§ 13 Całka oznaczona Riemanna

Niech funkcja rzeczywista f będzie określona i ograniczona na przedziale <a,b>.

Dzielimy przedział <a,b>przy pomocy punktów:

na przedziale
i = 0, 1, ..., n-1. Oznaczmy przez x największą z różnic
tzn.

i = 0, 1, ..., n-1

Liczbę
nazywamy średnią podziału przedziału<a,b>. W każdym z przedziałów częściowych
obieramy dowolny punkt
.(„
” - ksi)

Tworzymy sumę całkową postaci

Można utożsamić podział przedziału <a,b>na przedziały częściowe punktami:

Z układami punktów działowych

Wtedy możemy rozważać ciąg podziałów ( Π_m ) przedziału<a,b>, przy czym
n_m- liczba naturalna.

Mówimy, że ciąg podziałów ( Π_m ) przedziału <a,b> na przedziały częściowe jest ciągiem normalnym, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic
jest zbieżny do zera.

Definicja: Jeżeli przy dowolnym ciągu normalnym podziałów przedziału <a,b> oraz przy dowolnym wyborze punktów pośrednich
ciąg sum całkowitych postaci

Dążą zawsze do skończonej granicy równej liczbie I to granicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale
i oznaczamy symbolem I =
.

W przypadku, gdy granica ta istnieje funkcją f nazywamy całkowalną na przedziale<a,b>.Liczby a, b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.Ponieważ def pochodzi od b Riemanna (XIX) stąd mówimy o całce oznaczonej Riemanna oraz o całkowalności w sensie Riemanna.Niech f(x)≥0 dla każdego x∈<a,b>. Wtedy suma całkowa

jest równa sumie pól prostokątów o wartości f(
) i długości podstawy
Zatem całka oznaczona
jako granica ciągu sum całkowych postaci
jest równe polu obszaru płaskiego ograniczonego łukiem krzywej y = f(x) x∈<a,b>odcinkami prostych x = a, x = b oraz osi OX i <a,b>

Własności całki oznaczonej.

1. Jeżeli funkcja f, g są całkowalna na przedziale <a,b> to kombinacja liniowa αf +βf, gdzie α, β stałe, jest całkowalna na <a,b> oraz
   

2. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na <a,b> oraz
   to f jest całkowalna na każdym z przedziałów
   
   oraz
   

3. Jeżeli f jest całkowalna na <a,b> to f jest też całkowalna na przedziale
   oraz

4. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na <a,b> gdzie a<b oraz f(x) ≥0 dla x∈<a,b> to
   

W przypadku, gdy f(x) > 0 dla x∈<a,b> to

5. Jeżeli funkcja f, g są całkowalne na <a,b> a<b oraz dla każdego x∈<a,b> f(x) ≤ g(x) ( f(x) < g(x)) to

6. Niech funkcja f będzie całkowalna na <a,b> a<b. Wtedy funkcja f jest całkowalna na <a,b> oraz zachodzi nierówność
   .

7. Jeżeli funkcja jest całkowalna na <a,b> a<b oraz dla każdego x∈<a,b> m ≤ f(x) ≤ M gdzie m, M są stałymi to zachodzi nierówność

8. Jeżeli:

1. funkcje f, g są całkowalne na <a,b>

2. dla każdego x∈<a,b>

m ≤ f(x) ≤ M

3. g(x) ≥ 0 (lub g(x) > 0 ) dla każdego x∈<a,b> tzn. funkcja g ma stały znak w całym przedziale <a,b> to

gdzie

W szczególności, gdy g(x) = 1 otrzymujemy

Można wykazać, że:

1. Każda funkcja ciągła f na przedziale <a,b> jest całkowalna w sensie Riemmana na <a,b>

2. Jeżeli funkcja f jest ogromna na <a,b>oraz posiada w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I - go rodzaju, to f jest całkowalna na <a,b>

3. Funkcja f ograniczona i monotoniczna na<a,b> jest całkowalna na tym przedziale.

Sposoby odliczania całek oznaczonych

Twierdzenie 1 (Wzór Newtona - Liebnica)

Jeżeli funkcja rzeczywista jest całkowalna w sensie Riemmana na przedziale <a,b> oraz posiada skończoną funkcję pierwotną F dla każdego x∈<a,b>

Dowód.

