienna.

Def. Promień zbieżności R szeregu jest to kres górny zbioru X. R = sup |z - z₀| z ∈ Ω

R = 1 / λ .

Tw. (o holomorficzności sumy szeregu potęgowego). Suma S(z) szeregu potęgowego
jest funkcją holomorficzną wewnątrz koła zbieżności (na całej płaszczyźnie, gdy R = ∞), przy czym
, a ponadto szereg pochodny ma taki sam promień zbieżności jak szereg dany (czyli szereg potęgowy można różniczkować wyraz po wyrazie wewnątrz koła zbieżności).

Tw. (o zbieżności niemal jednostajnej) Szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny w każdym zbiorze domkniętym i ograniczonym, zawartym wewnątrz koła zbieżności.

Def. Funkcja całkowita jest to suma szeregu potęgowego zbieżnego na całej płaszczyźnie otwartej.

Funkcje wieloznaczne

Def. Funkcję f(z) zmiennej zespolonej nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba zespolona p ≠ 0, że dla każdej liczby z z dziedziny funkcji f liczba z + p także należy do tej dziedziny oraz f(z + p) = f(z). Liczbę p nazywamy okresem funkcji f.

Całka funkcji zmiennej zespolonej

Def. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu przedziałów przedziału <α, β> ciąg sum całkowych
jest zbieżny do tej samej granicy skończonej, niezależnie od wyborów punktów ζ_k, to tę granicę nazywamy całką funkcji f(z) wzdłuż łuku AB i oznaczamy symbolem
(δ_n oznacza średnicę podziału przedziału <α, β> na n części)

Tw. (o zamianie całki na całkę oznaczoną). Jeżeli funkcja f(z) jest ciągła na zwykłym luku gładkim AB: z = z(t), t ∈ <α, β>, skierowanym zgodnie ze wzrostem parametru, to

Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego

Tw. (podstawowe Cauchy'ego) Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym, D, C zaś jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w tym obszarze, to

wniosek 1. Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to całka po kawałkami gładkim łuku ⊂ D nie zależy od kształtu tego łuku, a jedynie od jego początku A i końca B.

Tw. Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D i z₀ ∈ D, to funkcja φ(z) określona w tym obszarze wzorem
ma pochodną φ'(z) = f(z)

Def. Funkcję F(z) nazywamy funkcję pierwotną funkcji f(z) w obszarze D, jeżeli dla każdego z ∈ D jest spełniony warunek F'(z) = f(z)

Tw. Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, F(z) zaś jest jakąkolwiek jej funkcją pierwotną w tym obszarze, oraz z₁ ∈ D i z₂ ∈ D, to

wniosek 2. Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D -
, to
(
⊂ D, ob. jednospójne; C₁ i C₂ kawałkami gładkie krzywe Jordana, C₂ ⊂ D, C₁ wewnątrz C₂ i
leży wewnątrz C₁)

wniosek 3. Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z₁, z₂, ..., z_n, to
(gdzie D - ob. jednospójny; C - kawałkami gładka krzywa Jordana położona w obszarze D i zawiera punkty z_k (k ∈ N), K_k - okręgi o środkach z_k i wspólnym promieniu ρ tak małym, aby żadne okręgi się nie stykały)

Wzór całkowy Cauchy'ego

Tw. (o wzorze całkowym Caychy'ego) Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, zaś C ⊂ D jest kawałkami gładką krzywą Jordana, która zawiera punkt z₀ w swym wnętrzu D_c, to
.

Tw. (pochodne wyższych rzędów) Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D, to ma w tym obszarze pochodną każdego rzędu, przy czym dla każdego naturalnego n i dla każdego z₀ ∈ D
, gdzie K oznacza dowolny okrąg o środku z₀ leżący ze swym wnętrzem w obszarze D.

