Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
Zbieżność całek
Niech a>0. Wtedy
Niech b<0. Wtedy
Kryteria zbieżności całek niewłaściwych I rodzaju
Kryterium porównawcze
Jeżeli
1. 0 ≤ f(x) ≤ g(x) dla każdego x ∈ [a,∞),
2. funkcje f i g są całkowalne na przedziałach [a,T] dla T>a,
3. całka
jest zbieżna
to całka
jest zbieżna.
Założenie 3 można zastąpić założeniem „całka
jest rozzbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka
jest rozzbieżna”.
Kryterium ilorazowe
Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [a,T] dla każdego T>a oraz niech
, gdzie 0<k<∞. Wówczas całka
jest zbieżna całka
jest zbieżna.
Zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych I rodzaju
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [a,T] dla każdego T>a. Całka
jest zbieżna bezwzględnie
jest zbieżna.
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
Zbieżność całek
Niech b>0. Wtedy
Niech a<0. Wtedy
Kryteria zbieżności takie same jak dla całek I rodzaju.
SZEREGI LICZBOWE
Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn), gdzie Sn = a1 + a2 + … + an. Szereg taki oznaczamy przez
. Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę Sn n-tą sumą częściową tego szeregu.
Zbieżność szeregu
Mówimy, że szereg
jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu (Sn). Jeżeli
albo
, to mówimy, że szereg
jest rozbieżny odpowiednio do -∞ albo do ∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny. Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę
i oznaczamy ją tem samym symbolem co szereg.
Zbieżność szeregu geometrycznego
Szereg geometryczny
jest zbieżny |x| <1. Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy:
Warunek konieczny zbieżności szeregu
Jeżeli szereg
jest zbieżny, to
. Twierdezenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Zbieżność szeregu
Szereg
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium całkowe
Niech funkcja f:[n0,∞)→[0,∞), gdzie n0∈N, będzie nierosnąca. Wówczas szereg
jest zbieżny całka
jest zbieżna.
Kryterium porównawcze
1. 0 ≤ an ≤ bn dla każdego n ≥ n0
2. szereg |
|
Jeżeli założenie 2 ma postać „szereg
jest rozbieżny”, to w tezie otrzymamy „szereg
jest rozbieżny”.
Kryterium ilorazowe
Niech an, bn > 0 dla każdego n > n0 oraz niech
, gdzie 0<k<∞. Wówczas szereg
jest zbieżny szereg
jest zbieżny.
Kryterium d'Alemberta
1. Jeżeli
, to szereg
jest zbieżny.
2. Jeżeli
, to szereg
jest rozzbieżny.
Kryterium Cauchy'ego
1. Jeżeli
, to szereg
jest zbieżny.
2. Jeżeli
, to szereg
jest rozzbieżny.
Tw. Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego
Jeżeli
1. ciąg (bn) jest nierosnący od numeru n0∈N,
2.
to szereg naprzemienny
jest zbieżny.
Zbieżność bezwzględna szeregu
Szereg
jest zbieżny bezwzględnie szereg
jest zbieżny.
Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.
Szereg zbieżny warunkowo
Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.
Sumy ważniejszych szeregów
SZEREGI POTĘGOWE
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0∈R nazywamy szereg postaci:
, gdzie x∈R oraz cn∈R dla n∈N.
Promień zbieżności szeregu potęgowego
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego
nazywamy liczbę R określoną równością:
, gdy
. Ponadto przyjmujemy R=0. Gdy
oraz R=∞, gdy
.
Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego może być także obliczany ze wzoru
lub
, o ile te granice istnieją.
Twierdzenie Cauchy'ego - Hadamarda
Niech 0<R<∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
. Wtedy szereg ten jest:
a) zbieżny bezwzgl. w każdym punkcie przedziału (x0-R, x0+R),
b) rozbieżny w każdym punkcie zbioru (-∞, x0-R)∪(x0+R, ∞).
Przedział zbieżności szeregu potęgowego
Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego
nazywamy zbiór
.
Szereg Taylora
Niech
1. funkcja f ma pochodną dowolnego rzędu na przedziale (x0- δ, x0+δ),
2. dla każdego x∈(x0- δ, x0+δ)
, gdzie
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora, wtedy
.
Gdy x0=0 to szereg ten nazywamy szeregirm Maclaurina.
Twierdzenie o jednoznaczności
Jeżeli
dla każdego (x0- δ, x0+δ), gdzie δ>0, to
dla n = 0, 1, 2, ... .
Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych
Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego
Niech 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
. Wtedy:
dla każdego x∈(x0-R, x0+R).
Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego
Niech 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
. Wtedy:
dla każdego x∈(x0-R, x0+R).
Sumy ważniejszych szeregów potęgowych
dla każdego x∈(-1, 1).
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
Poziomicą wykresu funkcji f, odpowiadającą poziomowi h∈R, nazywamy zbiór {(x,y)∈Df: f(x,y) = h}.
Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych
- płaszczyzna przechodząca przez (0,0,C).
- paraboloida obrotowa powstała z obrotu paraboli z=ax2 wokół osi Oz.
- stożek, powstały z obrotu półprostej z=kx wokół osi Oz.
- górna (+) lub dolna (-) półsfera o środku w początku układu współrzędnych.
- siodło.
Ciąg zbieżny
Ciąg punktów na płaszczyźnie ((xn, yn)) jest zbieżny do punktu (x0, y0)∈R2
oraz
.
