1. Twierdzenie Taylora dla funkcji n zmiennych
Jeżeli funkcja n zmiennych f(P) jest klasy C² w pewnym otoczeniu O punktu P₀(x₁, x₂, … , x_n) oraz punkt P(x₁+h₁, x₂+h₂, … , x_n+h_n) też należy do tego otoczenia to istnieje taka liczba Ѳ spełniająca nierówność 0<Ѳ<1, że przyrost f(P)-f(P₀)=df(P₀)+1/2d²f(P~), gdzie P~=(x₁+Ѳh₁, x₂+Ѳh₂, … , x_n+Ѳh_n). Składnik 1/2d²f(P~) nazywamy resztą wzoru Taylora z drugą różniczką, stanowi on funkcję kwadratową zmiennych h₁, … , h_n
2. Ekstremum funkcji n zmiennych
Niech f(P) będzie funkcja n zmiennych okresloną w pewnym otoczeniu punktu P₀. Mówimy że funkcja f(P) maksimum(minimum) lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S(P₀), że dla każdego P należącego do S jest spełniona nierówność f(P)≤f(P₀) (f(P)≥f(P₀)). Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami.
3. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Punkt stacjonarny
Jeżeli funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe 1-go rzędu w punkcie P₀=(x₀, y₀) i ma w tym punkcie ekstremum to f’_x(P₀)=0 i f’_y(P₀)=0
Punkt P₀=(x₀, y₀) w którym jest spełniony warunek f’_x(P₀)=0 i f’_y(P₀)=0 nazywamy punktem stacjonarnym
4. Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Jeżeli f(x,y) jest klasy C² w otoczeniu punktu P₀=(x₀, y₀) a ponadto f’_x(P₀)=f’_y(P₀)=0 oraz W(P₀)>0 to funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum (minimum) lokalne gdy f’’_x2(P₀)<0 (f’’_x2(P₀)>0)
5. Znajdowanie największej i najmniejszej wartości funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkniętym
Dla znalezienia wartości największej w obszarze trzeba policzyć wszystkie jej maksima lokalne i spośród nich wybrać największe. Jeżeli funkcja f(P) jest okreslona w obszarze domkniętym D to może ona przyjmować wartość największą nie tylko w punkcie w którym ma ekstremum lecz także na brzegu zbioru D. Poszukując wartości największej lub najmniejszej w obszarze domkniętym wystarczy ograniczyć się do zbadania ekstremum oraz zmienności funkcji na brzegu zbioru. Druga z tych czynności sprowadza się do badania funkcji jednej zmiennej.
6. Definicja całki oznaczonej funkcji jednej zmiennej
Niech funkcja f będzie określona i ograniczona na przedziale [a,b]. Całkę oznaczoną z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem lim_δ(ę)→0 ∑_k=1ⁿ f(x_k*)∙∆x_k o ile granica ta nie zależy od sposobu wyboru podziału ani od sposobu wyboru punktów pośrednich x_k*. Całkę oznaczoną z funkcji f na przedziale [a,b] oznaczamy ∫_a^bf(x)dx
7. Interpretacja całki oznaczonej(pole trapezu krzywoliniowego, objętość bryły obrotowej, droga przebyta)
Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem ciągłej nieujemnej funkcji f, osią x oraz prostymi x=a i x=b. Pole |D| tego trapezu jest sumą prostokątów ∆D_k, δ(ę)→0, gdzie ∆D_k jest prostokątem [x_k-1, x_k] [0, f(x_k*)]
|D|=lim_δ(ę)→0∑_k=1ⁿ|D_k|=lim_δ(ę)→0∑_k=1ⁿf(x_k*)∙∆x_k
Niech V oznacza bryłę powstałą z obrotu wykresu funkcji y=f(x), a≤x≤b wokół osi x.
|V|= lim_δ(ę)→0∑_k=1ⁿπ∙f²(x_k)∙∆x_k=∫_a^bπ∙f²(x)dx
Niech S oznacza drogę przebytą w przedziale czasowym [α,β] przez punkt poruszajacy się ze zmienną szybkością. Droga S jest granicą sum dróg elementarnych ∆S_k przebytych w czasie ∆t_k=t_k-t_k-1 z szybkością stałą gdy δ(ę)→0
S= lim_δ(ę)→0∑_k=1ⁿV(t_k*)∙∆t_k=∫_α^βV(t)dt
8. Warunek wystarczający istnienia całki oznaczonej(w terminach ciągłości)
Jeśli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju to jest ona na nim całkowalna
9. Twierdzenie Newtona-Leibniza. Liniowość całki oznaczonej
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] to ∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną dla f na tym przedziale F’(x)=f(x).
