Analiza matematyczna 2 - ściąga, Analiza matematyczna studia, analiza matematyczna, analiza matematyczna 2


Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Zbieżność całek

Niech a>0. Wtedy 0x01 graphic

Niech b<0. Wtedy 0x01 graphic

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych I rodzaju

Kryterium porównawcze

Jeżeli

1. 0 f(x) g(x) dla każdego x [a,),

2. funkcje f i g są całkowalne na przedziałach [a,T] dla T>a,

3. całka 0x01 graphic
jest zbieżna

to całka 0x01 graphic
jest zbieżna.

Założenie 3 można zastąpić założeniem „całka 0x01 graphic
jest rozzbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka 0x01 graphic
jest rozzbieżna”.

Kryterium ilorazowe

Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [a,T] dla każdego T>a oraz niech 0x01 graphic
, gdzie 0<k<. Wówczas całka 0x01 graphic
jest zbieżna całka 0x01 graphic
jest zbieżna.

Zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych I rodzaju

Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [a,T] dla każdego T>a. Całka 0x01 graphic
jest zbieżna bezwzględnie 0x01 graphic
jest zbieżna.

Całki niewłaściwe drugiego rodzaju

0x01 graphic

0x01 graphic

Zbieżność całek

Niech b>0. Wtedy 0x01 graphic

Niech a<0. Wtedy 0x01 graphic

Kryteria zbieżności takie same jak dla całek I rodzaju.

SZEREGI LICZBOWE

Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn), gdzie Sn = a1 + a2 + … + an. Szereg taki oznaczamy przez 0x01 graphic
. Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę Sn n-tą sumą częściową tego szeregu.

Zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg 0x01 graphic
jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu (Sn). Jeżeli 0x01 graphic
albo 0x01 graphic
, to mówimy, że szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny odpowiednio do - albo do . W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny. Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę 0x01 graphic
i oznaczamy ją tem samym symbolem co szereg.

Zbieżność szeregu geometrycznego

Szereg geometryczny 0x01 graphic
jest zbieżny |x| <1. Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy: 0x01 graphic

Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeżeli szereg 0x01 graphic
jest zbieżny, to 0x01 graphic
. Twierdezenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Zbieżność szeregu

Szereg 0x01 graphic

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium całkowe

Niech funkcja f:[n0,)[0,), gdzie n0N, będzie nierosnąca. Wówczas szereg 0x01 graphic
jest zbieżny całka 0x01 graphic
jest zbieżna.

Kryterium porównawcze

1. 0 an bn dla każdego n n0

2. szereg 0x01 graphic
jest zbieżny

0x01 graphic
=> szereg 0x01 graphic
jest zbieżny

Jeżeli założenie 2 ma postać „szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny”, to w tezie otrzymamy „szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny”.

Kryterium ilorazowe

Niech an, bn > 0 dla każdego n > n0 oraz niech 0x01 graphic
, gdzie 0<k<. Wówczas szereg 0x01 graphic
jest zbieżny szereg 0x01 graphic
jest zbieżny.

Kryterium d'Alemberta

1. Jeżeli 0x01 graphic
, to szereg 0x01 graphic
jest zbieżny.

2. Jeżeli 0x01 graphic
, to szereg 0x01 graphic
jest rozzbieżny.

Kryterium Cauchy'ego

1. Jeżeli 0x01 graphic
, to szereg 0x01 graphic
jest zbieżny.

2. Jeżeli 0x01 graphic
, to szereg 0x01 graphic
jest rozzbieżny.

Tw. Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego

Jeżeli

1. ciąg (bn) jest nierosnący od numeru n0N,

2. 0x01 graphic

to szereg naprzemienny 0x01 graphic
jest zbieżny.

Zbieżność bezwzględna szeregu

Szereg 0x01 graphic
jest zbieżny bezwzględnie szereg 0x01 graphic
jest zbieżny.

Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

Szereg zbieżny warunkowo

Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Sumy ważniejszych szeregów

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

SZEREGI POTĘGOWE

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0R nazywamy szereg postaci: 0x01 graphic
, gdzie xR oraz cnR dla nN.

Promień zbieżności szeregu potęgowego

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
nazywamy liczbę R określoną równością: 0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic
. Ponadto przyjmujemy R=0. Gdy 0x01 graphic
oraz R=, gdy 0x01 graphic
.

Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego może być także obliczany ze wzoru 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
, o ile te granice istnieją.

Twierdzenie Cauchy'ego - Hadamarda

Niech 0<R< będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
. Wtedy szereg ten jest:

a) zbieżny bezwzgl. w każdym punkcie przedziału (x0-R, x0+R),

b) rozbieżny w każdym punkcie zbioru (-, x0-R)(x0+R, ).

