1. Równość która pojawiła się na ćwiczeniach:
φ
=
⇒
⊂
B
A
B
A
\
Dowód nie wprost: zakładamy,
ż
e ró
ż
nica A\B NIE jest zbiorem pustym. Wtedy
B
x
A
x
x
B
A
x
B
A
∉
∧
∈
∃
⇔
∈
∃
⇔
≠
:
\
\
φ
Ale z definicji inkluzji zbiorów mamy
B
x
A
x
B
x
A
x
B
A
∈
∧
∈
⇔
∈
⇒
∈
⇔
⊂
)
(
co daje nam sprzeczno
ść
B
x
B
x
∉
∧
∈
a to ko
ń
czy dowód nie wprost.
2. I prawo de Morgana dla zbiorów:
Niech T b
ę
dzie zbiorem indeksów a X przestrzeni
ą
. Wtedy
'
)'
(
U
I
T
t
t
T
t
t
A
A
∈
∈
=
Udowodnimy to prawo pokazując, że
)
)'
(
'
(
)
'
)'
((
I
U
U
I
T
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
A
A
A
A
∈
∈
∈
∈
⊂
∧
⊂
co wynika z definicji równości zbiorów:
)
(
)
(
A
B
B
A
B
A
⊂
∧
⊂
⇔
=
Pokażemy, że jeśli x należy do lewej strony równości to musi należeć też do prawej:
U
I
I
I
T
t
t
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
A
x
A
x
X
x
A
x
T
t
X
x
A
x
X
x
A
X
x
A
x
∈
∈
∈
∈
∈
⇔
∈
∧
∈
⇔
∉
∈
∃
∧
∈
⇔
⇔
∉
∧
∈
⇔
∈
⇔
∈
'
'
:
)
(
\
)'
(
0
0
0
3. II prawo de Morgana:
Przyjmujemy T, X, jak w poprzednim przykładzie. Wtedy
'
)'
(
I
U
T
t
t
T
t
t
A
A
∈
∈
=
Dowód przeprowadzamy jak poprzednio:
'
'
\
)'
(
I
U
U
U
T
t
t
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
A
x
T
t
A
x
X
x
T
t
A
x
X
x
A
x
X
x
A
X
x
A
x
∈
∈
∈
∈
∈
⇔
∈
∀
∈
∧
∈
⇔
⇔
∈
∀
∉
∧
∈
⇔
∉
∧
∈
⇔
∈
⇔
∈
Jacek Podlewski