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a,b] to: ∫_a^b[f(x)+-g(x)]dx=∫_a^bf(x)dx+-∫_a^bg(x)dx.
Dla każdego c należącego do R ∫_a^bc∙f(x)dx=c∙∫_a^bf(x)dx
10. Twierdzenie o całkowaniu przez części i o całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłą pochodną na [a,b] to ∫_a^bf(x)∙g’(x)dx=[f(x)∙g(x)]_a^b-∫_a^bf’(x)∙g(x)dx. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.
Jeżeli funkcja Φ:[a,b]→[α,β] ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b], Φ(a)=α, Φ(b)=β, funkcja f(t) jest ciągła na [α,β] to zachodzi następujący wzór: ∫_a^bf(Φ(x))∙Φ’(x)dx=∫_α^βf(t)dt. Jest to wzór na całkowanie przez podstawianie dla całek oznaczonych.
11. Twierdzenie o równości całek oznaczonych
Niech f będzie całkowalna na [a,b] oraz niech g różni się od f tylko w określonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy funkcja g także jest całkowalna na [a,b] oraz ∫_a^bg(x)dx=∫_a^bf(x)dx.
12. Addytywność całki oznaczonej względem przedziałów całkowania
Jeżeli f(x) jest całkowalna na [a,b] oraz c jest punktem pośrednim tego przedziału to jest ona całkowalna na przedziale [a,c] i [c,b] i ponadto: ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx
13. Zachowanie nierówności i moduł całki oznaczonej
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe na przedziale [a,b] oraz dla każdego x należącego do [a,b] 0≤f(x)≤g(x),to ∫_a^bf(x)dx≤∫_a^bg(x)dx
Jeżeli funkcja f jest calkowalna na przedziale [a,b] to |∫_a^bf(x)dx|≤∫_a^b|f(x)|dx oraz
-∫_a^b|f(x)|dx ≤ ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^b|f(x)|dx
14. Wartość średnia funkcji(w terminie całki oznaczonej). Interpretacje geometryczna i fizyczna
Niech funkcja f będzie calkowalna na przedziale [a,b]. Jej wartościa średnią na tym przedziale nazywamy liczbę f_śr=$\frac{1}{b - a}$ ∫_a^bf(x)dx
Jeżeli funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale [a,b] to jej wartość średnia na tym przedziale jest wysokościa prostokąta o podstawie ab, którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f , osią x oraz prostymi x=a i x=b
Interpretacją fizyczna wartości średniej jest szybkość średnia punktu poruszającego się w pewnym przedziale czasu
15. Całka oznaczona funkcji parzystej, nieparzystej i okresowej.
Jeżeli funkcja f jest calkowalna i nieparzysta na przedziale [-a,a] to ∫_−a^af(x)dx=0
Jeżeli funkcja jest calkowalna i parzysta na przedziale [-a,a] to ∫_−a^af(x)dx=2 ∫₀^af(x)dx
Niech funkcja f ma okres T i jest całkowalna na przedziale [0,T], wówczas dla każdego a należącego do R jest ona calkowalna na przedziale [a, a+T]i ∫_a^a + Tf(x)dx = ∫₀^Tf(x)dx
16. Funkcja górnej granicy całkowania. Jej ciągłość
Niech funkcja f będzie określona i calkowalna na przedziale [a,b] oraz niech c należy do [a,b].
F(x)= ∫_c^xf(t)dt i x należy do [a,b].
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] to funkcja F(x)= ∫_c^xf(t)dt jest ciągła na [a,b]
17. II główne twierdzenie rachunku całkowego(o pochodnej funkcji górnej granicy całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz ciągła w punkcie x₀ należącym do [a,b] to wówczas funkcja F(x)= ∫_c^xf(t)dt ma pochodną w punkcie x₀: F’(x₀)=f(x₀)
18. Długość krzywej
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y=f(x), przy czym funkcja f(x) ma w przedziale a≤x≤b pochodną ciągłą, to długość krzywej w tym przedziale wyraża się wzorem L=∫_a^b$\sqrt{1 + {y'}^{2}}$dx.
