INTERPOLACJA FUNKCJAMI SKLEJANYMI:
- ilość węzłów
- N - ty węzeł
s - układ punktów 
dzielących przedział 
na N - części
W każdym 
przybliżamy f wielomianem ustalonego (niskiego) stopnia, tak aby funkcja przybliżająca była ciągła wraz z pochodnymi na odcinku 
.
DEFINICJA
Funkcję rzeczywistą s nazywamy sklejaną (spline) stopnia m z węzłami
jeśli:
w każdym przedziale 
dla 
s jest wielomianem stopnia nie wyższego niż m
s i jej pochodne rzędu 
są ciągłe na całej osi rzeczywistej; 
dla m = 1 - łamana
wielomiany są szczególnym przypadkiem funkcji sklejanych
Wyznaczanie funkcji sklejanych:
Na każdym 
; 
jest wielomianem stopnia co najwyżej m
; 
Mamy 
dowolnych stałych 
Żądanie ciągłości pochodnych 
w każdym węźle wewnętrznym 
; 
daje 
warunków.
Czyli 
zależy od parametrów 
wartości funkcji
(NIE JEDNOZNACZNE !!!)
DEFINICJA
Funkcją sklejaną stopnia 
nazywamy naturalną, jeśli w przedziałach 
dana jest wielomianem stopnia 
.
TWIERDZENIE:
Jeżeli węzły 
są różne dla 
oraz 
, to dla dowolnych wartości 
istnieje dokładnie jedna naturalna funkcja sklejana 
interpolująca punkty 
, tzn. 
.
Funkcja sklejana okresowa - jednoznaczność interpolacji:
DEFINICJA
Funkcją sklejaną s stopnia m nazywamy okresową o okresie 
jeśli 
dla 
.
Klasę funkcji sklejanych stopnia m z węzłami 
oznaczamy 
okresowych 
naturalnych stopnia 
.
Wykazano: (TWIERDZENIE)
Interpolacyjna naturalna funkcja sklejana jest „najgładszą” funkcją interpolującą punktu 
Gładkość:
osiąga minimum w klasie funkcji g interpolujących punktu 
i takich, że 
, a 
jest przedziałami ciągła.
przykład:
Wyznacz naturalną funkcję interpolującą, sklejaną stopnia 3 tzn.
w węzłach s 
...............................
W każdym z podprzedziałów:
(1)
gdzie: 
dla 
; 
współczynnik 
:
bo dla 
, 
trzeba jeszcze wyznaczyć 
współczynników
Korzystamy z warunków, że:
mają być ciągłe w węzłach 
dla 
otrzymujemy stąd 
równań
brakujące warunki otrzymamy z założenia, że s jest funkcją naturalną
Z ciągłości 
w węzłach 
mamy równość:
gdzie 
, 
koniec poprzedniego przedziału
w następnym punkcie 
gdzie 
zaś 
, a więc:
(3) 
Z ciągłości funkcji s w punkcie 
i warunku interpolacyjnego 
dostajemy dla 
:
(4)
(5)
Z ciągłości 
w węzłach 
otrzymujemy:
(6)
Podstawiając w miejsce 
oraz 
zależność (5) oraz (3) po przekształceniu otrzymujemy:
Jeśli szukana funkcja jest funkcją naturalną, to:
