- Co to jest naturalny układ współrzędnych? Wyprowadzić wzory na przyspieszenia.

PRZYSPIESZENIE STYCZNE I NORMALNE.

Układ współrzędnych naturalny - definicja.

Załóżmy, że cząstka porusza się po torze krzywoliniowym. W chwili t znajduje się ona w punkcie toru P₁ a w chwili (t +Δt) w punkcie P₂.

Definiujemy w punkcie toru P₁ wersor styczny do toru e_s oraz w kierunku prostopadłym do toru wersor normalny e_n. Wersory te przemieszczają się wraz z cząstką wzdłuż toru ruchu i w przypadku toru krzywoliniowego będą zmieniały swój kierunek.

Porównaj kierunki wersorów na rysunku w chwili t w punkcie P₁ i w chwili (t +Δt) w punkcie P₂.

Prędkość w układzie naturalnym.

Prędkość w układzie naturalnym można zapisać bardzo prosto: v = v(t) e_s. Wyrażony jest w ten sposób fakt, że wektor prędkości jest styczny do toru.

Przyspieszenie w układzie naturalnym. Pokazanie, że: a= e_s + e_n

Zgodnie z definicją przyspieszenia: a== = e_s + v. Przy wersorze stycznym mamy wielkość , która informuje jak zmienia się wartość wektora prędkości. Dla uzyskania pełnej zależności dla przyspieszenia należy przeanalizować pochodną czasową wersora stycznego.

Obliczenie pochodnej wersora stycznego po czasie: = e_n

Na rysunku obok pokazane są sprowadzone do wspólnego punktu wersory styczne do toru w chwili t (w punkcie toru P₁) oraz t+dt . Kąt jaki one tworzą wynosi dϕ, można więc znaleźć długość przyrostu wersora stycznego:

= dϕ= dϕ, bo długość wersora wynosi jeden. Pozostaje jeszcze znaleźć kierunek przyrostu wersora de_s.

Dowód, że jest prostopadłe do e_s.

Biorąc iloczyn skalarny wersorów =1. Obliczając pochodną po czasie obu stron otrzymamy dla strony lewej:

oraz dla prawej:

. Czyli łącząc te związki mamy: . Ponieważ ani długość wersora ani jego pochodna nie są równe zeru, to musi zachodzić sytuacja, że wersor styczny jest prostopadły do swojej pochodej czasowej.

Mamy więc znaleziony kierunek przyrostu wersora stycznego. Jest on zgodny z kierunkiem wersora normalnego, czyli:

de_s=dϕ e_n. Stąd mamy związek dla pochodnej wersora stycznego: = e_n.

Obliczenie a_s i a_n oraz ich interpretacja fizyczna.

Wracając do wzoru opisującego przyspieszenie w układzie naturalnym i wstawiając otrzymany wynik dla pochodnej wersora stycznego otrzymamy:

a== e_s + v e_n.

Kąt dϕ jest również kątem jaki tworzą dwie proste prostopadłe do toru w kolejnych punktach toru (P₁ i P₂) odpowiadających położeniu cząstki w czasie t i czasie t+dt. Proste te przecinając się tworzą odcinki o długościach równych promieniowi krzywizny oznaczanemu przezρ. Ponieważ łuk P₁P₂ ma długość ds, to można zapisać związek ds = ρ dϕ, czyli.

Ponieważ wartość prędkości v = , to. Otrzymujemy więc wynik:

a== e_s +e_n.

Podać dowody i twierdzenia o ruchu prostoliniowym

???

Wyprowadzic zależność na przyspieszenie w ruchu płaskim (rys. + wzory)