Jeżeli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań x=g(t), y=h(t), przy czym funkcje g(t) i h(t) mają w przedziale t₁≤t≤t₂ ciągłe pochodne oraz krzywa nie ma części wielokrotnych to długość łuku wyraża się wzorem L=$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{{x'}^{2} + {y'}^{2}}\text{dt}$
19. Pole powierzchni obrotowej. Praca wykonana przez zmienną siłę
Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wtedy pole powierzchni S powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi x: |S|=2π $\int_{a}^{b}{f(x) \bullet \sqrt{1 + {\lbrack f^{'}\left( x \right)\rbrack}^{2}}\text{dx}}$
Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b] a ponadto a ≥0, wtedy pole powierzchni S powstałe z obrotu wykresu funkcji f wokół osi y: |S|=2π $\int_{a}^{b}{x \bullet \sqrt{1 + {\lbrack f^{'}\left( x \right)\rbrack}^{2}}\text{dx}}$
20. Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym. Definicje. Interpretacja geometryczna.
Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,T] gdzie T>a oraz istnieje granica skończona lim_T→nieskoń∫_a^Tf(x)dx (1) to nazywamy ją całka niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, +∞) i oznaczamy symbolem ∫_a^+∞f(x)dx. Jeżeli granica skończona (1) istnieje to mówimy że całka z funkcji f na przedziale [a, +∞) istnieje lub jest zbieżna. Jeżeli granica skończona (1) nie istnieje lub jest nieskończona to mówimy że całka z funkcji f na przedziale [a, +∞) nie istnieje lub jest rozbieżna.
21. Kryterium porównawcze dla całki niewłaściwej na przedziale nieskończonym
Jeżeli funkcje f i g są określona na przedziale [a, +∞), calkowalne w każdym przedziale [a,T], T>a oraz f(x)≤g(x) dla każdego x≥a to zbieżność całki ∫_a^+∞g(x)dx zapewnia zbieżność ∫_a^+∞f(x)dx, a rozbieżność całki ∫_a^+∞f(x)dx zapewnia rozbieżność ∫_a^+∞g(x)dx
22. Kryterium całkowe zbieżności szeregów
Niech funkcja f: [n₀, +∞)→[0, +∞) będzie nierosnąca, wówczas $\sum_{n = n_{0}}^{\infty}{f(n)}$ {n₀ należy do N} i ∫_n0^+∞f(x)dx są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne
23. Całka niewłasciwa funkcji nieograniczonej. Definicje
Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a,b) i nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalna w każdym przedziale [a, b-ε], ε>0. Jeżeli istnieje granica skończona lim_ε→0+∫_a^b − εf(x)dx to nazywamy ją całką niewłasciwą. Analogicznie okreslamy całkę niewłaściwą z funkcji f w przedziale [a,b], która jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna w każdym przedziale [a+ε, b], ε>0: ∫_a^bf(x)dx = lim_{ε → 0+}∫_a + ε^bf(x)dx
24. Podstawowe definicje całki podwójnej w prostokącie
Rozważmy prostokąt π na płaszczyźnie określonej nierównościami: a≤x≤b, c≤y≤d. Niech funkcja f(x,y) będzie funkcja określoną w peostokacie. Prostokąt π dzielimy na n prostokątów π_n i podział ten oznaczmy P_n. W każdym prostokącie π_kwybieramy dowolny punkt P_k(x_k, y_k). Przez f(P_k)oznaczamy wartość funkcji w punkcie P_k. Suma całkowa funkcji f w prostokącie π: S_n=$\sum_{k = 1}^{n}{f(P_{k}) \bullet \delta_{k}}$, gdzie ∆δ_k – pole prostokata π_k. Przez δ_n=max d_k oznaczmy średnicę podziału P. Rozważmy ciąg podziału P_n prostokąta π. Nazywamy go normalnym jeżeli odpowiadajacy mu ciąg średnic δ_n→0 gdy n→∞. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału prostokąta π ciąg sum całkowych S_n jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od sposobu wyboru punktów pośrednich P_k to tę granicę nazywamy całką podwójną z funkcji f w prostokącie π i oznaczamy symbolem ∬_π⁰f(x,y)dσ
25. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki podwójnej w prostokącie
Jeżeli funkcja f jest stała w prostokącie π, tzn. f(x,y)=c to dla każdego n Sn=$\sum_{k = 1}^{n}{c\sigma_{k}}$=cσ. Całka podwójna w tym przypadku jest równa objętości prostopadłościanu o polu podstawy σ i wysokości c.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie π i dodatnia to suma całkowa S_n równa się sumie objętości prostopadłościanów o polach podstaw ∆σ_k i wysokościach f(P_k), Całka podwójna w tym przypadku jest równa z definicji objętości bryły V ograniczonej płaszczyznami z=0 x=a x=b y=c y=d oraz wykresem funkcji z=f(x,y)
Jeżęli funkcja ę(x,y) jest gęstością powierzchniową masy prostokąta π to ∬_π⁰e(x,y)dσ oznacza z definicji masę tego prostokąta.