Dokonujemy podziału
przedziału<a,b>. Na podstawie twierdzenia Legrange'a o wartości średniej istnieją takie punkty
∈
i = 1, 2,..., n że:

dla i = 1, 2,..., n

Stąd otrzymujemy

Ponadto zachodzi równość

Dowód.Zatem dla dowolnego ciągu naturalnego podziałów przedziału <a,b> można dla każdego podziału z osobna dobrać punkty pośrednie
tak, by zachodziła równość

Zbadany w ten sposób ciąg sum całkowych
dąży do granicy F(b) - F9a).

Ponieważ f jest całkowalna na <a,b> więc ciąg ten dąży do całki

Przykład

Twierdzenie 2 (Całkowanie przez części)

Jeżeli funkcja f, g posiada ciągłe pochodne na przedziale <a,b> to

gdzie

Twierdzenie 3 (Całkowanie przez części)

Jeżeli: Funkcja f, g jest cięgła na przedziale <a,b>

Funkcja ϕ jest określony na przedziale
przy czym dla każdego t ∈
to:

ZASTOSOWANIE CAŁEK OZNACZONYCH.

Niech będzie dana krzywa w postaci parametrycznej (1)
,
,
dla
przy czym pochodne
są ciągłe w
.

Punktem osobliwym krzywej (1) nazywamy punkt odpowiadający parametrowy
taki, że
. Dla punktów osobliwych krzywej (1) zaliczamy również punkty wielokrotne tzn. punkty które otrzymujemy dla dwóch lub większej liczby wartości parametrów. Zakładamy, że krzywe o których mowa poniżej nie zawierają punktów osobliwych z wyjątkiem co najwyżej pokrywających się końców krzywej zamkniętej.

1. Pole obszaru płaskiego

Pole obszaru płaskiego ABCD ograniczonego krzywymi y=f₁(x), y=f₂(x) gdzie f₁,f₂ są funkcjami ciągłymi na <a,b>, f₂(x)≥f₁(x) dla
oraz prostymi x=a, x=b jest równe

Jeżeli krzywa k dana jest w postaci parametrycznej k:
,
dla
funkcje
są ciągłe, przy czym
jest ciągła na

dla
to pole obszaru płaskiego ograniczonego tą krzywą, odcinkiem OX oraz prostymi
jest równe

Niech będzie dany układ prostokątny OXY na płaszczyźnie. Każdy punkt P płaszczyzny jest jednoznacznie kreślony przez podanie uporządkowanej pary współrzędnych P=(x₀,y₀). Punkt P jednoznacznie określa także następujące wielkości r=|OP| - odległość punktu P od początku układu OXY. φ - miara kąta między półosią OX i promieniem wodzącym OP punktu P

Współrzędnymi biegunowymi punktu P nazywamy uporządkowaną parę (r, φ). Wtedy punkt O nazywamy biegunem, a półprostą OX nazywamy osią biegunową.Związek między współrzędnymi prostokątnymi i biegunowymi punktu P jest następujący:

x₀=rcos φ

y₀=rsin φ

Pole figury OAB ograniczonej krzywą k daną we współrzędnych biegunowych
dla
,
gdzie
jest nieujemną funkcją ciągłą na
oraz promieniami wodzącymi OA, OB. odpowiadającymi wartościom
wynosi:

2. Objętość bryły oraz pole powierzchni obrotowej.

Jeżeli s=s(x), xε
jest funkcją ciągła wyrażającą pole przekroju bryły płaszczyzną prostopadłą do osi O, to objętość bryły zawartej między płaszczyznami x=a, x=b wynosi