Szereg Taylora

Tw. (o rozwinięciu funkcji holomorficznej w szereg potęgowy) Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D, to można ją rozwinąć wokół każdego punktu z₀ ∈ D w szereg potęgowy
o współczynnikach
przy czym promień zbieżności R tego szeregu jest nie mniejszy niż
, gdzie Γ oznacza brzeg obszaru D.

Def. Pełną funkcją analityczną nazywamy funkcję holomorficzną wraz ze wszystkimi jej przedłużeniami analitycznymi.

Lemat (o punktach zerowych funkcji holomorficznej) Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D, to jest w tym obszarze tożsamościowo równa zeru albo każdy jej punkt zerowy z₀ ∈ D jest odosobniony (tzn. w pewnym jego sąsiedztwie nie ma już innych punktów zerowych funkcji f(z)).

wniosek Funkcja holomorficzna w obszarze D i mająca w nim punkt zerowy, który nie jest odosobniony jest w tym obszarze tożsamościowo równa zeru.

Tw. (o identyfikacji funkcji holomoficznych) Jeżeli funkcje f(z) i g(z) są holomorficzne w obszarze D i przyjmują jednakowe wartości w nieskończonym ciągu {z_n} punktów z_n ∈ D, to funkcje te są równe w obszarze D.

Tw. (zasada maksimum modułu) Moduł funkcji holomorficznej i różnej od stałej w obszarze D nie osiąga maksimum w żadnym punkcie tego obszaru.

wniosek Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze ograniczonym D i ciągła w obszarze domkniętym
= D ∪ C, to moduł |f(z)| przyjmuje wartość największą, a mianowicie
na brzegu C tego obszaru.

Tw. (Liouville'a) Funkcja całkowita i ograniczona jest stała.

Szereg Laurenta

Tw. (Laurenta) Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w pierścieniu D: r < |z - z₀| < R, r ≥ 0, R ≤ ∞, to można ją rozwinąć w tym pierścieniu w szereg Laurenta
przy czym
, gdzie K ⊂ D jest dowolnym okręgiem o środku z^-₀.

Punkty osobliwe odosobnione

Def. Jeżeli funkcja f(z) nie jest holomorficzna w punkcie z₀, jest natomiast holomorficzna w pewnym jego sąsiedztwie, to z₀ nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f(z).

Niech f(z) oznacza funkcję holomorficzną w sąsiedztwie S(z₀; r) punktu z₀. Korzystając z rozwinięcia w szereg Laurenta mamy wówczas dla każdego z ∈ S(z₀; r) następującą równość
.

Pierwszy szereg nazywa się częścią regularną, natomiast drugi - częścią osobliwą (lub główną)

rodzaje punktów osobliwych

1. pozornie osobliwy - część osobliwa rozwinięcia jest równa zero. Istnieje wówczas granica skończona f(z) gdy z → z₀ i równa się a₀.

2. k-krotny punkt biegunowy - część osobliwa rozwinięcia zawiera skończoną liczbę wyrazów. Istnieje taka liczba k>0, że a_-k ≠ 0 i dla n > k wsp. a_-n = 0.

3. punkt istotnie osobliwy­ - część osobliwa rozwinięcia zawiera nieskończenie wiele wyrazów.

Tw. (Sochockiego) Jeżeli z₀ jest punktem istotnie osobliwym funkcji f(z), to dla każdej liczby zespolonej A istnieje taki ciąg {z_n} zbieżny do z₀, że lim f(z_n) = A.

Residuum funkcji

Def. Liczbę
nazywamy residuum funkcji f(z) w punkcie z₀.

res f(z₀) = a_-1

wartości residuum w punktach osobliwych.

