Prof. dr hab. Jerzy Ginter
dla Studium Podyplomowego
Fizyki z Astronomią na Wydziale Fizyki
Uniwersytetu Warszawskiego
Wykład pt.: „Funkcje i ich
pochodne”
Opracował mgr Mirosław Maciejczyk
Prof. dr hab. Jerzy Ginter
dla Studium Podyplomowego
Fizyki z Astronomią na Wydziale Fizyki
Uniwersytetu Warszawskiego
Wykład pt.: „Funkcje i ich
pochodne”
Opracował mgr Mirosław Maciejczyk
2
x
Pojęcie pochodnej
Gdy ciało porusza się po linii prostej, współrzędna
jego
położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t.
Przypuśćmy, że w pewnym przedziale czasu t
położenie zmieniło się o x. Powiemy, że w
przedziale czasu
t ciało miało prędkość średnią:
t
x
v
sr
X
3
Pojęcie pochodnej
Jednak w czasie t ciało mogło zwalniać i
przyspieszać. Można zatem zadać pytanie: jaka była
prędkość chwilowa
na początku omawianego
przedziału czasu?
Aby uzyskać odpowiedź na tak postawione pytanie,
należałoby zmierzyć zmianę położenia ciała w
krótszym przedziale czasu.
x
Interesuje nas więc granica
t
x
v
t
lim
0
zwana
pochodną położenia x względem
czasu t.
x
x
x
4
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
lim
lim
Definicja pochodnej
Przypuśćmy, że określona jest funkcja y(x), która
przyporządkowuje wielkości x (
zmiennej niezależnej
)
pewną inną wielkość y (
zmienną zależną
).
Pochodną funkcji y(x) w punkcie x
o
nazywamy
granicę
„ilorazu różnicowego”:
X
Y
5
Interpretacja geometryczna
x
y
y
x
x
x+
x
y(x)
y(x+x)
Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia
stycznej do osi OX.
Wartość ilorazu różnicowego
y/x jest tangensem kąta,
określającego
nachylenie
siecznej
, czyli linii, która
przecina krzywą w punktach
(x, y(x)) i (x+x, y(x+x)).
Kiedy x0, sieczna dąży
do stycznej do krzywej
w punkcie (x,y(x)).
6
0
0,5
1
1,5
2
0
0,5
1
1,5
2
x
0
x
1
x
2
x
3
Funkcje potęgowe
Funkcje potęgowe mają postać y(x) = x
n
.
7
Pochodne funkcji potęgowych
Funkcja stała y(x) = c
Licznik ilorazu
różnicowego jest równy:
y = y(x+ x) - y(x) = c-c
= 0
Pochodna funkcji stałej
jest równa zero.
y
x
Funkcja liniowa
y(x)=a·x
y
x
Iloraz różnicowy wynosi:
a
x
x
a
x
x
y
x
x
y
x
y
)
(
)
(
Pochodna funkcji liniowej
jest stała i wynosi a.
8
Funkcja kwadratowa y=a·x
2
Pochodne funkcji potęgowych
Iloraz różnicowy wynosi:
Pochodna jest granicą tego
ilorazu dla x0 i wynosi
y’(x)=2ax
Kąt nachylenia stycznej do
wykresu funkcji rośnie wraz ze
wzrostem x.
x
x
y
x
x
y
x
y
)
(
)
(
x
a
ax
x
x
a
x
x
a
2
)
(
)
(
2
2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
y(x)=x
2
9
Pochodne funkcji potęgowych
Funkcja trzeciego stopnia y(x) = a·x
3
Pochodna , czyli granica tego ilorazu dla x
dążącego do zera, wynosi
y’(x)=3ax
2
x
ax
x
x
a
x
x
y
x
x
y
x
y
3
3
)
(
)
(
)
(
Iloraz różnicowy jest równy:
x
x
a
x
ax
x
ax
3
2
2
3
3
2
2
3
3
x
a
x
ax
ax
x
y
y(x)=x
3
y’(x)=x
2
10
Pochodne funkcji potęgowych
Funkcja stopnia -1
y(x) = x
-1
Iloraz różnicowy wynosi:
Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x dążącego
do zera i wynosi
y’(x) = (-1)·x
-2
Funkcja jest malejąca, więc jej pochodna jest ujemna.
x
x
y
x
x
y
x
y
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y(x)=1/x
y’(x)=-1/x
2
12
Iloraz różnicowy wynosi:
Pochodna funkcji sinus
Funkcja y(x) = sin(x)
Czyli
sin’(x) = cos(x)
x
x
x
x
x
y
)
sin(
)
sin(
x
x
x
x
)
2
sin(
)
2
cos(
2
)
2
cos(
2
)
2
cos(
2
x
x
x
x
x
x
y
x
2
0
y(x)=sin(x)
y
x
2
1
0
y’(x)=cos(x)
13
Pochodna funkcji cosinus
Funkcja y(x) = cos(x)
Iloraz różnicowy wynosi:
x
x
x
x
x
y
)
cos(
)
cos(
Pochodną funkcji cosinus
jest -sinus
x
x
x
x
)
2
sin(
)
2
sin(
2
)
2
sin(
2
)
2
sin(
2
x
x
x
x
x
x
y(x)=cos(x)
x
y
2
0
y’(x)=-sin(x)
y
x
2
0
14
Funkcja y(x) = a
x
Licznik ilorazu różnicowego:
x
x
x
a
a
x
y
x
x
y
y
)
(
)
(
)
1
(
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
4
x
e
x
2
x
1
x
Iloraz różnicowy ma postać:
x
a
a
x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
1
)
(
)
(
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
x
y
Pochodna a
x
jest więc do samej
funkcji proporcjonalna.
