Wzór de Moivre'a - z^k=r^k(coskα+isinkα) M_mxn m-wiersze, n-kolumny

Zasadnicze twierdzenie algebry-każdy wielomian o współczynnikach zespolonych W(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+...+a_n (a₀,a_1∈C, a_n≠0) posiada pierwiastki zespolone. Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć

W(z)=a₀(z-z₁)(z-z₂)...(z-z_n)

Podprzestrzeń - podzbiór V₀⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn.

1.jeśli v,w∈V₀⇒v+w∈V₀

2.jeśli v∈V₀, λ∈K⇒λ*v∈V₀

Liniowa niezależność- zbiór wektorów v₁...v_n jest liniowo niezależny (trywialny)⇔ dla dowolnych. λ₁...λ_n∈K jeśli λ₁v₁+...λ_nv_n=0 to λ₁=...=λ_n=0

Tw. Wektory są liniowo zależne ⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

Dowód: ⇒ Zakładam że wektory są liniowo zależne i udowodnię że jeden z tych wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.

Z założenia istnieje kombinacja λ₁v₁+...λ_nv_n=0, gdzie λ≠0
wówczas:
λ₁v₁₌ - λ₂v₂ - ...- λ_nv_n // Dzielę obie strony przez λ₁

v₁= - λ₂v₂/λ₁- ...-λ_nv_n/λ₁

Udowodniłem że v₁ Jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.

⇐ niech v₁=λ₂v₂+...+λ_nv_n wówczas v₁-λ₂v₂-...-λ_nv_n=0 a to jest kombinacja nie trywialna.

Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią.

Dowód: V₁… V_n podprzestrzenie przestrzeni V.
V₀ - część wspólna podprzestrzeni V_i i V_k .
V₀ nie jest pustym zbiorem - wektor 0∈V₀ - warunek konieczny do istnienia podprzestrzeni.
Wybieram dwa dowolne wektory należące do V0 (w₁ i w₂).
Skoro należą do V₀ to należą do V_i i V_k.
Dla dowolnych λ₁, λ₂∈R zachodzi:
1) λ₁w₁ + λ₂w₂∈V_i.
2) λ₁w₁ + λ₂w₂∈V_k. gdyż z założenia V_i i V_k są podprzestrzeniami.
Z 1 i 2 wynika że: λ₁w₁ + λ₂w₂∈V₀
Skoro λ₁w₁ + λ₂w₂∈V₀ to V₀ jest podprzestrzenią.

Tw. Wektory a₁....a_n tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów.

Dowód: ⇒ niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w=α₁a₁+...α_ka_k. jest to jedyny rozkład ,
bo gdyby istniał inny w=β₁a₁+..+.β_ka_k to odejmując stronami uzyskalibyśmy
0=(α₁-β₁)a₁+...+(α_k-β_k)a_k.
A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α₁-β₁=α₂-β₂=...=α_k-β_k a więc α₁=β₁, α₂=β₂,...,α_k=β_k.
⇐ wystarczy pokazać, że wektory a₁....a_n są liniowo niezależne. Niech α₁a₁+...α_ka_k=0 ponieważ także 0*a₁+...+0*a_k=0, więc z jednoznaczności rozkładu α₁=...=α_k=0.

Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym.

Dowód: niech f:V→V^', g:V^'→V^'' będą liniowe. v,w∈V, a,b∈R
Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(af(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).

Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0

Dowód: ⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0,
a więc z różnowartościowości v=0.
a zatem tylko 0∈ker(f)

⇐przypuśćmy że f(v)=f(w).
pokazujemy że v=w.
otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0 .
stąd v-w∈ker(f).
a zatem v-w=0, daje v=w.

Tw. A posiada macierz odwrotną ⇔ detA≠0.
Dowód: Wiemy że AX=I gdy X=A^-1;

det(A)*det(X)=det(I);

det(I)=1

zakładamy że det(A)=0

zatem 0*det(X)=1 to 0=1 co jest sprzeczne i kończy dowód nie wprost.

Tw. Kroneckera-Capelliego

Układ równań liniowych A*X=B ma rozwiązanie⇔ rząd macierzy rozszerzonej jest równy macierzy A. Rz [A:B] = rz A

Dowód: układ jest sprzeczny⇔ w postaci normalnej występuje równanie 0=1,
to oznacza, że w postaci normalnej macierzy A jest mniej niezerowych wierszy niż w postaci rozszerzonej macierzy[A:B] rzA<rz[A:B].

Tw. 11 Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v₁...v_n są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne.

Dowód: (dla n=2)
przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2,
niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ₁,λ₂ i wektory im odpowiadające v₁,v₂. pokażemy, że te wektory są liniowo niezależne. Niech a₁v₁+a₂v₂=0,
wówczas 0= f(a₁v₁+a₂v₂)=a₁λ₁v₁+a₂λ₂v₂ (*)
z drugiej strony 0= λ₂(a₁v₁+a₂v₂)=λ₂a₁v₁+λ₂a₂v₂ (**)

Odejmując stronami uzyskujemy
(*)-(**)= a₁v₁(λ₁-λ₂)=0,
z założenia v₁,v₂ są liniowo niezależne,
a więc a₁(λ₁-λ₂)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne są różne więc

(λ₁-λ₂)≠0 daje to a₁=0 , a także a₂=0.

Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną.

Dowód: Wartości własne z macierzy A to pierwiastki wielomianu det(λI-A). Wielomian ten ma współczynniki rzeczywiste zatem zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry posiada pierwiastek zespolony.

Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy.

Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI),

oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej,
to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P^-1AP.
Z równości det(P^-1AP-λI)=det(P^-1AP-P^-1λP)=
= det(P^-1(A-λI)A) = detP^-1det(A-λI)detP=(detP)^-1det(A-λI)detP= det(A-λI)
wynika niezależność od bazy.

Tw. Wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy.

Dowód: Niech A będzie macierzą endomorfizmu f w bazie B.
Wtedy wielomian charakterystyczny ma postać: W(λ)=det(λI-A).
Teraz Niech A' będzie macierzą endomorfizmu f w bazie B'.
Wielomian charakterystyczny ma postać: V(λ)=det(λI-A')
Jeżeli P to macierz przejścia z bazy B do B', to zachodzi związek
A'=P^-1AP, po uwzględnieniu którego otrzymujemy:
V(λ) = det (λI- P^-1AP) = det (λP^-1IP- P^-1AP) = det P^-1 (λI- A) P = det P^-1 det (λI- A) det P = det (λI-A).

Tw. Każde dwie bazy tej samej przestrzeni mają tę sama ilość elementów,

Def. Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy ilość elementów (dowolnej) bazy tej przestrzeni. Oznaczamy dimV. Ex: dimRⁿ=n, wymiar przestrzeni wielomianów stopnia ≤n jest n+1.

Tw. Dwie przestrzenie v, w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dim v = dim w.

Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest
izomorficzna z przestrzenią liniową Kⁿ.

Def. Rzędem odwzorowania liniowego f: v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)

Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV

Def. Dana jest macierz [a_ij]n_xn. dopełnieniem algebraicznym elementu a_kl (względem tej macierzy) nazywamy wyznacznik macierzy powstałej poprzez wykreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny, pomnożone przez (-1)^k+l

Def. Każde odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru X w siebie nazywamy permutacją.

Tw.( rozwinięcie Laplace'a)

Dla macierzy A=[a_ij]n_xn i ustalonych liczb 1≤k, l≤n zachodzą wzory

DetA= a_k1A_k1+a_k2A_K2+...+a_knA_kn - rozwinięcie względem k-tego wiersza

DetA=a_l1A_l1+a_2lA_2l+...+a_nlA_NL- rozwinięcie względem l-tej kolumny.

Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.

Tw. Kryterium Sylwestera

Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)^kd_k>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)^kd_k≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)ⁱd_i>0,(-1)^jd_j<0 dla pewnych i,j=1..k.

Tw. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta

Niech B=(b₁,..b_k) będzie dowolną bazą przestrzeni euklidesowej, tworzy się bazę C=(c₁^...c_k) w następujący sposób: c₁=b₁. wektor c₂ poszukuje się w postaci c₂=b₂+αc₁ i żąda się , by c₂ było prostopadłe do c₁, czyli <c₂,c₁>= b₂+<αc₁,c₁>=<b₂,c₁>+α< c₁,c₁>=0, stąd wyliczamy α, a następnie c₂. Wektora c₃ poszukujemy w postaci c₃=b₃+β₁c₁+β₂c₂ i żąda się, by c₃ było prostopadłe do c₁ oraz c₃ było prostopadłe do c₂ i postępujemy jak wyżej. Zapoczątkowany proces ortogonalizacji kontynuujemy aż do uzyskania wektora c_k.

ZADANIA:
ZAD 1) Odwzorowanie liniowe f : R2→R2 dane jet w bazie (1, -2), (3, -1) poprzez macierz A={ 1 2 / 3 4 }. Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
ROZWIĄZANIE: e₁=(1,-2), e₂=(3, -1), A={ 1 2 / 3 4 }.
(1,0)=a(1,-2)+b(3,-1) (0,1)=c(1,-2)+d(3,-1)
P={a c / b d}={-0,2 -0,6 / 0,4 0,2}
A'=P^-1AP

ZAD 2) Podać rzut ortogonalny wektora (-3, 3, -3) na podprzestrzeni V⊂R3 generowaną przez wektory (1, 3, 1), (2, 4, 1).
ROZWIĄZANIE: u=(-3,3,-3); v₁=(1, 3, 1), v₂=(2, 4, 1), u₀=av₁+bv₂; u₀=(a+2b, 3a+4b, a+b). 2 WARUNKI:
1) <u-u₀, v₁> = 0 2) <u-u₀, v₂> = 0 Otrzymujemy dwa równania i liczymy a i b. u₀=podstawiamy a i b

ZAD 3) A¹⁵=? A= {-2 2 / 2 1}. Liczymy wartości własne z A. λ₁=-3 λ₂=2
P=macierz złożona z wektorów PIONOWO.
WZÓR: A_n=P*{ λ₁ 0 / 0 λ₂ }ⁿ *P^-1

ZAD 4) Zortogonalizować i następnie unormować wektory: (0, 1, 0, 0), (1, 1, -1, 0), (2, 3, 4, 1). (oznaczamy kolejno wektory jako, w₀, v₁ i v₂)
ORTOGONALIZACJA: 1) w₁=v₁ + λ₁ w₀; zał:w_1┴w₀; <w₁,w₀>=0 z tego wyliczamy λ₁ i podstawiamy po w_1.
2a) w₂=v₂ + λ₂ w₀+ λ₃ w₁; zał:w_2┴w₀ i w_2┴w₁

2b) układ równań <w₂,w₀>=0; <w₂,w₁>=0 z tego otrzymujemy λ₃ i λ₂

Otrzymujemy zortogonalizowane: w₁ w₂ oraz z danych w₀

UNORMOWANIE: ||w₀||=pier(x2+y2+…+n2);
wektor unormowany to z₀= w₀ / ||w₀||

---