26. Własności calki podwójnej w prostokącie. Wartość średnia. Twierdzenie o wartości średniej
Jeżeli funkcja f jest calkowalna w prostokącie π, a a jest dowolna stałą to funkcja af też jest całkowalna i ponadto ∬_π⁰af(x,y)dσ=a ∬_π⁰f(x,y)dσ
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w prostokacie π to w tym prostokacie całkowalna jest ich suma f+g i ponadto ∬_π⁰[f(x,y) + g(x, y)]dσ=∬_π⁰f(x,y)dσ + ∬_π⁰g(x,y)dσ
Jeżeli podzielimy prostokat π na dwa prostokąty π₁ i π₂ i jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokątach π₁ i π₂ to jest całkowalna w prostokącie π i: ∬_π⁰f(x,y)dσ=∬_π1⁰f(x,y)dσ + ∬_π2⁰f(x,y)dσ
Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokacie π i dla każdego P należącego do π zachodzi nierówność m≤f(P)≤M to mσ≤∬_π⁰f(x,y)dσ≤Mσ
Liczbę $\frac{\iint_{\pi}^{0}{f\left( x,y \right)\text{dσ}}}{\sigma}$ nazywamy wartościa średnią funkcji f w prostokącie π
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie π to istnieje takie c należące do π, że $\frac{\iint_{\pi}^{0}{f\left( x,y \right)\text{dσ}}}{\sigma}$=f(c)
27. Twierdzenie o zmianie całki podwójnej na całkę iterowaną
Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokacie π ( a≤x≤b; c≤y≤d) to ∬_π⁰f(x,y)dσ=∫_c^d[∫_a^bf(x,y)dx]dy oraz ∬_π⁰f(x,y)dσ = ∫_a^b[∫_c^df(x,y)dy]dx
28. Obszar normalny. Całka podwójna w tym obszarze. Wzory do obliczania całki podwójnej w obszarze normalnym. Zbiór regularny
Zbiór domknięty D na płaszczyźnie określony nierównościami: a≤x≤b; φ(x)≤y≤ψ(x), gdzie φ(x) i ψ(x) są to funkcje ciągłe w przedziale [a,b] nazywamy obszarem normalnym względem osi x.
Niech funkcja f*(x,y)będzie określona w prostokącie π. F*(x,y)=f(x,y) dla (x,y) należących do D lub =0 dla (x,y) należących do π\D. Całka podwójną z funkcji f w obszarze normalnym D nazywamy całkę ∬_π⁰f^*(x,y)dxdy=∬_D⁰f(x,y)dxdy=∫_a^b[∫_c^df(x,y)dy]dx=∫_a^b[∫_φ(x)^ψ(x)f(x,y)dy]dx
Zbiór D nazywamy regularnym jeżeli jest sumą D₁ u D₂ u … u D_n obszarów normalnych względem osi x lub y, które nie maja punktów wspólnych. Całkę podwójna określamy jako sumę całek w obszarach normalnych D₁ … D_n: ∬_D⁰f(x,y)dxdy=$\sum_{i = 1}^{n}{\iint_{\text{Di}}^{0}{f\left( x,y \right)\text{dxdy}}}$
29.Interpretacje geometryczne i fizyczne całki podwójnej w obszarze normalnym
Niech f(x,y) będzie funkcja ciągłą w obszarze regularnym D przy czym ta funkcja jest >0. Wtedy ∬_D⁰f(x,y)dxdy przedstawia objętość bryły o podstawie D ograniczonej powierzchnia będącą wykresem funkcji f oraz powierzchnią walcową utworzoną z prostych równoległych do osi z i przechodzących przez brzeg obszaru D
Całka ∬_D⁰1dxdy przedstawia z definicji pole obszaru D
Jeżeli funkcja ę(x,y) jest gęstością powierzchniową masy obszaru regularnego D to całka ∬_D⁰e(x,y)dxdy przedstawia masę m tego obszaru
Całki ∬_D⁰y • e(x,y)dxdy=M_x oraz ∬_D⁰x • e(x,y)dxdy=M_y przedstawiają momenty statyczne względem osi x i y
30. Zmiana zmiennych w calce podwójne. Jakobian
Zmiana zmiennych w całce podwójnej jest ściśle związana z odwzorowaniem zbioru płaskiego za pomocą pary funkcji dwóch zmiennych. Jeżeli przez C₀ oznaczymy brzeg kwadratu K₀ a przez C oznaczymy brzeg kwadratu K to punktowi poruszającemu się po krzywej C₀ odpowiada punkt na krzywej C. Rozważmy parę funkcji ciągłych: x=x(u,v) i y=y(u,v) (1)które przekształcają zbiór D₀ w płaszczyźnie UV na zbiór D w płaszczyźnie XY. Załóżmy że funkcje są klasy C¹. J(u,v)=|x’_u(u,v); x’_v(u,v); y’_u(u,v); y’_v(u,v)|. Taką nową funkcję nazywamy jakobianem przekształcenia (1).
