1.Dana jest funkcja .

1. Znajdź taką wartość , dla której funkcja osiąga minimum w punkcie .

2. Dla wyznaczonego podaj przedziały monotoniczności funkcji .

1. Liczymy pochodną danej funkcji

Jeżeli funkcja ma mieć minimum w punkcie , to punkt ten musi być miejscem zerowym pochodnej, czyli

Aby sprawdzić czy w punkcie jest rzeczywiście minimum, znajdźmy drugi pierwiastek. Można to zrobić z -y, ale prościej ze wzorów Viète’a: iloczyn pierwiastków to , zatem drugi pierwiastek to . W takim razie, 5 jest większym z pierwiastków i pochodna przechodząc przez ten punkt zmienia znak z ’-’ na ’+’, czyli rzeczywiście jest minimum.  
Odpowiedź:

1. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że pochodna jest dodatnia na przedziałach i oraz ujemna na . Mamy zatem

2. Wyznacz ekstrema funkcji .

Liczymy pochodną funkcji.

Widać teraz, że znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia , czyli pochodna jest ujemna w zbiorze oraz dodatnia w przedziale . To oznacza, że funkcja jest malejąca w pierwszym z tych zbiorów i rosnąca w drugim. To z kolei oznacza, że w punkcie jest minimum lokalne, a w punkcie maksimum lokalne.

Policzmy jeszcze wartości funkcji w tych punktach.

3. Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji w przedziale .

Liczymy pochodną

Widać zatem, że na przedziałach i funkcja maleje (pochodna jest ujemna), a na przedziale rośnie (pochodna dodatnia). Zatem w jest minimum lokalne, a w maksimum lokalne. Możemy sobie schematycznie naszkicować wykres funkcji .

Wartość największa będzie przyjęta w maksimum lokalnym lub w lewym końcu przedziału (bo przy prawym funkcja maleje). Sprawdzamy

Zatem .

Wartość najmniejsza będzie przyjęta w minimum lokalnym lub w prawym końcu przedziału (bo przy lewym funkcja maleje). Sprawdzamy

Zatem .  
Odpowiedź: oraz

Liczenie pochodnej

1. Oblicz pochodną funkcji .

Korzystamy ze wzoru na pochodną złożenia oraz ze wzoru

Liczymy

 

2. Oblicz pochodną funkcji .

Korzystamy ze wzoru na pochodną złożenia.

Zatem

 
Odpowiedź:

STYCZNE

1. Napisz równanie stycznej do krzywej wiedząc, że jest ona równoległa do prostej .

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu ma wpółczynnik kierunkowy -3. To pytanie to dokładnie pytanie, w jakim punkcie pochodna przyjmuje wartość -3. Liczymy

Stąd lub . Odpowiadające punkty na wykresie to i . Szukamy zatem dwóch prostych w postaci , które przechodzą przez wyliczone punkty.

 
Odpowiedź: i

2. Napisz równanie stycznych do wykresu funkcji i równoległych do prostej o równaniu .

Sposób I

Musimy znaleźć punkty na hiperboli, w których styczna ma wpółczynnik kierunkowy 2. Idealnym do tego narzędziem jest pochodna. Pochodna w punkcie to dokładnie wpółczynnik kierunkowy stycznej w tym punkcie. Liczymy pochodną

Sprawdzamy kiedy pochodna równa się 2.

Ponieważ i , to szukane styczne to proste postaci przechodzące przez te punkty. Bez trudu wyliczamy, że lub .

Sposób II

Ponieważ

to wykres funkcji jest hiperbolą przesuniętą o wektor . W szczególności prosta postaci jest styczna do hiperboli tylko wtedy gdy ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny (bo nie jest równoległa do asymptot! - to jest ważne). Liczymy

Musimy sprawdzić, kiedy to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli kiedy . Liczymy

Zatem lub .

Na koniec, dla ciekawskich, wykres całej sytuacji.

 
Odpowiedź: i