Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju

Zbieżność całek

Niech a>0. Wtedy

Niech b<0. Wtedy

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych I rodzaju

Kryterium porównawcze

Jeżeli

1. 0 ≤ f(x) ≤ g(x) dla każdego x ∈ [a,∞),

2. funkcje f i g są całkowalne na przedziałach [a,T] dla T>a,

3. całka
jest zbieżna

to całka
jest zbieżna.

Założenie 3 można zastąpić założeniem „całka
jest rozzbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka
jest rozzbieżna”.

Kryterium ilorazowe

Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [a,T] dla każdego T>a oraz niech
, gdzie 0<k<∞. Wówczas całka
jest zbieżna całka
jest zbieżna.

Zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych I rodzaju

Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [a,T] dla każdego T>a. Całka
jest zbieżna bezwzględnie
jest zbieżna.

Całki niewłaściwe drugiego rodzaju

Zbieżność całek

Niech b>0. Wtedy

Niech a<0. Wtedy

Kryteria zbieżności takie same jak dla całek I rodzaju.

SZEREGI LICZBOWE

Niech (a_n) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (S_n), gdzie S_n = a₁ + a₂ + … + a_n. Szereg taki oznaczamy przez
. Liczbę a_n nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę S_n n-tą sumą częściową tego szeregu.

Zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg
jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu (S_n). Jeżeli
albo
, to mówimy, że szereg
jest rozbieżny odpowiednio do -∞ albo do ∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny. Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę
i oznaczamy ją tem samym symbolem co szereg.

Zbieżność szeregu geometrycznego

Szereg geometryczny
jest zbieżny |x| <1. Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy:

Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeżeli szereg
jest zbieżny, to
. Twierdezenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Zbieżność szeregu

Szereg

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium całkowe

Niech funkcja f:[n₀,∞)→[0,∞), gdzie n₀∈N, będzie nierosnąca. Wówczas szereg
jest zbieżny całka
jest zbieżna.

Kryterium porównawcze

1. 0 ≤ an ≤ bn dla każdego n ≥ n0 2. szereg jest zbieżny

=> szereg jest zbieżny

Jeżeli założenie 2 ma postać „szereg
jest rozbieżny”, to w tezie otrzymamy „szereg
jest rozbieżny”.

Kryterium ilorazowe

Niech a_n, b_n > 0 dla każdego n > n₀ oraz niech
, gdzie 0<k<∞. Wówczas szereg
jest zbieżny szereg
jest zbieżny.

Kryterium d'Alemberta

1. Jeżeli
, to szereg
jest zbieżny.

2. Jeżeli
, to szereg
jest rozzbieżny.

Kryterium Cauchy'ego

1. Jeżeli
, to szereg
jest zbieżny.

2. Jeżeli
, to szereg
jest rozzbieżny.

Tw. Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego

Jeżeli

1. ciąg (b_n) jest nierosnący od numeru n₀∈N,

2.

to szereg naprzemienny
jest zbieżny.

Zbieżność bezwzględna szeregu

Szereg
jest zbieżny bezwzględnie szereg
jest zbieżny.

Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

Szereg zbieżny warunkowo

Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Sumy ważniejszych szeregów

SZEREGI POTĘGOWE

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀∈R nazywamy szereg postaci:
, gdzie x∈R oraz c_n∈R dla n∈N.

Promień zbieżności szeregu potęgowego

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego
nazywamy liczbę R określoną równością:
, gdy
. Ponadto przyjmujemy R=0. Gdy
oraz R=∞, gdy
.

Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego może być także obliczany ze wzoru
lub
, o ile te granice istnieją.

Twierdzenie Cauchy'ego - Hadamarda

Niech 0<R<∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
. Wtedy szereg ten jest:

a) zbieżny bezwzgl. w każdym punkcie przedziału (x₀-R, x₀+R),

b) rozbieżny w każdym punkcie zbioru (-∞, x₀-R)∪(x₀+R, ∞).

Przedział zbieżności szeregu potęgowego

Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego
nazywamy zbiór
.

Szereg Taylora

Niech

1. funkcja f ma pochodną dowolnego rzędu na przedziale (x₀- δ, x₀+δ),

2. dla każdego x∈(x₀- δ, x₀+δ)
, gdzie
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora, wtedy

.

Gdy x₀=0 to szereg ten nazywamy szeregirm Maclaurina.

Twierdzenie o jednoznaczności

Jeżeli
dla każdego (x₀- δ, x₀+δ), gdzie δ>0, to
dla n = 0, 1, 2, ... .

Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych

Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego

Niech 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
. Wtedy:

dla każdego x∈(x₀-R, x₀+R).

Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego

Niech 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
. Wtedy:

dla każdego x∈(x₀-R, x₀+R).

Sumy ważniejszych szeregów potęgowych

dla każdego x∈(-1, 1).

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Poziomicą wykresu funkcji f, odpowiadającą poziomowi h∈R, nazywamy zbiór {(x,y)∈D_f: f(x,y) = h}.

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych

- płaszczyzna przechodząca przez (0,0,C).

- paraboloida obrotowa powstała z obrotu paraboli z=ax² wokół osi Oz.

- stożek, powstały z obrotu półprostej z=kx wokół osi Oz.

- górna (+) lub dolna (-) półsfera o środku w początku układu współrzędnych.

- siodło.

Ciąg zbieżny

Ciąg punktów na płaszczyźnie ((x_n, y_n)) jest zbieżny do punktu (x₀, y₀)∈R²
oraz
.