Niech: 1. odwzorowanie (1) przekształca wzajemnie jednoznacznie obszar regularny D₀ na obszar D 2. Funkcje (1) są klasy C¹ w obszarze D₀ 3. Funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze D, wtedy ∬_D⁰f(x,y)dxdy=∬_D0⁰f(x(u,v),y(u,v)) • (J(u,v))dudv
31. Wprowadzenie zmiennych biegunowych w calce podwójnej
x=rcosφ y=rsinφ; r interpretujemy jako długość wektora o początku w (0,0) i końcu w (x,y). Parę (r,φ) nazywamy współrzędnymi biegunowymi na płaszczyźnie
32. Całka potrójna w prostopadłościanie. Podstawowe definicje
Rozważmy prostopadłościan π określony nierównościami a≤x≤b; c≤y≤d; p≤z≤q oraz funkcję f(x,y,z) określoną w tym prostopadłoscianie. Dzielimy prostopadłościan π na n prostopadłościanów π_k; k=1, 2, …, n o objętościach ∆V_k. Podział ten oznaczmy symbolem P_k. Niech d_k oznacza długość przekątnej prostopadłościanu π_k. Najmniejszą z nich, czyli min d_k=δ_n nazywamy średnicą P_n. W każdym prostopadłościanie π_k wybieramy punkt P_k(x_k, y_k, z_k). Obliczamy f(P_k) i S_n=$\sum_{k = 1}^{n}{f(P_{k})V_{k}}$ nazywamy sumą całkową funkcji f w prostopadłościanie π. Rozważmy ciąg normalny podziału P_n, tzn taki ciąg, gdzie δ_n→0 i n→∞. Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziału prostopadłościanu π, ciąg sum S_n jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktu P_k to tę granicę nazywamy całka potrójną funkcji f w prostopadłościanie i oznaczamy ∭_π⁰f(P)dV lub ∭_π⁰f(x,y,z)dV
33. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki potrójnej
Jeżeli f(P) wszędzie =1 w prostopadłościanie π to całka ∭_π⁰f(P)dV przedstawia objętość prostopadłościanu π.
Jeżeli funkcja ę(P) jest gęstościa objętościową masy prostopadłoscianu π to całka ∭_π⁰e(P)dV przedstawia masę tego prostopadłościanu
34. Własności całki potrójnej w prostopadłościanie. Wartość średnia. Twierdzenie o wartości średniej
Całka potrójna w prostopadłościanie posiada własności analogiczne do własności całki podwójnej.
Niech funkcja f będzie ciągła w prostopadłościanie π o objętości V wówczas f_śr=$\frac{\iiint_{\pi}^{0}{f\left( P \right)\text{dV}}}{V}$ nazywamy wartością średnią funkcji f.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie π to istnieje taki punkt c należący do tego prostopadłościanu że f_śr=f(c)
35. Twierdzenie o zmianie całki potrójnej na całkę iterowaną.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie π: a≤x≤b; c≤y≤d; p≤z≤q to ∭_π⁰f(P)dV=∫_a^b{∫_c^d[∫_p^qf(x,y,z)dz]dy}dx
