Dariusz Szufłat

Tadeusz Kominek

Mariusz Fornal

Numer grupy : 304

Ochrona środowiska

Ćw nr. 13

Temat :

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego.

1. Wstęp teoretyczny

Wahadłem rewersyjnym nazywamy bryłę sztywną , która zawieszona kolejno na dwóch osiach równoległych leżących po przeciwnych stronach jej środka ciężkości w nierównych od niego odległościach ma taki sam okres drgań :

( 1 )

gdzie :

I - moment bezwładności wahadła względem zawieszenia 0

m- masa wahadła

d - odległość środka ciężkości S wahadła od osi obrotu

Zgodnie z twierdzeniem Steinera : I = I_O + md ² ( 2 )

gdzie:

I₀ jest momentem bezwładności wahadła względem osi równoległej do osi
0 , lecz przechodzącej przez środek ciężkości wahadła

Zatem : ( 3 )

- oś obrotu bryły sztywnej

Istnieje inna oś obrotu P leżąca na linii OS po przeciwnej stronie środka ciężkości o własności takiej , że okres drgań wahadła wokół tej osi jest taki sam jak dla osi 0

( 4 )

Z porównania równań (3) i (4) wynika , że równość okresów będzie zachodzić , gdy :

( I_O + mr² ) = ( I_O + md² ) mgr ( 5 )

I_O ( d - r ) = mdr ( d - r ) ( 6 )

I_O = mdr ( 7 )

( 8 )

gdzie r - odległość od osi P do środka ciężkości wahadła .

Okres drgań wahadła można przedstawić w inny sposób , korzystając z równania ( 7 ) , gdzie moment bezwładności wahadła wyrażony jest odległością r .

Podstawiając równanie ( 7 ) do równań ( 3 ) i ( 4 ) otrzymujemy :

( 9 )

gdzie: l jest odległością między osiami O i P , dla których okres drgań wahadła jest taki sam .

Długość tą nazywamy długością zredukowaną wahadła .

Jak widać wzór ( 9 ) jest wzorem na okres drgań wahadła matematycznego o długości
l. Jeżeli więc dla danego wahadła fizycznego zostanie wyznaczona odległość między osiami zawieszenia o tym samym okresie drgań oraz zmierzona zostanie wartość tego okresu , możliwe jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego poprzez przekształcenie równania ( 9 ):

2. Przebieg ćwiczenia

W celu wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego posługujemy się wahadłem rewersyjnym, które miało postać stalowej sztaby na której znajduje się obciążnik M w kształcie dysku (rys.2). Istniała możliwość przesuwu obciążnika M i odczytu jego położenia na skali naniesionej na sztabę. Dwa pryzmaty przymocowane prostopadle do sztaby pełnią role osi zawieszenia O i P. Odległość osi jest zatem w doświadczeniu ustalona. Przesuwanie obciążnika wzdłuż sztaby powoduje zmianę położenia środka ciężkości wahadła względem osi.

W tabeli nr 1 znajdują się wyniki serii 10 niezależnych pomiarów czasu trwania t_n dziesięciu okresów drgań (n=10) bez zmian położenia masy M. Ponadto w tabeli znajduje się obliczona wartość średnia t_s i średni błąd kwadratowy S_t pojedynczego pomiaru.

Następnie został przesuwany obciążnik M po oznaczonych kreskach i dokonywany był pomiar dziesięciu okresów drgań t’, począwszy od pierwszej kreski znajdującej się od strony osi O. Odległość pomiędzy kolejnymi kreskami wynosi 5 cm. W dalszym etapie ćwiczenia zawieszone zostało wahadło na osi P i powtórzone pomiary jak w powyższym przypadku mierząc czasy t’’.

Wyniki ostatnich pomiarów (tj. k_n,t’,t’’) zamieszczone są w tabeli nr 2.

Wykonany został wykres zależności t’(k_n) i t’’(k_n) w tym samym układzie współrzędnych.

