UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY
w BYDGOSZCZY
WYDZIAŁ TELEKOMUNIKACJI I ELEKTROTECHNIKI
ZAKŁAD PODSTAW PROJEKT Z
ELEKTROTECHNIKI TEORII OBWODÓW
_______________________________________
Temat projektu: Obliczanie stanów nieustalonych w obwodach liniowych.
Autor projektu:
Data przyjęcia projektu:
Ocena za projekt:
Stany nieustalone w układach prądu stałego.
Korzystając z metody klasycznej obliczyć prąd i1(t), i2(t) po zamknięciu wyłącznika pierwszego i drugiego. Drugi wyłącznik zamyka się po upływie czasu τ po zamknięciu pierwszego wyłącznika. Zachodzi najpierw stan nieustalony w1 ͢τ w2
Obliczyć prąd i2(t) metodą operatorową.
Narysować wykres i1(t), na którym należy pokazać stan nieustalony spowodowany zamknięciem w1 i w2.
![]() |
Dane: E =100[V] L =125 [mH] = 0,125[H] R1 = R2 = R3 = 25[Ω] C = 190[µF] = 190·10-6[F] |
---|
Zamknięcie włącznika w1
E = UR3(t) - UL(t) - UR1(t) = 0
E- R3·I(t) - UL(t) - R1·I(t) = 0
UL(t) = L$\frac{dI(t)}{\text{dt}}$
E = R3·I(t)+ L$\frac{dI(t)}{\text{dt}}\ $+ R1·I(t)
E = (R1+R3)·I(t) + L$\frac{dI(t)}{\text{dt}}$
I1(t) = IU + IP(t)
I1(t) = $\frac{E}{R1 + R3} + A e^{- \frac{t}{\tau}}$
IU = ? L = $\frac{d(I_{U} = \text{const}.)}{\text{dt}} + I_{U} (R_{1} R_{3})$ = E IU·(R1+R3) = E IU= $\frac{E}{R_{1} + R_{3}}\ $=$\ \frac{100}{25 + 25} = 2\ \lbrack A\rbrack$ IU = 2 [A] |
IP(t) = A·eλt = A$e^{- \ \frac{R}{L} \bullet t}$ = A·$e^{- \frac{t}{\tau}}$ $\frac{d I_{P}(t)}{\text{dt}}$ + IP·(R1+R3) = 0 L · λ + R = 0 λ=$- \frac{R1 + R3}{L} = - \frac{25 + 25}{0,125} = - 400$
I(t=0) = ? I(t=0) = A$e^{0} + \frac{E}{R_{1} R_{3}}$ 0 = A + $\frac{E}{R1 + R3}$ A = 0 - $\frac{E}{\ R1 + R3}$=$- \frac{100}{25 + 25} = - 2\left\lbrack A \right\rbrack$ IP(t) = -2·$e^{- \frac{t}{0,0025}}$ [A] |
---|
I1(t)= -2 ·e−400t + 2 = 2(1 − e−400t) [A]
I1(τ)=-2·eλτ + 2 = −2(1 − e−4000, 0025) = 1,26 [A]
|
---|
I1u*(t) = 0 I1u*(t) = ? L=$\frac{d {(I}_{U} = \text{const}.)}{\text{dt}} + I_{1U} (R_{1} + R_{3})$ I1u*(R1 + R3) = E $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I}_{1u}^{*} = \frac{E}{R_{1} + R_{3}}$=$\frac{100}{25 + 25} = 2\lbrack A\rbrack$ |
|
25+λ·0,125+$\frac{25 (25 + \frac{1}{\lambda 190 10^{- 6}})}{25 (25 + \frac{1}{\lambda 190 10^{- 6}})}$=0 25+λ·0,125+$\frac{625 + \frac{416666,667}{\lambda})}{50 + \frac{16666,667}{\lambda})}$=0 25+λ·0,125+$\frac{650 \lambda + 416666,667}{50 \lambda + 16666,667}$=0 /·(50λ + 16666, 667) 1250·λ+416666,675+6,25·λ2+2083,333·λ+625·λ+416666,667=0 λ1,2 =−202, 6 ± j32, 3
$\left. \ \frac{d I_{1}^{*}\left( t \right)}{\text{dt}} \right|$t=0= - 202,6·A1+32, 3·A2 (3) $\left. \ \frac{d I_{2}^{*}\left( t \right)}{\text{dt}} \right|$t=0= - 202,6·B1+32, 3·B2 (4)
t* = 0
A1 = 1,26-2 = -0,74 (1) B1 = 0,63 (2) 422=202,6·A1+32,3·A2 (3) $\left. \ \frac{d I_{2}^{*}\left( t \right)}{\text{dt}} \right|$t=0=? (4)
|
Metoda operatorowa obliczenia I2(t)
I2(t) = ?