36. Całka potrójna w obszarze normalnym. Wzory do obliczania.
Zbiór domknięty Ω określony nierównościami φ(x,y)≤z≤ψ(x,y) gdzie (x,y) należy do D, który jest obszarem regularnym, a funkcje φ, ψ są ciągłe w obszarze D, nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny XY. Analogicznie określamy obszar normalny względem płaszczyzn XZ i YZ. Niech na tym obszarze określona będzie funkcja f(x,y,z). Calkę potrójną z funkcji f w obszarze Ω określamy: ∭_Ω⁰f(x,y,z)dV=∭_π⁰f^*(x,y,z)dV (3) gdzie f*(P)=f(P) gdy P należy do Ω lub =0 gdy P należy do π\Ω. Jeżeli funkcja f wszędzie =1 w obszarze Ω to calka (3) przedstawia z definicji objętość tego obszaru. ∭_Ω⁰f(P)dV=∬_D⁰[∫_φ(x, y)^ψ(x, y)f(x,y,z)dz]dxdy
37. Zmiana zmiennych w całce potrójnej. Jakobian
Przypuśćmy że przekształcenie x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) (1) odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór regularny Ω₀ w przestrzeni UVW na zbiór regularny Ω o współrzędnych x,y,z przy czym każda z funkcji (1) będzie klasy C¹ i ponadto funkcja f(x,y,z) jest funkcją ciągła w obszarze Ω oraz jakobian przekształcenia (1) J=|x’u; x’v; x’w; y’u; y’v; y’w; z’u; z’v; z’w|≠0; wówczas ∭_Ω⁰f(x,y,z)dxdydz=∭_Ω⁰f[x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)] • [J(u,v,w)]dudvdw
38. Współrzędne sferyczne

39. Współrzędne cylindryczne

40. Krzywa(prosta, zamknięta), kierunek
Otwartą krzywą prostą o równaniach parametrycznych x=x(t), y=y(t), α≤t≤β (1) nazywamy zbiór punktów na płaszczyźnie dla której są spełnione równości (1) a ponadto punkt (x(α),y(α))≠(x(β),y(β)) oraz t₁≠t₂. Wartościom α, β odpowiadają A=(x(α),y(α)) B=(x(β),y(β)). Krzywej tej można nadać kierunek przyjmując A za poczatek a B za koniec
41. Całka krzywoliniowa skierowana. Podstawowe definicje. Interpretacja fizyczna
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału [α,β] ciąg sum S_n=$\sum_{k = 1}^{n}{< \overrightarrow{R_{k}},\overrightarrow{l_{k}}} >$=$\sum_{k = 1}^{n}{\lbrack P\left( c_{k} \right)x_{k} + Q\left( c_{k} \right)y_{k}\rbrack}$ jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktów pośrednich τ_k to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji P i Q po krzywej $\overset{\breve{}}{\text{AB}}$ i oznaczamy symbolem $\int_{\overset{\breve{}}{\text{AB}}}^{0}{P\left( x,y \right)dx + Q\left( x,y \right)\text{dy}}$(3) lub $\int_{\overset{\breve{}}{\text{AB}}}^{0}{< \overrightarrow{R},\overrightarrow{\text{dl}} >}$(4).
Jeżeli $\overrightarrow{R}$=$\overrightarrow{R}(x,y)$ jest wektorem siły w punkcie (x,y) o współrzędnych (P(x,y),Q(x,y)) to całka (3) lub (4) przedstawia pracę siły $\overrightarrow{R}$ wzdłuż krzywej $\overset{\breve{}}{\text{AB}}\ $
42. Twierdzenie o zmianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe na krzywej $\overset{\breve{}}{\text{AB}}$ o przedstawieniu parametrycznym (1) gdzie funkcje x(t) i y(t) są klasy C¹ to całka (3) istnieje i ponadto $\int_{\overset{\breve{}}{\text{AB}}}^{0}{P\left( x,y \right)dx + Q\left( x,y \right)\text{dy}}$=∫_α^β[P((x(t),y(t))•x^′(t)+Q(x(t),y(t))•y^′(t)]dt
43. Skierowanie krzywej względem swego wnętrza
Przypuśćmy, że krzywa K jest zamknięta i kawałkami gladka i P₀ jest punktem wewnętrznym jednej z jej części. Utwórzmy wektor styczny $\overrightarrow{s}$ skierowany zgodnie z kierunkiem tej krzywej i wektor normalny i oznaczmy przez D wnętrze krzywej K. Jeżeli wektor $\overrightarrow{n}$ jest skierowany do wnętrza zbioru D to mówimy, że krzywa jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza. W przeciwnym przypadku jest skierowana ujemnie.
