§ 14. Całki niewłaściwe

Całki niewłaściwe to całki o granicach nieskończonych lub funkcji nieograniczonych.

14.1 Całki o granicach nieskończonych

Niech funkcja f będzie określona na przedziale nieskończonym
oraz całkowana w sensie Riemanna na każdym przedziale skończonym <a,A>, gdzie

Definicja: Całkę funkcji f o granicach a, +∞ nazywamy wielkość postaci:
(1) gdy przy założeniu, że powyższa granica jest skończona lub nieskończona w przypadku gdy granice (1) jest skończona mówimy, że całka (1) jest zbieżna, z funkcja f całkowana na przedziale <a, ∞). Jeżeli granica (1) jest nieskończona to mówimy, że całka (1) jest rozbieżna.

Podobnie definiujemy całki:

określa się też całkę
gdzie A nie zależy od A^| .Twierdzenie 1 - Na to by całka
gdzie f(x)≥0 dla x≥a, była zbieżna potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek

Twierdzenie 2 (kryterium porównawcze)

Jeżeli dla x≥A≥a zachodzą nierówności 0≤f(x) ≤g(x) wynika zbieżność całki
wynika zbieżność całki
a, z rozbieżności całki

wynika rozbieżność całki
.

Dowód: Ponieważ na rozbieżność całki
nie ma wpływu całka c więc wystarczy badać zbieżność całki
. Ponieważ dla x≥A≥a mamy 0≤f(x) ≤g(x) więc korzystając z własności całki Riemana otrzymujemy:
gdy
. Zatem przechodząc do granicy przy
otrzymujemy
. Jeżeli założymy, że całka
jest rozbieżna z nierówności
przy dowolnym
wynika, że całka
(jest rozbieżna)

Twierdzenie 3.

Jeżeli istnieje granica
dla
, g(x)>0 przy
to ze zbieżności całki
wynika zbieżność
, gdy k<∞ a z rozbieżności całki

przy k>∞ wynika rozbieżność całki

Dowód:

niech k<∞ zakładamy, że całki
(zbieżna) Ponieważ
więc dla x>A mamy
=>

Stąd na podstawie twierdzenia w całka
jest zbieżna niech k>0 oraz

Ponieważ
więc
Podobnie jak w a. otrzymujemy oszacowanie
lub

dla x≥A^| z twierdzenia 2 wynika więc rozbieżność całki

Badając zbieżność
gdzie f(x)≥0 jest nieujemne dla x≥a można obrać konkretną funkcje
, która jest całkowana gdy a>0,
oraz nie jest całkowana, gdy a>0,
i stosować kryterium porównawcze.

Twierdzenie 4 (Cauchy)

Niech funkcja f ma dla dostatecznie dużych X postać
,
Wtedy:jeżeli
oraz
to całka
jest rozbieżna

jeżeli
oraz
to całka
jest rozbieżna

W przypadku gdy funkcja podcałkowa zmienia znak stosujemy następujące twierdzenie 5.

Twierdzenie 5 (Cauchy)

Na to by całka
była zbieżna potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek
Jeżeli zbieżna jest całka
, to całka
nazywa się bezwzględnie zbieżna .Z twierdzenia 5 wynika, że jeżeli zbieżna jest całka
to zbieżna jest całka
. Istnieją całki zbieżne, które nie są bezwzględnie zbieżne. np.
Całkę
nazywamy warunkowo zbieżną gdy jest zbieżna, ale nie jest bezwzględnie zbieżna.

Twierdzenie 6. (Kryterium Abela)

Niech funkcje f,g będą określone na przedziale <a, ∞), jeżeli:

funkcja f jest całkowalna na <a, ∞)

funkcja g jest monotoniczna i ograniczona
to całka
jest zbieżna

Twierdzenie 7. (Kryterium Dirichleta)

Niech funkcje f,g będą określone na przedziale <a, ∞) jeżeli

funkcja f jest całkowalna na każdym przedziale skończonym <a,A> oraz

funkcja g jest ograniczona i zbieżna monotonicznie do zera przy
, to całka
jest zbieżna

14.2 Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych.