I1*(0) = I1*(τ) = 1, 26 [A]
UC(0) = 0
$$V_{1}\left( s \right) = \frac{\sum_{}^{}{(E\left( s \right) \bullet Y\left( s \right))}}{\sum_{}^{}{Y(s)}} = \frac{\left( \frac{E}{s} + L I_{1}^{*}(0) \right) (\frac{1}{R_{1} + sL})}{\frac{1}{R_{1} + sL} + \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{2} + \frac{1}{\text{sC}}}}$$
$\frac{E}{s} + L I_{1}^{*}\left( 0 \right) = \frac{100}{s} + 0,125 1,26 = \frac{100 + 0,1575s}{s}$
$$V_{1}\left( s \right) = \frac{\frac{100 + 0,1575s}{s\left( R_{1} + sL \right)}}{\frac{1}{R_{1} + sL} + \frac{1}{R_{3}} + \frac{\text{sC}}{R_{2} Cs + 1}} = \frac{\frac{100 + 0,0790665}{s \left( R_{1} + sL \right)}}{\frac{R_{3}\left( R_{2} Cs + 1 \right) + \left( R_{1} + sL \right) \left( R_{2} Cs + 1 \right) + sC\left( R_{1} + sL \right) R_{3}}{\left( R_{1} + sL \right) R_{3} \left( R_{2} C_{s} + 1 \right)}} =$$
$$= \frac{100 + 0,1575s}{s} \frac{R_{3}\left( R_{2} Cs + 1 \right)}{R_{3} \left( R_{2} Cs + 1 \right) + \left( R_{1} + sL \right) \left( R_{2} Cs + 1 \right) + sC\left( R_{1} + sL \right) R_{3}}$$
$$I_{2}\left( s \right) = \frac{V_{1}(s)}{R_{2} + \frac{1}{\text{sC}}} = V_{1}\left( s \right) \frac{1}{R_{2} sC} = V_{1}\left( s \right) \frac{\text{sC}}{R_{2} Cs + 1} = \frac{(100 + 0,1575s) C R_{3}}{R_{3} \left( R_{2} Cs + 1 \right) + \left( R_{1} + sL \right) \left( R_{2} Cs + 1 \right) + sC\left( R_{1} + sL \right) R_{3}} =$$
$$= \frac{\left( 100 + 0,1575s \right) 190 10^{- 6} 25}{25 \left( 25 190 10^{- 6}s + 1 \right) + \left( 25 + 0,125s \right) \left( 25 190 10^{- 6}s + 1 \right) + s190 10^{- 6} \left( 25 + 0,125s \right) 25} =$$
$$= \frac{0,15 + 0,00023625s}{0,0375s + 25 + 0,0375s + 25 + 0,0001875s^{2} + 0,125s + 0,0375s + 0,0001875s^{2}} = \frac{0,15 + 0,00023625s}{0,000375s^{2} + 0,2375s + 50}\overset{\Rightarrow}{}\frac{M\left( s \right)}{N\left( s \right)}$$
0, 000375s2 + 0, 2375s + 50 = 0
s1, 2 = −202, 6 ± j32, 3
$$I_{2}^{*}\left( t \right) = \ 2 \bullet Re\left\lbrack \frac{M\left( s_{1} \right)}{N'\left( s_{1} \right)} \bullet e^{s_{1}t} \right\rbrack$$
M(s1)=0, 15 + 0, 00023625(−202,6±j32,3) = 0, 075187 + j0, 042953
N′(s) = 2 • 0, 000375s + 0, 2375 = 0, 00075s + 0, 2375
N′(s1) = 0, 00075(−202,6±j32,3) + 0, 2375 = −0, 0000025 + j0, 136368
$$I_{2}^{*}\left( t \right) = \ 2 \bullet Re\left\lbrack \frac{0,075187 + j0,042953}{- 0,0000025 + j0,136368} \bullet e^{\left( - 202,6 \pm j32,3 \right)t} \right\rbrack = 2 \bullet Re\left\lbrack 0,31497 - j0,55136 \bullet e^{- = - 202,6t} \bullet e^{j32,3t} \right\rbrack = \ 2 \bullet Re\left\lbrack 0,63498 \bullet e^{- j60,26} \bullet e^{- 202,6t} \bullet e^{j32,3t} \right\rbrack = 1,26996 \bullet e^{- 202,6t} \bullet \cos\left( 202,6t - 60,26 \right) = \left\lbrack 1,26996 \bullet \cos( - 60,26) \bullet \cos\left( 32,3t \right) + 1,26996 \bullet sin\left( - 60,26 \right) \bullet \sin\left( 32,3t \right) \right\rbrack \bullet e^{- 202,6t} = \left\lbrack \mathbf{0,63 \bullet}\cos\left( \mathbf{32,3}\mathbf{t} \right)\mathbf{+ ( - 1,103) \bullet}\sin\left( \mathbf{32,3}\mathbf{t} \right) \right\rbrack\mathbf{\bullet}\mathbf{e}^{\mathbf{- 202,6}\mathbf{t}}$$