44. Twierdzenie Greena
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze normalnym D względem osi x lub y przy czym brzeg K tego obszaru jest krzywą skierowaną dodatnio względem wnetrza to: ∮P(x,y)dx + Q(x,y)dy=∬_D⁰[Q^′_x(x,y)−P^′_y(w,y)]dxdy
45. Twierdzenie o niezależności calki krzywoliniowej skierowanej od kształtu drogi całkowania. Wnioski.
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D to spełnienie nierówności Q’_x=P’_y (2) w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby $\int_{\overset{\breve{}}{\text{AB}}}^{0}{P\left( x,y \right)dx + Q\left( x,y \right)\text{dy}}$ po otwartej krzywej $\overset{\breve{}}{\text{AB}}$ zawierajacej się w D nie zależała od kształtu tej krzywej a tylko od punktów A i B.
Jeżeli funkcje P i Q są klasy C¹ i spełniają warunek (2) w obszarze jednospójnym D to ∫_c⁰P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0 (4) dla każdej kawałkami gładkiej krzywej zamkniętej c zawierającej się w D
Jeżeli funkcje P i Q są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D oraz dla każdej kawałkami gładkiej krzywej zamkniętej c zawierającej się w D jest spełniony warunek (4) to w każdym punkcie tego obszaru jest spełniony warunek (2)
46. Warunek istnienia funkcji z danymi pochodnymi cząstkowymi. Jej znalezienie

47. Całka krzywoliniowa nieskierowana. Podstawowe definicje
Rozważmy krzywą L o równaniach parametrycznych x=x(t), y=y(t), α≤t≤β i przypuśćmy że w każdym punkcie krzywej L jest określona funkcja f(x,y). Niech α=t₀<t₁<…<t_n=β będzie podzialem przedziału [α,β]. Niech A_k=(x_k,y_k)=(x(t_k),y(t_k)). W każdym przedziale [t_k-1, t_k] wybieramy punkty τ_k, punktom tym odpowiadają punkty C_k=(ε_k,η_k)=(x(τ_k),y(τ_k)). Utwórzmy sumę S_n=$\sum_{k = 1}^{n}{f(\varepsilon_{k},\eta_{k})} \bullet l_{k}$ (2), gdzie ∆l_k-długość krzywej A_k-1A_k. Rozważmy normalny ciąg podziału przedziału [α,β]. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału [α,β] ciąg sum (2) jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktów τ_k to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f po krzywej L i oznaczamy symbolem ∫_L⁰f(x,y)dl (3)
48. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki krzywoliniowej nieskierowanej
Jeżeli f(x,y) wszędzie=1 to ciąg sum (2) jest stały. Całka (3) przedstawia wtedy długość krzywej L.
Jeżeli f(x,y) jest dodatnia i ciągła to całka (3) przedstawia pole powierzchni M.
Jeżeli ę(x,y) jest gęstościa liniową masy krzywej L to całka ∫_L⁰e(x,y)dl przedstawia masę krzywej L.
Współrzędne środka masy krzywej L: $\overset{\overline{}}{x}$=$\frac{\int_{L}^{0}{x \bullet e\left( x,y \right)\text{dl}}}{m}$ $\overset{\overline{}}{y} = \frac{\int_{L}^{0}{y \bullet e\left( x,y \right)\text{dl}}}{m}$
49. Zamiana całki krzywoliniowej nieskierowanej na całke oznaczoną
Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła na krzywej L o równaniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), α≤t≤β gdzie funkcje x, y są klasy C¹ to całka ∫_L⁰f(x,y)dl istnieje i ponadto $\int_{L}^{0}{f\left( x,y \right)\text{dl}} = \int_{\alpha}^{\beta}{f(x\left( t \right),y\left( t \right)) \bullet \sqrt{{{\lbrack x}^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}\text{dt}}$
50. Gładki płat powierzchniowy. Cała powierzchniowa niezorientowana. Podstawowe definicje.
Gładkim płatem powierzchniowym nazywamy wykres funkcji z=f(x,y), (x,y)ϵD. W definicji zakładamy że funkcja f jest klasy C¹. Taką funkcję nazywamy gładkim płatem powierzchniowym względem płaszczyzny XY. W sposób analogiczny określamy gładki płat powierzchniowy względem płaszczyzn YZ i XZ.
