Grupy

Przez strukturę algebraiczną rozumie się zbiór składający się ze skończonej liczby zbiorów i ze skończonej liczby odwzorowań iloczynów kartezjańskich tych zbiorów w te zbiory. Odwzorowania te nazywa się działaniami.

Zaczniemy od rozważenia najprostszych struktur.

Niech będzie zbiorem niepustym. Działaniem wewnętrznym w zbiorze nazywamy odwzorowanie . Działanie jest łączne, jeśli dla każdych zachodzi równość

Mówimy, że działanie jest przemienne, jeśli dla każdych elementów zachodzi równość

Element nazywa się elementem neutralnym ze względu na działanie , jeśli dla każdego elementu mamy

Łatwo widać, że jeśli istnieje element neutralny, to element taki jest jedyny w . Istotnie, niech i będą elementami neutralnymi ze względu na . Zachodzą następujące równości

Działania oznacza się najczęściej znakiem plus, tzn. , lub znakiem kropki, która zwykle jest w zapisie pomijana. Oczywiście są też inne sposoby oznaczania działań, np. kółkiem, gwiazdką, etc. Działanie oznaczane znakiem nazywa się dodawaniem, działanie oznaczane kropką nazywa się mnożeniem. Jeśli działanie oznaczone jest plusem, to łączność oznacza, że dla każdych mamy . A zatem zapis ma sens. Podobnie dla działania zapisywanego multyplikatywnie, czyli kropką, łączność oznacza, że dla każdych , a zapis ma sens. Oczywiście, łączność dodawania oznacza, że zapis ma sens dla dowolnego , zaś w przypadku mnożenia, zapis ma sens dla dowolnego .

Jeśli działanie zapisywane jest w sposób addytywny, tzn. za pomocą znaku , to element neutralny (o ile istnieje) nazywany jest zerem i oznaczany przez . W przypadku zapisu multyplikatywnego, element neutralny nazywany jest często jedynką i oznaczany cyfrą .

Załóżmy, że działanie w zbiorze ma element neutralny . Załóżmy najpierw, że działanie to jest zapisywane addytywnie. Mówimy, że element ma element przeciwny, jeśli istnieje element taki, że . Jeśli działanie zapisywane jest multyplikatywnie, to mówimy, że element ma element odwrotny w , jeśli istnieje element , taki że .

Zauważmy, że jeśli działanie jest łączne, ma element neutralny i element ma element odwrotny (przeciwny), to element taki jest jedyny. Mianowicie, jeśli i są elementami odwrotnymi do , to (stosując zapis multyplikatywny) mamy następujące równości

Jeżeli działanie zapisywane jest w sposób addytywny i element ma dokładnie jeden element przeciwny, to element ten oznaczamy przez . Ponadto, jeśli , to przyjmujemy oznaczenie

(1.1)

Jeśli działanie zapisywane jest w sposób multyplikatywny i element ma dokładnie jeden element odwrotny, to oznaczamy go przez. Przyjmujemy także oznaczenie

Definicja 1.1 [Grupa]

Mówimy, że zbiór niepusty z działaniem wewnętrznym jest grupą, jeśli działanie to jest łączne, ma element neutralny i każdy element ma element odwrotny (przeciwny).

Grupę nazywamy przemienną, lub abelową, jeśli jej działanie jest przemienne.

Załóżmy, że jest niepustym podzbiorem grupy . Mówimy, że jest podgrupą grupy , jeśli działanie grupy zawężone do ma wartości w oraz dla każdego elementu jego element odwrotny również należy do .

Łatwo można sprawdzić, że podgrupa z zawężonym działaniem jest grupą.

Zadanie 1.1

Sprawdzić, która z wymienionych par jest grupą:

1. , 2. , 3. , 4. , 5. ,

6. , 7. , gdzie , 8. ,

9. , 10. , 11. , gdzie .

1. Para nie jest grupą, ponieważ do zbioru nie należy , zatem w zbiorze tym nie ma elementu neutralnego dla dodawania.

2. Para nie jest grupą, ponieważ nie każdy element posiada element odwrotny, np. nie istnieje liczba naturalna, która po pomnożeniu przez dawałaby , zatem liczba naturalna nie posiada elementu odwrotnego względem działania należącego do zbioru .

3. Para jest grupą. Wynika to ze znanych własności dodawania liczb całkowitych.

4. Para nie jest grupą, ponieważ nie każdy element posiada element odwrotny, np. liczba całkowita nie posiada elementu odwrotnego względem działania , który należałby do zbioru .

5. Para jest grupą, ponownie wynika to ze znanych własności dodawania liczb wymiernych.

6. Para nie jest grupą, liczba nie posiada elementu odwrotnego względem mnożenia.

7. Para jest grupą.

8. Para jest grupą.

9. Para nie jest grupą, liczba nie posiada elementu odwrotnego względem mnożenia.

10. Para jest grupą.

11. Para jest grupą.

Zadanie 1.2

Niech będzie dany zbiór dwuelementowy . W zbiorze definiujemy działanie wewnętrzne w następujący sposób:

Wykazać, że jest grupą przemienną.

Działanie można zilustrować przy pomocy następującej tabelki:

Analizując ją można zauważyć, że:

1. działanie jest przemienne;

2. element jest elementem neutralnym działania ;

3. elementem odwrotnym do elementu jest on sam;

4. działanie jest łączne, dowód polega na analizie wszystkich możliwych przypadków.