,
)
(
x
a
a
C
x
y
Można więc napisać:
x
a
a
C
x
1
)
(
gdzie
Ułamek od x nie zależy, nie
zależy więc od x i jego granica
dla x0.
15
Wprowadzenie liczby e
Nasuwa się więc pytanie: czy można tak
dobrać a, aby granica ułamka była
równa jedności. Dla takiego a pochodna
byłaby po prostu równa samej funkcji (a
nie tylko proporcjonalna do niej).
1
)
(
e
a
C
...
71828
,
2
e
x
a
a
C
x
1
)
(
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
x = 0,001
a
C(a)
e
16
Po obliczeniu granicy ułamka
dla x0 otrzymamy wzór
pochodnej:
1
x
y
2
x
4
x
e
x
1
x
y
2
x
ln2
e
x
4
x
ln4
Funkcja y(x) = a
x
(a
x
)’= a
x
lna
)
(
lim
0
a
C
a
dx
dy
x
x
x
a
a
C
x
1
)
(
gdzie
,
)
(
x
a
a
C
x
y
17
Pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalna
do samej funkcji.
x
y
1
2
x
2
x
ln2
-1
-0,5
0
0,5
1
4
x
4
x
ln4
-1
-0,5
0
0,5
1
e
x
-1
-0,5
0
0,5
1
18
Pochodna funkcji y(x)=a·f(x)
Pochodna funkcji
pomnożonej przez stałą
y(x) = af(x)
Iloraz różnicowy ma
postać:
Jeśli obliczymy granicę tego
ilorazu, otrzymamy wzór:
y’(x) = a f’ (x)
x
x
y
x
x
y
x
y
)
(
)
(
x
x
f
a
x
x
f
a
)
(
)
(
x
x
f
x
x
f
a
)]
(
)
(
[(
2
1
x
y
2sin(x)
2
0
2
1
x
y
2cos(x)
2
0
19
Pochodna sumy funkcji
Licznik ilorazu różnicowego jest równy:
Pochodna sumy funkcji jest równa sumie ich
pochodnych:
y’(x) = f’(x) + g’(x)
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
Δx
Δy
Cały iloraz różnicowy ma więc postać sumy
dwóch
ilorazów różnicowych:
Pochodna sumy funkcji y(x) = f(x)
+
g(x)
y = y (x+
x) - y(x) =
= (f(x+
x) + g(x+
x)) - (f(x) + g(x)) =
= (f(x+
x)-f(x)) + (g(x+
x)–g(x))
20
y(x) = x+sin(x)
Pochodna sumy funkcji
y’(x) = 1+cos(x)
Funkcja y(x) = x +
sin(x)
i jej pochodna
y
2
5
1
0
-5
-
10
2
-
-4
x
-3
-2
3
4
5
-5
0
21
Pochodna iloczynu funkcji
Pochodna iloczynu funkcji y(x) =
f(x)•g(x)
x
x
g
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Δx
Δy
Iloraz różnicowy ma postać:
y’(x) = f’(x)•g(x)+f(x) •g’(x)
Licznik ilorazu różnicowego jest równy:
y = f(x+x)g (x+x) -f(x)g (x) =
= (f(x+x) – f(x))g(x+x) – f(x)(g(x+x)–g(x))
Dla x0 otrzymujemy:
22
Pochodna iloczynu funkcji
y=x·sin(x
)
y’=sin(x)
+x·cos(x)
y
x
2 3 4 5 6
-
-2
-3
-4
-5
-6
2 3 4 5 6
-
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
23
Pochodna ilorazu funkcji
x
x
g
x
x
g
x
g
x
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
f
x
y
)
(
)
(
))]
(
)
(
)(
(
)
(
))
(
)
(
[(
Iloraz różnicowy można zapisać
następująco:
Pochodna ilorazu funkcji y(x) =
f(x)/g(x)
Dla x0 mamy:
Pochodna ilorazu funkcji f(x) przez g(x) jest równa
stosunkowi iloczynu pochodnej pierwszej funkcji przez
drugą, pomniejszonemu o iloczyn pierwszej funkcji
przez pochodną drugiej, do kwadratu drugiej funkcji.
y’(x) =
f’(x)· g(x) - f(x)· g’(x)
g(x)
2
24
Pochodna ilorazu funkcji
2
)
sin(
)
cos(
x
x
x
x
y
x
x
y
)
sin(
3
5
-
-3
-5
x
3
5
-
-3
-5
x
25
Pochodną funkcji y(x) = cos(x) jest
funkcja:
-sin(x)
-tg(x)·cos(x)
Obie odpowiedzi są poprawne
Pochodną funkcji y(x) = tg(x) jest
funkcja:
ctg(x)
1/cos
2
(x)
1/x
2
Pochodną funkcji y(x) = 2x
3
+ 4 jest
funkcja:
3x
2
+4
6x
2
+4
6x
2
Pochodną funkcji y(x) = 1/x jest funkcja:
-1/x/x
-1/x
2
Obie odpowiedzi są poprawne
30
Pochodną funkcji y(x) = e
x
jest funkcja:
x·e
x
e
x
e
x
/x
32
1.
Wielka internetowa encyklopedia multimedialna
http://www.encyklopedia.pl
2.
Dydaktyka w Internecie
http://www.szkoly.edu.pl/dydaktyka.html
4.
H. Łubowicz, B. Wieprzkowicz: Matematyka. Podstawowe
wiadomości teoretyczne i ćwiczenia dla studentów
studiów
inżynierskich.
5.
K. Litewska, J. Muszyński: Analiza matematyczna, cz.1.
6.
W. Żakowski: Matematyka, cz. 1.
3.
J. Ginter: Mechanika.
Neto- i bibliografia