Def. Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym A⊂R2 z wyjątkiem być może punktu (x0, y0)∈A. Funkcja f ma granicę g w punkcie (x0, y0), co zapisujemy
, wtedy i tylko wtedy, gdy
|
|
|
Funkcja ciągła w punkcie
Niech funkcja f będzie określona na zbiorze otwartym zawiera-jącym punkt (x0, y0). Funkcja f jest ciągła w punkcie (x0, y0)
.
Tw. Weierstrassa o osiąganiu kresów
Jeżeli
1. zbiór D⊂R2 jest domknięty i ograniczony,
2. funkcja f jest ciągła na D,
to
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
Tw. Schwarza o pochodnych mieszanych
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0, y0). Ponadto niech
1. istnieją pochodne cząstkowe
,
na otoczeniu punktu (x0, y0),
2. pochodne cząstkowe
,
będą ciągłe w punkcie (x0, y0).
Wtedy
.
Funkcja różniczkowalna w punkcie
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech istnieją pochodne cząstkowe
,
. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x0, y0) jeżeli
Warunek konieczny różniczkowalności funkcji
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie. (Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe)
Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0, y0). Niech ponadto
1. pochodne cząstkowe
,
istnieją na otoczeniu punktu (x0, y0),
2. pochodne cząstkowe
,
będą ciągłe w punkcie (x0, y0).
Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x0, y0).
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, y0, z0)
Różniczka funkcji
Zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych
Pochodna kierunkowa funkcji:
Gradient funkcji:
Wzór do obliczania pochodnej kierunkowej:
, v - wersor
Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych
Wzór Taylora
Niech funkcja f ma na otoczeniu O punktu (x0,y0) ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n≥1 włącznie oraz niech punkt (x0+x,y0+y)∈O. Wtedy
Warunek wystarczający istnienia ekstremum:
1. pochodne cząstkowe II rzędu są ciągłe w otoczeniu (x0,y0)
2.
3.
gdy
- minimum lok. właściwe
gdy
- maksimum lok. właściwe
Algorytm szukania ekstremów warunkowych:
Krzywą L: g(x,y)=0 (g(x,y) jest podanym warunkiem) dzielimy na łuki, które są wykresami funkcji postaci y=p(x) dla x∈I lub x=q(x) dla x∈J.
Szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej f(x,p(x)) dla x∈I lub f(q(y),y) dla x∈J.
Porównujemy wartości otrzymanych ekstremów na krzywej L i ustalamy ekstrema warunkowe.
Algorytm znajdowania wartości ekstremalnych na obszarze domkniętym:
wyznaczamy punkty „podejrzane” o ekstrema lokalne zawarte we wnętrzu obszaru
wyznaczamy punkty „podejrzane” o ekstrema warunkowe na brzegu obszaru
wyznaczamy punkty „sklejenia” łuków tworzących brzeg obszaru
obliczamy wartości funkcji we wszystkich otrzymanych punktach i wyznaczamy wartość największą i najmniejszą
Funkcje uwikłane - tw. o istnieniu
Niech f będzie określona na otoczeniu punktu (x0,y0) i niech:
pochodne cząstkowe
są ciągłe na otoczeniu (x0,y0)
F(x0,y0) = 0
wtedy F(x,y)=0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną y=y(x) określoną na pewnym otoczeniu punktu x0.
Pochodna funkcji uwikłanej:
Ekstrema funkcji uwikłanych:
F(x0,y0) = 0
wtedy funkcja uwikłana y=y(x) określona równaniem F(x,y)=0 ma w punkcie (x0,y0) ekstremum lokalne właściwe.
A>0 - minimum, A<0 maksimum
Wartość średnia funkcji na obszarze:
, |D| - pole obszaru
Zależność między współrzędnymi kartez. i biegunowymi:
Współrzędne biegunowe w całce podwójnej:
Pole obszaru D⊂R2
Objętość bryły V⊂R3 i ograniczonej powierzchniami z=d(x,y) i z=g(x,y):
Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z=f(x,y), gdzie (x,y)∈D:
Zastosowania w fizyce:
1. Masa obszaru D o gęstości powierzchniowej masy σ:
2. Momenty statyczne względem osi OX i OY obszaru D o gęstości masy σ:
3. Współrzędne środka masy obszaru D o gęstości pow. masy σ:
4. Momenty bezwładności względem osi OX, OY i punktu O:
Zamiana na współrzędne biegunowe:
x2 + (y - r)2 = r2
x2 + y2 - 2yr = 0
x2 + y2 = 2yr
x2 + y2 = 2yr ⇒ ρ2 = 2ρrsin
ρ = 0 ∨ ρ = 2rsin
(x - r)2 + y2 = r2
x2 - 2xr + y2 = 0
x2 + y2 = 2xr
x2 + y2 = 2xr ⇒ ρ2 = 2ρrcos
ρ = 0 ∨ ρ = 2rcos
Związek między współrzędnymi walcowymi i kartez.
,
Współrzędne walcowe w całce potrójnej
Związek między współrzędnymi sferycznymi i kartez.
,
Współrzędne sferyczne w całce potrójnej
Zastosowania całek potrójnych
1. Objętość obszaru V
1. Masa obszaru V o gęstości objętościowej masy γ:
2. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru V o gęstości masy γ:
3. Współrzędne środka masy obszaru V o gęstości obj. masy γ:
4. Momenty bezwładności względem osi układu współrzędnych:
5. Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych obszaru V: