Wycena obligacji
$$P = \sum_{}^{}\frac{C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}$$
P – cena obligacji
Ct – dochód z tytułu posiadania obligacji
YTM – wymagana stopa zwrotu
Wartość kuponu
K = r × Wn
r – oprocentowanie
Wn – wartość nominalna
Wartość przyszła FV
FV = PV(1+r)n
Wartość przyszła wpływów
FVn = K1(1 + re)n − 1 + K2(1 + re)n − 2 + … + Kn − 1(1 + re)1 + Kn + Wn
FVn – przyszła wartość wpływów
re – stopa reinwestycji
n – czas w latach do wykupu
Zrealizowana stopa dochodu
$$\text{RCY} = \sqrt[n]{\frac{FV_{n}}{P}} - 1$$
Duration – średni termin wykupu obligacji
$$D = \frac{\frac{1K}{{(1 + YTM)}^{1}} + \frac{2K}{{(1 + YTM)}^{2}} + \ldots + \frac{n(K + Wn)}{{(1 + YTM)}^{n}}}{P}$$
Zmiana wartości obligacji (duration)
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - D\frac{\left( 1 + \text{YTM}_{1} \right) - \left( 1 + \text{YTM}_{0} \right)}{1 + \text{YTM}_{0}}$$
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}}\ lub\ P\ lub\ X\ czyli\ zmiana\ ceny$$
P0 – cena obligacji przed zmianą YTM
P1 – cena obligacji po zmianie YTM
YTM0 – YTM przed zmianą
YTM1 – YTM po zmianą
D – średni termin wykupu
Zmodyfikowany średni termin wykupu
$$MD = \frac{D}{(1 + \text{YTM}_{0})}$$
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - MD(\text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0})$$
Duration portfela
$$D_{p} = \sum_{t = 1}^{n}{w_{i}D_{i}}$$
Dp – średni termin wykupu portfela obligacji
wi – udział i-tej obligacji w portfelu
Di – średni termin wykupu i-tej obligacji
n – każda obligacja w portfelu
Wypukłość obligacji
$$C = 0,5\frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t(t + 1)C_{t}}{(1 + YTM)^{t}}}{P(1 + YTM)^{2}}$$
Wypukłość obligacji (4 lata) – będzie podany na zaliczeniu
$$C = 0,5\left( \frac{\frac{1 \times 2 \times K}{{(1 + YTM)}^{1}} + \frac{2 \times 3 \times K}{{(1 + YTM)}^{2}} + \frac{3 \times 4 \times K}{{(1 + YTM)}^{3}} + \frac{4 \times 5 \times (K + Wn)}{{(1 + YTM)}^{4}}}{P\left( 1 + YTM \right)^{2}} \right)$$
Zmiana wartości obligacji (duration + wypukłość obligacji)
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - MD\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right) + C\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right)^{2}$$
YTM0 – YTM przed zmianą
YTM1 – YTM po zmianie
Wycena akcji
$$P = \sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$
P – cena akcji
Ct – dochód z tytułu posiadania akcji w okresie t
YTM – wymagana stopa zwrotu inwestora
Model zdyskontowanych dywidend
$$P = \sum_{t = 1}^{\infty}\frac{D_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$
$$P = \frac{D_{1} + P_{1}}{(1 + {\text{YTM})}^{1}}$$
D1 – dywidenda płacona po roku
P1 – cena akcji po roku (sprzedaż)
Okres 4 - letni
$$P = \frac{D_{1}}{({1 + \text{YTM})}^{1}} + \frac{D_{2}}{({1 + \text{YTM})}^{2}} + \frac{D_{3}}{({1 + \text{YTM})}^{3}} + \frac{D_{4} + P_{4}}{({1 + \text{YTM})}^{4}}$$
Model stałej dywidendy
$$P = \frac{D}{\text{YTM}}$$
P – cena
D – poziom wypłaconej dywidendy
YTM – wymagana stopa zwrotu
Model stałego wzrostu dywidendy Gordona – Shapiro
$$P = \frac{D(1 + g)}{(YTM + g)}$$
g – stopa przyrostu dywidendy
Stopa zwrotu z inwestycji
$$R_{t} = \frac{P_{t} - P_{t - 1} + I}{P_{t - 1}}$$
I – dodatkowe wpływy z tytułu posiadania akcji (dywidendy)
Oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji
$$\overset{\overline{}}{R} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}R_{i}}{n}$$
$\overset{\overline{}}{R}$ - średnia stopa zwrotu z instrumentu
Ri - stopa zwrotu z i-tego okresu
n – liczba okresów (liczba policzonych stóp zwrotu)
Ryzyko jako wariancja stopy zwrotu
$$\sigma^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(R_{t} - \overset{\overline{}}{R})}^{2}}{n - 1}$$
σ2 - wariancja stopy zwrotu
Rt - osiągnięta stopa zwrotu w czasie t
$\overset{\overline{}}{R}\ $- średnia stóp zwrotu
n – ilość obserwacji
Odchylenie standardowe
$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$
Oczekiwana stopa zwrotu portfela 2 - składnikowego
Rp = w1R1 + w2R2
w1 – udział pierwszej akcji w portfelu
R1 – oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji
w2 – udział drugiej akcji w portfelu
R2 – oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji
Ryzyko portfela akcji dwóch spółek (wzór będzie podany na teście)
Sp2 = w12s12 + w22s22 + 2w1s1w2s2σ12
s1 – odchylenie standardowe pierwszej akcji
s2 – odchylenie standardowe drugiej akcji
σ12 – korelacja stóp zwrotu pierwszej i drugiej akcji
Portfele dwuskładnikowe przypadki szczególne
σ12 = 1 Sp = w1s1w2s2
σ12 = 0 $Sp = \sqrt{w_{1}^{2}s_{1}^{2} + w_{2}^{2}s_{2}^{2}}$
σ12 = −1 Sp = |w1s1−w2s2|
Portfel o zerowym ryzyku tylko gdy σ = -1
$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{1} + s}_{2}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}}{{s_{1} + s}_{2}}$
Krótka sprzedaż portfela dwuskładnikowego przypadki szczególne
σ12 = 1 Sp = |w1s1+w2s2| w1 ; W2 – mogą być wartościami ujemnymi
Portfel o zerowym ryzyku
$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{2} - s}_{1}}$ $w_{2} = \frac{{- s}_{1}}{{s_{2} - s}_{1}}$
Portfel o minimalnym ryzyku dla dowolnego współczynnika korelacji (wzór będzie podany na teście)
$w_{1} = \frac{s_{2}^{2} - s_{1}{\times s}_{2} \times \delta_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2{\times s}_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}^{2} - s_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2 \times s_{1}{\times s}_{2}{\times \delta}_{12}}$