Przykład: Obliczyć objętość bryły ograniczonej elipsoidą trójosiową

Objętość bryły obrotowej powstałej na skutek obrotu ciągłej nieujemnej krzywej y=f(x) xε<a,b>, dokoła osi OX wynosi:

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej na skutek obrotu krzywej
,
dla
dokoła osi OX przy czym
są ciągłe na
wynosi:

3. Długość krzywej

Niech będzie krzywą o przedstawieniu parametrycznym
,
,
dla
. Oznaczmy przez
dowolny podział przedziału
. Niech

oznaczmy przez
łamaną o węzłach w punktach p_0,p₁,...p_n

Definicja: Długością S krzywej k nazywamy wielkości
jest długością łamanej
. Jeżeli zbiór
jest ograniczony, to
Wtedy krzywą k nazywamy prostoliniową lub rektyfikowalną. Jeżeli zbiór długości łamanych
jest nieograniczony to przyjmujemy

Twierdzenie 1.

Jeżeli krzywa AB jest postaci
,
,
dla
, gdzie
są ciągłe na
, bez punktów osobliwych z wyjątkiem co najwyżej pokrywających się końców krzywej, to krzywa AB jest prostoliniowa.

Dowód: W krzywą AB wpisujemy łamaną o wierzchołkach: M₀,M₁,.....M_n które odpowiadają wartościom parametru
. Oznacza to, że punkt M_i iε{0,1,...,n}, ma współrzędne

Długość łamanej wynosi

Z twierdzenia Lagrangea o wartości średniej wynika, że:

stąd

Oznaczmy odpowiednio przez
największe wartości funkcji ciągłych
na przedziale
.Wtedy

Zatem zbiór długości łamanych opisanych w krzywą AB jest ograniczony z góry, tzn, krzywa AB ma skróconą długość, czyli jest prostoliniowa.

Wniosek: Długość krzywej AB można oszacować następująco :
oznaczając odpowiednio przez
najmniejsze wartości funkcji ciągłych
na przedziale
otrzymujemy następujące oszacowania z dołu dla długości krzywej AB

Rozważmy dla krzywej z twierdzenia pierwszego zamiast przedziału
przedział częściowy
gdzie
, Δt>0 Wtedy przedziałowi
odpowiada łuk krzywej AB o długości Δs. Ponadto zachodzą oszacowania:
gdzie
- odpowiednio najmniejsze oraz największe wartości funkcji ciągłej
na przedziale
stąd otrzymujemy:
przy
otrzymujemy
. Analogicznie postępujemy w przypadku przedziału
Δt >0. Jeżeli
lub
to obliczamy pochodną jednostronną funkcji
.

Jeżeli parametr t zmienia się w przedziale
a wraz z nim położenie punktu M=M(t) na krzywej AB (z twierdzenia 1) to długość zmiennego łuku AM jest funkcją parametru t. Oznaczmy tę funkcję przez s=s(t) dla

Z (1) wynika, że funkcja jest różniczkowalna. Widać, że
. Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza otrzymujemy
= długości krzywej AB=S czyli
.

Jeżeli płaska krzywa AB dana jest w postaci y=f(x) dla xε<a,b> gdzie f^| jest ciągła na <a,b> to przyjmując x jako parametr otrzymujemy postać parametryczną krzywej AB^|: x=x, y=f(x) dla xε<a,b>. Stąd długość łuku krzywej AB wynosi:

Jeżeli krzywa płaska AB dana jest równaniem we współrzędnych biegunowych r=r(φ) dla φε< φ₁, φ₂> gdzie r^| jest ciągła na < φ₁, φ₂> to jej przedstawienie parametryczne ma postać x=r(φ)cosφ, y=r(φ)sin φ, φε< φ₁, φ₂> kolejno otrzymujemy:

stąd

53