Niech funkcja f będzie ograniczona i całkowana w sensie Riemanna na każdym przedziale
gdzie
oraz nieograniczona w każdym przedziale
. Wtedy punkt b nazywamy punktem osobliwym funkcji f np. funkcje:
ma punkt osobliwy
. Całką funkcji f w granicach a, b a<b nazywamy wielkość

(1)
przy założeniu, że granica ta jest skończona lub nieskończona. W przypadku,, gdy granica (1) jest skończona mówimy, że całka (1) jest zbieżna, a funkcja f jest całkowalna na przedziale <a,b>

Jeżeli granica (1) jest nieskończona, to mówimy że całka (1) jest rozbieżna. Analogicznie określamy całkę
gdy funkcja ma punkt osobliwy x=a.

Ogólnie można rozważać przypadek, gdy funkcja f ma w przedziale <a,b> skończoną liczbę punktów osobliwych: c₀,c₁,....c_n w otoczeniu których f jest nieograniczona oraz f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale, który nie zawiera punktów osobliwych. Np. Dla
mamy:
przy czym
są wzajemnie niezależne.

Podobnie jak w przypadku całek w przedziałach nieskończonych wykazujemy następujące twierdzenia. Zakładamy, że x­₀=b jest punktem osobliwym funkcji f.

Twierdzenie 8.

Na to by zbieżna była całka niewłaściwa (1) z funkcji nieujemnej f potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek.

Twierdzenie 9. (Kryterium porównawcze)

Jeżeli dla
zachodzi nierówność 0≤f(x) ≤g(x) to ze zbieżności całki
wynika zbieżności całki
a z rozbieżności całki
wynika rozbieżność całki
.

Przykład zbadać zbieżność całki

Twierdzenie 10.

Jeżeli
gdzie f(x)≥0 dla xε<a,b> 0≤k≤∞ to przy
gdzie
jest zbieżna, gdy k<∞ oraz całka
jest rozbieżna przy
oraz K>0

Twierdzenie 11. (Cauchy)

Niech funkcja f ma dla x dostatecznie ........... (granicy górnej) b postać
wtedy:

Jeżeli
oraz
to całka
jest zbieżna

Jeżeli
oraz
to całka
jest rozbieżna

Dla funkcji f zmieniającej znak na przedziale <a,b> stosujemy:

Twierdzenie 12. (Cauchy)

Na to by całka
, gdzie ... jest punktem osobliwym, była zbieżna potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek:

z twierdzenia 12 wynika, że jeżeli jest zbieżna całka
to jest zbieżna całka
. Mówimy wtedy, że całka bezwzględnie zbieżna jest zbieżna.

. Niech na przedziale <a,b> będzie określona funkcja f mająca dokładnie jeden punkt osobliwy
oraz całkowana w sensie Riemanna w każdym podprzedziale przedziału <a,b>, który nie zawiera punktu osobliwego c.

Wtedy
przy założeniu istnienia granicy właściwej lub niewłaściwej. Wartością główną całki niewłaściwej
nazywamy wyrażenie
przy założeniu istnienia granicy w sensie właściwym lub niewłaściwym. (V.p. -„Valeur pricipale”)

Mówimy wtedy, że całka
istnieje w sensie wartości głównej. Jeżeli całka
istnieje jako całka niewłaściwa to zawsze istnieje jej wartość główna. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

4.3 Kryterium całkowania zbieżności szeregów liczbowych.

Twierdzenie 13.

Dany jest szereg liczb
niech f jest funkcją określoną na przedziale <1,∞), ciągłą, dodatnią, malejącą. Szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżna jest całka niewłaściwa

Dowód: Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej wynika, że dla n=1,2,.....

Z monotoniczności f wynika, że
Z kryterium porównawczego zbieżności szeregów wynika, że szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg
Ponieważ

Więc

---