Pojęcie powierzchni regularnej

Powierzchnia opisana równaniem wektorowym
jest powierzchnią regularną wówczas gdy dla każdego punktu tej powierzchni spełniona jest nierówność
oraz wektory pochodnych cząstkowych
są klasy C¹.

Regularność powierzchni kuli.

W przypadku sfery opisanej równaniem
otrzymujemy następującą nierówność:

Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale otwartym
oraz

W przypadku elipsoidy opisanej równaniem

otrzymujemy następującą nierówność:

Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale otwartym
oraz

Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię

Mamy dane dwie powierzchnie regularne o następujących równaniach wektorowych:

Powierzchnia I:

Powierzchnia II:

gdzie X, Y, Z - wsp. prostokątne na powierzchni I,

x, y, z - wsp. prostokątne na powierzchni II,

U, V - parametry na powierzchni I,

u, v - parametry na powierzchni II.

Wprowadzimy również zależność funkcyjną pomiędzy parametrami u, v powierzchni II i parametrami U, V powierzchni I o następującej postaci:

Funkcje te przyporządkowują punktom jednej powierzchni punkty drugiej powierzchni. Takie przyporządkowanie nazywa się odwzorowaniem powierzchni w powierzchnię, a funkcje powyższe funkcjami odwzorowawczymi. Powierzchnię I nazywa się powierzchnią oryginału, a powierzchnię II powierzchnią obrazu w odwzorowaniu.

Odwzorowanie regularne

Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu regularnym są:

- jedno-jednoznaczne to znaczy, że każdej parze wartości U,V odpowiada jedna i tylko jedna para wartości u,v,

- ciągłe i dwukrotnie różniczkowalne,

- wzajemnie niezależne, oznacza to, że Jakobian
jest różny od zera dla wszystkich par wartości U,V.

Równoważny warunek ma postać

Odwzorowanie kartograficzne jest odwzorowaniem regularnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej lub kuli w płaszczyznę.

Odwzorowanie kartograficzne powierzchni kuli w płaszczyznę

Równanie powierzchni kuli:

,

Równanie obrazu powierzchni kuli w płaszczyźnie:

Warunek regularności odwzorowania:

;

Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej:

Równanie obrazu powierzchni elipsoidy w płaszczyźnie:

Warunek regularności odwzorowania:

;