Def. Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie

Niech f będzie określona na zbiorze otwartym A⊂R² z wyjątkiem być może punktu (x₀, y₀)∈A. Funkcja f ma granicę g w punkcie (x₀, y₀), co zapisujemy
, wtedy i tylko wtedy, gdy

Funkcja ciągła w punkcie

Niech funkcja f będzie określona na zbiorze otwartym zawiera-jącym punkt (x₀, y₀). Funkcja f jest ciągła w punkcie (x₀, y₀)
.

Tw. Weierstrassa o osiąganiu kresów

Jeżeli

1. zbiór D⊂R² jest domknięty i ograniczony,

2. funkcja f jest ciągła na D,

to

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Tw. Schwarza o pochodnych mieszanych

Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x₀, y₀). Ponadto niech

1. istnieją pochodne cząstkowe
,
na otoczeniu punktu (x₀, y₀),

2. pochodne cząstkowe
,
będą ciągłe w punkcie (x₀, y₀).

Wtedy
.

Funkcja różniczkowalna w punkcie

Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x₀, y₀) oraz niech istnieją pochodne cząstkowe
,
. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x₀, y₀) jeżeli

Warunek konieczny różniczkowalności funkcji

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie. (Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe)

Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji

Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x₀, y₀). Niech ponadto

1. pochodne cząstkowe
,
istnieją na otoczeniu punktu (x₀, y₀),

2. pochodne cząstkowe
,
będą ciągłe w punkcie (x₀, y₀).

Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x₀, y₀).

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x₀, y₀, z₀)

Różniczka funkcji

Zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych

Pochodna kierunkowa funkcji:

Gradient funkcji:

Wzór do obliczania pochodnej kierunkowej:

, v - wersor

Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych

Wzór Taylora

Niech funkcja f ma na otoczeniu O punktu (x₀,y₀) ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n≥1 włącznie oraz niech punkt (x₀+x,y₀+y)∈O. Wtedy

Warunek wystarczający istnienia ekstremum:

1. pochodne cząstkowe II rzędu są ciągłe w otoczeniu (x₀,y₀)

2.

3.

gdy
- minimum lok. właściwe

gdy
- maksimum lok. właściwe

Algorytm szukania ekstremów warunkowych:

1. Krzywą L: g(x,y)=0 (g(x,y) jest podanym warunkiem) dzielimy na łuki, które są wykresami funkcji postaci y=p(x) dla x∈I lub x=q(x) dla x∈J.

2. Szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej f(x,p(x)) dla x∈I lub f(q(y),y) dla x∈J.

3. Porównujemy wartości otrzymanych ekstremów na krzywej L i ustalamy ekstrema warunkowe.

Algorytm znajdowania wartości ekstremalnych na obszarze domkniętym:

1. wyznaczamy punkty „podejrzane” o ekstrema lokalne zawarte we wnętrzu obszaru

2. wyznaczamy punkty „podejrzane” o ekstrema warunkowe na brzegu obszaru

3. wyznaczamy punkty „sklejenia” łuków tworzących brzeg obszaru

4. obliczamy wartości funkcji we wszystkich otrzymanych punktach i wyznaczamy wartość największą i najmniejszą

Funkcje uwikłane - tw. o istnieniu

Niech f będzie określona na otoczeniu punktu (x₀,y₀) i niech:

1. pochodne cząstkowe
   są ciągłe na otoczeniu (x₀,y₀)

2. F(x₀,y₀) = 0

3. 
   

wtedy F(x,y)=0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną y=y(x) określoną na pewnym otoczeniu punktu x₀.

Pochodna funkcji uwikłanej:

Ekstrema funkcji uwikłanych:

1. F(x₀,y₀) = 0

2. 
   

3. 
   

wtedy funkcja uwikłana y=y(x) określona równaniem F(x,y)=0 ma w punkcie (x₀,y₀) ekstremum lokalne właściwe.

A>0 - minimum, A<0 maksimum

Wartość średnia funkcji na obszarze:

, |D| - pole obszaru

Zależność między współrzędnymi kartez. i biegunowymi:

Współrzędne biegunowe w całce podwójnej:

Pole obszaru D⊂R²

Objętość bryły V⊂R³ i ograniczonej powierzchniami z=d(x,y) i z=g(x,y):

Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z=f(x,y), gdzie (x,y)∈D:

Zastosowania w fizyce:

1. Masa obszaru D o gęstości powierzchniowej masy σ:

2. Momenty statyczne względem osi OX i OY obszaru D o gęstości masy σ:

3. Współrzędne środka masy obszaru D o gęstości pow. masy σ:

4. Momenty bezwładności względem osi OX, OY i punktu O:

Zamiana na współrzędne biegunowe:

x² + (y - r)² = r²

x² + y² - 2yr = 0

x² + y² = 2yr

x² + y² = 2yr ⇒ ρ² = 2ρrsin

ρ = 0 ∨ ρ = 2rsin

(x - r)² + y² = r²

x² - 2xr + y² = 0

x² + y² = 2xr

x² + y² = 2xr ⇒ ρ² = 2ρrcos

ρ = 0 ∨ ρ = 2rcos

Związek między współrzędnymi walcowymi i kartez.

,

Współrzędne walcowe w całce potrójnej

Związek między współrzędnymi sferycznymi i kartez.

,

Współrzędne sferyczne w całce potrójnej

Zastosowania całek potrójnych

1. Objętość obszaru V

1. Masa obszaru V o gęstości objętościowej masy γ:

2. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru V o gęstości masy γ:

3. Współrzędne środka masy obszaru V o gęstości obj. masy γ:

4. Momenty bezwładności względem osi układu współrzędnych:

5. Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych obszaru V: