(wielomian interpolacyjny funkcji sklejanej)
kwadratury

TWIERDZENIE

Kwadratury N-C oparte na n+ 1 węzłach są rzędu:

dla n parzystych

dla n nieparzystych

(Sprawdzenie z przykładu 3 - poprzedni wykład)

nieparzyste

- dla wielomianu stopnia 2 z resztą
gdyż zależą od

Przykład 4

węzły:
,
,

(7)

Wzór paraboliczny, wzór Simpsona

Kwadratura N-C dla

Reszta:
;

Zbieżność ciągu kwadratur

ciąg kwadratur

(8)

numer ciągu

przybliżających całkę

Załóżmy, że dane są skończone macierze trójkątne węzłów
i współczynników

... ...

definiujące ciąg kwadratur

TWIERDZENIE

Ciąg kwadratur (8) jest rozbieżny dla dowolnych funkcji ciągłych na
czyli:

wtedy i tylko wtedy gdy:

1. ciąg (8) jest zbieżny dla dowolnego wielomianu

oraz

2. istnieje taka stała K, że dla n, (
   ) zachodzi nierówność:

Istnieją funkcje, dla których ciąg kwadratur N-C nie jest zbieżny.

Akumulacja błędów.

Nie stosuje się kwadratur wyższych rzędów.

Złożone kwadratury Newtona-Cotesa

Przedział dzielimy na N części:

w każdym z nich kwadratura N-C niskiego rzędu.

Przykład 5 - złożona kwadratura

W każdym podprzedziale
stosujemy wzór trapezów (kwadratura N-C 2 rzędu z przykładu 1)

-->
[Author:JDz] - złożony wzór trapezów

jeśli
dla
to

dla

Przykład 6 (złożona kwadratura Simpsona)

Założenie:

nieparzyste

błąd

Ogólnie złożone kwadratury N-C są postaci:

;

TWIERDZENIE

Dla dowolnego n ciąg złożonych kwadratur N-C
jest przy
(czyli
) zbieżny dla wszystkich funkcji
.

Praktycznie

Szukam przybliżenia
mając żądaną dokładność:

oszacowanie reszty często trudne lub niemożliwe. Jak wyznaczyć N?

Obliczyć kolejne kwadratury
,
, ...,

Ilość przedziałów

Zwykle
, potem każdy przedział dzielimy na m części, m dobieramy tak, aby w następnej kwadraturze korzystać z poprzednio obliczonych wartości f

np. dla złożonej kwadratury trapezów należy przyjąć m = 2, gdyż (z przykładu 5) dla

gdzie

Obliczenia kontynuujemy aż:

Skąd się wzięło to przejście?