K

Schemat wahadła

rewersyjnego :

rzywe znajdujące się na wykresie są parabolami o różnej rozwartości ramion, przecinającymi się w dwóch punktach. Punkty te odpowiadają takim położeniom masy M dla których okresy drgań względem obu osi zawieszeń są jednakowe, czyli dla których wahadło staje się wahadłem rewersyjnym.

Na podstawie wykresu odczytane zostały wartości czasów t₁ i t₂ dla punktów przecięcia się wykresów i obliczona wartość średnia t_o = (t₁ + t₂) / 2.

Z poniższych równań obliczone zostało przyspieszenie ziemskie oraz błąd bezwzględny .

g = 4 ² n² l / t_o² n = 10

g = g  l / l +  t / t

l = 0,05 m ; l = 1 m

Błąd wyznaczenia czasu t_o oszacowany został na podstawie porównania średniego błędu kwadratowego pojedynczego pomiaru S_t wyznaczonego w pierwszej części ćwiczenia, z wartością wyrażenia t_o = t₁ - t₂ / 2

3. Wyniki pomiarów i obliczenia

­­TABELA 1 .

t 1	t 2	t 3	t4	t 5	t 6	t 7	t 8	t 9	t 10	t	S^’t	t,m	St
17.53	17.57	17.55	17.52	17.49	17.49	17.57	17.59	17.50	17.53	17.53	0.092	1,1	0.1

Czasy t₁ – t₁₀, t i S_t podano w sekundach .

TABELA 2 .

Kn(cm)	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
t ’ ( s )	20.06	19.03	18.27	17.91	17.46	17.27	17.24	17.25	17.39	17.54
t ’’ ( s )	20.14	19.93	19.73	19.47	19.31	19.17	19.03	18.89	18.74	18.69

Kn(cm)	55	60	65	70	75	80	85	90
t ’ ( s )	17.76	18.03	18.23	18.53	18.81	19.19	19.44	19.81
t ’’ ( s )	18.69	18.68	18.78	18.83	18.93	19.23	19.54	19.81

Parametry wahadła przyjęte w obliczeniach :

l = 1 m , l = 0,01 m.

Średni okres ruchu wahadła z 10-ciu prób :

t = t₁+...+t₁₀/2 = 17.53

Średni błąd kwadratowy średniej pomiaru okresu wahadła obliczamy:

0.092 S_t = S^’_t t_α,n = 0.092 ^. 1.1 = 0.1

Czasy t₀’ i t₀’’ wynoszą :

t₀’ = 20.15 s , t₀ ‘’ 19.81 = s .

Czas t₀ wynosi:

t₀ = ( t^’₀ + t^’’₀ ) / 2 = ( 20.15 + 19.81 ) / 2 = 19.98

Wartość przyspieszenia ziemskiego obliczono według następującego wzoru :

[m/s²]

n=10

g = 4 ^. 3,14^{2 .} 100 ^. 1 / 19.98 ² =

=3943.84 / 399 .2 = 9.88

Błąd dokonanych pomiarów obliczono na podstawie następujących wzorów :

Δt₀ = [ S_t² + (Δt^’₀)² ]½ = [ 0.01 + 0.029 ]½ = 0.19 s

Gdzie : Δt^’₀ = | t^’₀ - t^’’₀ | /2 = | 20.15 – 19.81 | / 2 = 0.17 s

g { |0.01/1| + 2 ^. |0.19 / 19.98| } = 9.88 ^. ( 0.01 + 0.0095 ) = 0.19 m/s²

t0’= 20.15 [s]	t0’’= 19.81 [s]	t0= 19.98 [s]	Δt0’= 0.17 [s]	Δt0= 0.19 [s]
T0= [s]	l= 1 [m]	Δl=0,01 [m]	g = 9.88 [m/s^2]	Δg= 0.19 [m/s^2]

Ostateczny wynik pomiaru :

g = ( 9.88 ± 0.19 ) [m/s²]

4. Wnioski

- metoda ta jest prosta do wykonania i w łatwy sposób można z niej wyliczyć przyspieszenie ziemskie;

- błąd w obliczeniach jest stosunkowo niewielki z uwagi na fakt użycia prostych i mało dokładnych metod pomiaru.