Niech , oraz będą dowolnymi elementami zbioru . Oznaczmy

Analizujemy wartości wyrażeń oraz dla wszystkich możliwych wyborów trójek uporządkowanych o wyrazach pochodzących ze zbioru .

Ponieważ równość zachodzi we wszystkich możliwych przypadkach nasze działanie musi być łączne.

Oznacza to, że para jest grupą.

Zadanie 1.3

W zbiorze definiujemy działanie kładąc dla :

Sprawdzić, czy para jest grupą.

Zaobserwujmy najpierw, że działanie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze , tzn. dla dowolnych liczb wymiernych i , różnych od , liczba jest także liczbą wymierną różną od . Dowiedziemy tego przez kontrapozycję, tzn. zamiast dowodzić dla liczb wymiernych i implikację

dowiedziemy, że

Załóżmy zatem, że . Ponieważ i są elementami zbioru , widzimy, że i dodatkowe założenie, że

oznacza, że musi zachodzić . Równość tę możemy przekształcić do następującej postaci:

Powyższa równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy lub . Wobec powyższego dowiedliśmy, że

co kończy dowód naszej implikacji.

Zauważmy także, że z przemienności zwykłego mnożenia i dodawania liczb wymiernych wynika, że działanie jest przemienne.

Działanie jest też łączne, bo dla dowolnych liczb wymiernych , oraz ze zbioru zachodzi:

Korzystając z własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych ostatnią sumę możemy zapisać tak:

Wyciągając przed nawias z trzech ostatnich składników powyższego wyrażenia otrzymujemy:

co było do okazania.

Poszukując elementu neutralnego dla działania rozpatrzmy równanie:

gdzie jest pewną ustaloną liczbą wymierną różną od . Wówczas równość

możemy też zapisać tak:
Z założenia wynika, że jest jedynym rozwiązaniem tego równania. Wykażemy, że liczba jest elementem neutralnym działania . Weźmy dowolną liczbę . Wówczas

a zatem jest elementem neutralnym.

Sprawdzimy, że każda liczba wymierna różna od posiada element odwrotny względem działania . Ustalmy dowolnie

. Pytamy, czy można znaleźć liczbę wymierną taką, że . Taka liczba musi być rozwiązaniem równania:
Równanie to ma rozwiązanie postaci , które jest dobrze określoną liczbą wymierną dzięki założeniu, że. Ponieważ tak zdefiniowane musi być też różne od , dowiedliśmy, że dla każdej liczby ze zbioru możemy znaleźć należący do tego zbioru element odwrotny względem działania .

Powyższe rozważania dowodzą, że para jest grupą przemienną.

Zadanie 1.4

Niech . Dla kładziemy

Wykazać, że jest działaniem wewnętrznym w zbiorze i sprawdzić, czy jest grupą.

Wykażemy, że jest działaniem wewnętrznym w zbiorze . Niech . Oznacza to, że i . Wówczas:

zatem jest działaniem wewnętrznym. Z własności dodawania i mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych wynika natychmiast, że jest działaniem przemiennym. Dla dowodu łączności wybierzmy dowolnie pary , oraz należące do . Wówczas

Analogicznie

Na mocy łączności dodawania liczb rzeczywistych zachodzi oczywiście

co kończy dowód łączności naszego działania.

Wykażemy, że para jest elementem neutralnym działania . Dla dowolnej pary mamy bowiem:

Prosty rachunek dowodzi, że dla pary elementem odwrotnym jest para . Zatem jest grupą.

Zadanie 1.5

Niech i będą dowolnymi grupami. W iloczynie kartezjańskim określamy działanie w następujący sposób

Wykazać, że jest też grupą. Jeżeli założymy, że i są grupami przemiennymi, to jest grupą przemienną.

Dowód Komentarz

W szczególności, jeśli , a rozpatrywanym działaniem w obu grupach jest zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych, to grupą jest para , gdzie jest "dodawaniem po współrzędnych", tzn.

Niech i będą dowolnymi grupami. Działanie jest łączne, bo dla dowolnych par , , korzystając z łączności działań oraz możemy napisać:

i analogicznie otrzymujemy:

Na mocy łączności działań oraz stwierdzamy, że działanie jest łączne.

Jeżeli jest elementem neutralnym w grupie , a jest elementem neutralnym w grupie, to para

jest elementem neutralnym dla działania . Jest tak ponieważ dla dowolnego elementu mamy

i analogicznie
Jeżeli jest dowolnym elementem zbioru i jest elementem odwrotnym do w grupie , a jest elementem odwrotnym do w grupie , to para jest elementem odwrotnym do względem działania , ponieważ

i tak samo
a jak wiemy z poprzedniego podpunktu jest elementem neutralnym dla działania .

Jeżeli działania oraz są przemienne, to przemienne jest działanie , bo dla dowolnych par ,

otrzymujemy

Zadanie 1.7

Niech będzie dowolną grupą i niech będzie dowolnie ustalonym elementem. Wykazać, że odwzorowanie jest bijekcją.

Wskazówka

Pamiętajmy, że w grupie każdy element posiada odwrotny.

Rozwiązanie

Aby udowodnić, że jakieś odwzorowanie jest bijekcją wystarczy wykazać, że istnieje odwzorowanie do niego odwrotne. Wykażemy, że dla danego odwzorowanie , gdzie oznacza element odwrotny do względem działania , jest odwrotne do .

Wybierzmy dowolne . Wówczas

Ponieważ było dowolne, wnosimy, że. Analogicznie

zatem . Wykazaliśmy, że

czyli musi być bijekcją.