Linia geodezyjna
Weźmy pod uwagę krzywą L1 położoną na danej powierzchni. Obierzmy na tej krzywej punkt A i bliski punkt B. Graniczne położenie siecznej, gdy B dąży do A nazywamy styczną do krzywej w punkcie A.
W punkcie A możemy poprowadzić nieskończenie wiele prostych prostopadłych do stycznej. Proste te nazywamy normalnymi do krzywej L1. Normalne tworzą płaszczyznę normalnych do krzywej w punkcie A.
Przez trzy punkty A, B, C położone blisko siebie na krzywej L1 poprowadźmy płaszczyznę. Zmiana położenia punktu A, B, C powodować będzie zmianę położenia płaszczyzny w przestrzeni. Graniczne położenie tej płaszczyzny, gdy B i C dążą do A nazywamy płaszczyzną ściśle styczną do krzywej w punkcie A.
Wśród nieskończenie wielu normalnych do krzywej, normalna leżące w płaszczyźnie ściśle stycznej nazywa się normalną główną - linia przecięcia się płaszczyzny ściśle stycznej z płaszczyzną normalną.
Normalna prostopadła do stycznej i normalnej głównej nazywa się binormalną.
Płaszczyzna wyznaczona przez styczną i binormalną nazywa się płaszczyzną prostującą danej krzywej L1 w punkcie A.
Wersowy stycznej, normalnej głównej i binormalnej wyznaczone w punkcie A tworzą tzw. trójścian Freneta.
Przez dany punkt A na powierzchni możemy poprowadzić nieskończenie wiele krzywych, styczne do tych krzywych utworzą płaszczyznę styczną do powierzchni.
Prosta prostopadła do płaszczyzny stycznej w punkcie A nazywa się normalną do powierzchni w tym punkcie.
Jeżeli na danej powierzchni wyznaczymy krzywą, taką że w każdym jej punkcie normalna główna tej krzywej jest jednocześnie normalną do powierzchni w tym punkcie to taką krzywą nazywamy linią geodezyjną lub ortodromą.
Krzywizna geodezyjna tej linii w każdym jej punkcie jest równa zero.
Przebieg linii geodezyjnej na danej powierzchni określa równanie Clairauta rsinA = const.
Redukcja odwzorowawcza
Rozwiązując zadania na różnych powierzchniach (płaszczyźnie, kuli, elipsoidzie) posługujemy się figurami geodezyjnymi, tzn. figurami, których bokami są odcinki linii geodezyjnych. Dla takich tylko figur została opracowana geometria geodezyjna.
W odwzorowaniach kartograficznych, obrazem wieloboku geodezyjnego na ogół nie będzie figura geodezyjna lecz wielobok krzywoliniowy, którego boki będą odcinkami pewnych krzywych nie będących liniami geodezyjnymi.
Odwzorowania, w których obrazami linii geodezyjnych są linie geodezyjne, nazywamy odwzorowaniami geodezyjnymi.
Każdej figurze geodezyjnej zdefiniowanej po powierzchni oryginału, możemy natomiast przyporządkować na powierzchni obrazu figurę geodezyjną zwaną jej odpowiednikiem redukcyjnym. Odpowiednik redukcyjny jest zbudowany z odcinków linii geodezyjnych właściwych powierzchni obrazu, łączących odpowiedniki obrazowe wierzchołków figury oryginału.
Różnice lub ilorazy zachodzące pomiędzy odpowiadającymi sobie parametrami metrycznymi figury geodezyjnej zlokalizowanej na powierzchni oryginału i odpowiednika redukcyjnego tej figury na powierzchni obrazu, nazywamy redukcjami odwzorowawczymi geodezyjnymi.
Redukcje odwzorowawcze geodezyjne dotyczą długości boków, kątów wewnętrznych lub azymutów boków, a także pól figur geodezyjnych.