Przedział zbieżności szeregu potęgowego

Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
nazywamy zbiór 0x01 graphic
.

Szereg Taylora

Niech

1. funkcja f ma pochodną dowolnego rzędu na przedziale (x0- δ, x0+δ),

2. dla każdego x(x0- δ, x0+δ) 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora, wtedy

0x01 graphic
.

Gdy x0=0 to szereg ten nazywamy szeregirm Maclaurina.

Twierdzenie o jednoznaczności

Jeżeli 0x01 graphic
dla każdego (x0- δ, x0+δ), gdzie δ>0, to 0x01 graphic
dla n = 0, 1, 2, ... .

Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego

Niech 0<R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
. Wtedy:

0x01 graphic

dla każdego x(x0-R, x0+R).

Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego

Niech 0<R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego 0x01 graphic
. Wtedy:

0x01 graphic

dla każdego x(x0-R, x0+R).

Sumy ważniejszych szeregów potęgowych

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

dla każdego x(-1, 1).

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Poziomicą wykresu funkcji f, odpowiadającą poziomowi hR, nazywamy zbiór {(x,y)Df: f(x,y) = h}.

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych

0x01 graphic
- płaszczyzna przechodząca przez (0,0,C).

0x01 graphic
- paraboloida obrotowa powstała z obrotu paraboli z=ax2 wokół osi Oz.

0x01 graphic
- stożek, powstały z obrotu półprostej z=kx wokół osi Oz.

0x01 graphic
- górna (+) lub dolna (-) półsfera o środku w początku układu współrzędnych.

0x01 graphic
- siodło.

Ciąg zbieżny

Ciąg punktów na płaszczyźnie ((xn, yn)) jest zbieżny do punktu (x0, y0)R2 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Def. Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie

Niech f będzie określona na zbiorze otwartym AR2 z wyjątkiem być może punktu (x0, y0)A. Funkcja f ma granicę g w punkcie (x0, y0), co zapisujemy 0x01 graphic
, wtedy i tylko wtedy, gdy

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Funkcja ciągła w punkcie

Niech funkcja f będzie określona na zbiorze otwartym zawiera-jącym punkt (x0, y0). Funkcja f jest ciągła w punkcie (x0, y0) 0x01 graphic
.

Tw. Weierstrassa o osiąganiu kresów

Jeżeli

1. zbiór DR2 jest domknięty i ograniczony,

2. funkcja f jest ciągła na D,

to

0x01 graphic

0x01 graphic

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu

0x01 graphic

0x01 graphic

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Tw. Schwarza o pochodnych mieszanych

Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0, y0). Ponadto niech

1. istnieją pochodne cząstkowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
na otoczeniu punktu (x0, y0),

2. pochodne cząstkowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
będą ciągłe w punkcie (x0, y0).

Wtedy 0x01 graphic
.

Funkcja różniczkowalna w punkcie

Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech istnieją pochodne cząstkowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x0, y0) jeżeli

0x01 graphic
Warunek konieczny różniczkowalności funkcji

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie. (Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe)

Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji

Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0, y0). Niech ponadto

1. pochodne cząstkowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
istnieją na otoczeniu punktu (x0, y0),

2. pochodne cząstkowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
będą ciągłe w punkcie (x0, y0).

Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x0, y0).

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, y0, z0)

0x01 graphic

Różniczka funkcji

0x01 graphic

Zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych

0x01 graphic

0x01 graphic

Pochodna kierunkowa funkcji:

0x01 graphic

Gradient funkcji:

0x01 graphic

Wzór do obliczania pochodnej kierunkowej:

0x01 graphic
, v - wersor

Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych

0x01 graphic

Wzór Taylora

Niech funkcja f ma na otoczeniu O punktu (x0,y0) ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n1 włącznie oraz niech punkt (x0+x,y0+y)O. Wtedy

0x01 graphic

Warunek wystarczający istnienia ekstremum:

1. pochodne cząstkowe II rzędu są ciągłe w otoczeniu (x0,y0)

2. 0x01 graphic

3. 0x01 graphic

gdy 0x01 graphic
- minimum lok. właściwe

gdy 0x01 graphic
- maksimum lok. właściwe

Algorytm szukania ekstremów warunkowych:

  1. Krzywą L: g(x,y)=0 (g(x,y) jest podanym warunkiem) dzielimy na łuki, które są wykresami funkcji postaci y=p(x) dla xI lub x=q(x) dla xJ.