1. pozornie osobliwy: res f(z₀) = 0

2. k-krotny punkt biegunowy:
   

3. istotnie osobliwy: res f(z₀) = a_-1

Tw. (Cauchy; całkowe o residuach) Jeżeli f(z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem co najwyżej punktów z_k ∈ D, k ∈ N, C zaś jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w tym obszarze, dodatnio skierowaną i zawierającą punkty z₁, z₂, ..., z_n w swym wnętrzy, to

Przekształcenia całkowe

Wzór całkowy Fouriera

Tw. (tw. Fouriera) Jeżeli funkcja f(t) spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym przedziale skończonym (a, b), a ponadto całka niewłaściwa
jest zbieżna, to dla każdego t prawdziwa jest równość
,

, gdzie

Przekształcenie Laplace'a

Def. Oryginał jest to funkcja f(t) o następujących własnościach

1. ∀t>0 f(t) = 0

2. w każdym otwartym przedziale skończonym spełniony jest pierwszy i drugi warunek Dirichleta

3. ∃M>0 ∃ρ≥0 ∀t |f(t)\ ≤ Me^ρt

Wzór Laplace'a-Mellina. Jeżeli f(t) jest oryginałem, to iloczyn f(t)e^-xt, gdzie x > ρ, jest bezwzględnie całkowalny w przedziale (-∞, ∞), przy czym

dla każdego t:

Przekształcenie Laplace'a

Tw. (o bezwzględnej zbieżności całki Laplace'a) Jeżeli całka Laplace'a jest bezwzględnie zbieżna w punkcje s₀ oraz Re s > Re s₀, to jest tona także bezwzględnie zbieżna w punkcie s.

Tw. (o zbieżności całki Laplace'a) Jeżeli całka Laplace'a jest zbieżna w punkcie s₀, oraz Re s > Re s₀, to jest także zbieżna w punkcie s.

Liniowość przekształceń L i L^-1. L[A₁f₁(t) + A₂f₂(t)] = A₁L[f₁(t)] + A₂L[f₂(t)], oraz

Tw. (o holomorficzności L-transformaty) Transformata
oryginału f(t) jest funkcją holomorficzną w półpłaszczyźnie Re s > x_z, przy czym
.

Rachunek operatorowy

Tw. (o L-transformacie pochodnej) Jeżeli f(t) jest oryginałem i ma w przedziale (0, +∞) ciągłą pochodną f'(t), to istnieje L-transformata tej pochodnej, przy czym
.

Tw. (o L-transformacie pochodnej rzędu n) Jeżeli funkcja f(t) oraz jej pochodne do rzędu (n-1) włącznie są oryginałami, a ponadto istnieje w przedziale (0, +∞) ciągła pochodna f⁽ⁿ⁾(t), to istnieje L-transformata tej pochodnej, przy czym
.

Tw. (o L-transformacie całki) Jeżeli f(t) jest oryginałem, to
.

Własności przekształcenia Laplace'a

Tw. (o podobieństwie) Jeżeli f(t) jest oryginałem oraz a > 0, to
.

Z tego wynika
, c > 0

Tw. (o przesunięciu w argumencie oryginału) Jeżeli f(t) jest oryginałem oraz t₀ ≥ 0, to
.

Tw. (o przesunięciu w argumencie obrazu). Jeżeli f(t) jest oryginałem oraz α jest liczbą zesploną, to

Tw. (tw. Borela) Jeżeli f₁(t) i f₂(t) są oryginałami to istnieje L-transformata ich splotu, przy czym
.

Def. s ∈ Δ(s₀; α) ⇔ -α < arg(s-s₀) < α

Tw. (o granicy obrazu w nieskończoności) Jeżeli f(t) jest oryginałem, to dla każdego sektora Δ(s₀; α) takiego, że Re s₀ > ρ, jest spełniony warunek
.

Tw. (o granicy oryginału w nieskończoności). Jeżeli f(t) jest oryginałem, którego całka Laplace'a istnieje dla Re s > 0, oraz jeżeli istnieje granica
, to dla każdego sektora Δ(0; α) istnieje także granica
.

Tw. (o granicy oryginału w zerze) Jeżeli f(t) jest oryginałem, oraz
, to dla każdego sektora Δ(s₀; α) takiego, że Re s₀ > x_z istnieje granica

---