Rozważmy gładki płat powierzchniowy Ω o równaniu z=f(x,y); (x,y)ϵD. Niech na tym płacie jest określona funkcja F(x,y,z). Wprowadzamy funkcję F*(x,y,z)=F(x,y,z) gdy (x,y)ϵD lub =0 gdy (x,y) nie należy do D. Rozważmy prostokąt π który zawiera funkcje. Dzielimy go na n prostokątów π,…,π_n i w każdym z tych małych prostokątów wybieramy punkt P_k(x_k,y_k)ϵπ_k. Wprowadzamy punkt A_k=(x_k,y_k,f(x_k,y_k)) gdy (x,y)ϵD lub=(x_k,y_k,0) gdy nie należy. Oznaczmy symbolem ∆S_k pole tej części płaszczyzny stycznej do Ω w punkcie A_k która leży nad π_k. Niech S_n=$\sum_{k = 1}^{n}{F^{*}(A_{k})S_{k}}$ (2). Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału prostokąta π ciąg sum (2) jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktu P_k to (2) nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną funkcji f po płacie Ω i oznaczamy symbolem ∬_Ω⁰F(x,y,z)ds (3)
51. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki powierzchniowej niezorientowanej
Jeżeli funkcja F(x,y,z) wszędzie=1 to całka (3) przedstawia pole płata Ω
Jeżeli ę(x,y,z) jest gęstością powierzchniową masy płata Ω to całka ∬_Ω⁰e(x,y,z)ds przedstawia masę płata Ω
52. Obliczanie całki powierzchniowej niezorientowanej
Jeżeli funkcja F jest ciągła na płacie Ω to całka (3) istnieje i można ją obliczyć za pomoca wzoru: ∬_Ω⁰F(x,y,z)ds=$\iint_{D}^{0}{F(x,y,f\left( x,y \right))\sqrt{{\lbrack f^{'}\left( x \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack f^{'}\left( y \right)\rbrack}^{2} + 1}}\text{dxdy}$
53. Szereg funkcyjny, jego zbieżność. Szereg potęgowy. Promień zbieżności. Przedział zbieżności. Ich obliczanie
Szeregiem funkcyjnym nazywamy wyrażenie postaci $\sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}(x)}$ (1). Mówimy, że szereg (1) jest zbieżny w punkcie x₁ gdy szereg liczb $\sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}(x_{1})}$ jest zbieżny.
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀ i współczynnikach c_n nazywamy szereg funkcyjny postaci $\sum_{n = 0}^{\infty}{c_{n}{(x - x_{0})}^{n}}$ (2). Jeżeli szereg (2) jest zbieżny w punkcie x₁ to jest on zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie x₂ dla którego x₂-x₀<x₁-x₀.
Istnieje taka liczba R(promień zbieżności szeregu)ϵ[0,+∞) że szereg (2) jest zbieżny bezwzględnie w przedziale (x₀-R,x₀+R)=(przedział zbieżności) i rozbieżny w przedziale (-∞,x₀-R) i (x₀+R,∞). Gdy R=∞(0) to szereg (2) jest zbieżny w każdym punkcie(tylko w punkcie x₀).
Promień zbieżności szeregu (2) może być obliczany R=lim_n→niesk$\frac{|c_{n}|}{|c_{n + 1}|}$ (d’Alembert) R=lim_n→niesk$\frac{1}{\sqrt[n]{|c_{n}|}}$
54. Szereg Taylora. Szereg Maclaurina. Wielomian Taylora. Wzór Taylora z resztą Lagrange’a. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. Twierdzenie o jednoznaczności rozwijania funkcji w szereg potęgowy.

55. Szeregi Maclurina dla funkcji e^x, sinx, cosx

56. Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Przykład zastosowania

57. Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego. Przykład zastosowania

58. Równania różniczkowe. Rozwiązanie szczególne. Rozwiązanie ogólne. Zagadnienie Cauchy’ego. Warunki początkowe. Rząd równania różniczkowego. Krzywa całkowa

59. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Postać różniczkowa równania. Przykłady

60. Rozwiązanie liniowe rzędu 1-go. Jednorodne i niejednorodne

61. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go jednorodnego

62. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go niejednorodnego. Metoda uzmienniania stałej

63. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go niejednorodnego. Metoda przewidywań