  2. Szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej f(x,p(x)) dla xI lub f(q(y),y) dla xJ.

  3. Porównujemy wartości otrzymanych ekstremów na krzywej L i ustalamy ekstrema warunkowe.

Algorytm znajdowania wartości ekstremalnych na obszarze domkniętym:

  1. wyznaczamy punkty „podejrzane” o ekstrema lokalne zawarte we wnętrzu obszaru

  2. wyznaczamy punkty „podejrzane” o ekstrema warunkowe na brzegu obszaru

  3. wyznaczamy punkty „sklejenia” łuków tworzących brzeg obszaru

  4. obliczamy wartości funkcji we wszystkich otrzymanych punktach i wyznaczamy wartość największą i najmniejszą

Funkcje uwikłane - tw. o istnieniu

Niech f będzie określona na otoczeniu punktu (x0,y0) i niech:

  1. pochodne cząstkowe 0x01 graphic
    są ciągłe na otoczeniu (x0,y0)

  2. F(x0,y0) = 0

  3. 0x01 graphic

wtedy F(x,y)=0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną y=y(x) określoną na pewnym otoczeniu punktu x0.

Pochodna funkcji uwikłanej:

0x01 graphic

Ekstrema funkcji uwikłanych:

  1. F(x0,y0) = 0

  2. 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic

wtedy funkcja uwikłana y=y(x) określona równaniem F(x,y)=0 ma w punkcie (x0,y0) ekstremum lokalne właściwe.

A>0 - minimum, A<0 maksimum

Wartość średnia funkcji na obszarze:

0x01 graphic
, |D| - pole obszaru

Zależność między współrzędnymi kartez. i biegunowymi:

0x01 graphic

Współrzędne biegunowe w całce podwójnej:

0x01 graphic

Pole obszaru DR2

0x01 graphic

Objętość bryły VR3 i ograniczonej powierzchniami z=d(x,y) i z=g(x,y):

0x01 graphic

Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z=f(x,y), gdzie (x,y)D:

0x01 graphic

Zastosowania w fizyce:

1. Masa obszaru D o gęstości powierzchniowej masy σ:

0x01 graphic

2. Momenty statyczne względem osi OX i OY obszaru D o gęstości masy σ:

0x01 graphic

3. Współrzędne środka masy obszaru D o gęstości pow. masy σ:

0x01 graphic

4. Momenty bezwładności względem osi OX, OY i punktu O:

0x01 graphic

0x01 graphic

Zamiana na współrzędne biegunowe:

0x01 graphic

x2 + (y - r)2 = r2

x2 + y2 - 2yr = 0

x2 + y2 = 2yr

x2 + y2 = 2yr ρ2 = 2ρrsin

ρ = 0 ρ = 2rsin

0x01 graphic

(x - r)2 + y2 = r2

x2 - 2xr + y2 = 0

x2 + y2 = 2xr

x2 + y2 = 2xr ρ2 = 2ρrcos

ρ = 0 ρ = 2rcos

Związek między współrzędnymi walcowymi i kartez.

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Współrzędne walcowe w całce potrójnej

0x01 graphic

Związek między współrzędnymi sferycznymi i kartez.

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Współrzędne sferyczne w całce potrójnej

0x01 graphic

Zastosowania całek potrójnych

1. Objętość obszaru V

0x01 graphic

1. Masa obszaru V o gęstości objętościowej masy γ:

0x01 graphic

2. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru V o gęstości masy γ:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3. Współrzędne środka masy obszaru V o gęstości obj. masy γ:

0x01 graphic

4. Momenty bezwładności względem osi układu współrzędnych:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

5. Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych obszaru V:

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Sciaga Macierz-odwrotna, studia, matematyka
Równania różniczkowe sciąga, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka
matematyka - ściąga, Pomoce naukowe, studia, matematyka, matematyka itp
analiza sciaga, studia, Matma, Analiza Matematyczna, analiza, Ściągi
6643194-sciaga-calki, Studia, Matematyka, Analiza Matematyczna
Sciaga19 Ekstrema-funkcji-uwiklanej-jednej-zmiennej, studia, Matma, Analiza Matematyczna, analiza, Ś
Analiza matematyczna 2 ściąga
sciaga kolo1 analiza fin, WTD, analiza matematyczna
ANALIZA MATEMATYCZNA - ściąga, Edukacja, Analiza matematyczna
Analiza matematyczna Teoria sciaga
ANALIZA MATEMATYCZNA sciaga kolo 2
Macierze - ściąga, Analiza matematyczna
Analiza matematyczna, Analiza matematyczna - wykład, Ściąga z wykładów
Zadania dodatkowe z AM (5), Budownictwo studia pł, SEMESTR I, SEMESTR I, matematyka, Analiza matemat
sciaga analiza fin, WTD, analiza matematyczna
Pochodnesciagi, studia, Matma, Analiza Matematyczna, analiza, Ściągi
Analiza matematyczna 2 - opracowane zagadnienia na egzamin, Wykłady - Studia matematyczno-informatyc
Analiza matematyczna egzamin I (lato) calki teoria, Wykłady - Studia matematyczno-informatyczne

więcej podobnych podstron