Schemat blokowy układu regulacji

Układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym – transmitancja zastępcza

Z(s) Y(s)

-

Y₁(s) E(s) -

Y₀(s)

gdzie:

y₀ – wartość zadana

y₁ – sygnał sterujący

y – odpowiedź regulacji

z – zakłócenie

e - uchyb regulacji, e= y₀-y

G₀ – obiekt regulacji

R - regulator

Transmitancja zastępcza układu regulacji względem wartości zadanej y₀ i transmitancja uchybowa:

$$G_{z}\left( s \right) = \frac{Y(s)}{Y_{0}(s)} = \frac{R(s) \bullet G_{0}(s)}{1 + R(s) \bullet G_{0}(s)}$$

$$G_{E}\left( s \right) = \frac{E(s)}{Y_{0}(s)} = \frac{Y\left( s \right) - Y_{0}(s)}{Y_{0}(s)}$$

$$G_{E}\left( s \right) = \frac{E(s)}{Y_{0}(s)} = G_{z}\left( s \right) - 1$$

$$G_{E}\left( s \right) = \frac{E(s)}{Y_{0}(s)} = \frac{R(s) \bullet G_{0}(s)}{1 + R(s) \bullet G_{0}(s)} - 1$$

$$G_{E}\left( s \right) = \frac{E(s)}{Y_{0}(s)} = \frac{1}{1 + R(s) \bullet G_{0}(s)}$$

Transmitancja zastępcza układu regulacji względem sygnału zakłócenia i transmitancja uchybowa:

$$G_{z}\left( s \right) = G_{E}\left( s \right) = \frac{Y(s)}{Z(s)} = \frac{G_{0}(s)}{1 + R(s) \bullet G_{0}(s)}$$

Stosowane rodzaje regulatorów o działaniu ciągłym:

- Proporcjonalny P

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}$$

gdzie k_p – wzmocnienie regulatora

lub $X_{p} = \frac{1}{k_{p}} \bullet 100\%$ - zakres proporcjonalności

Odpowiedź na uchyb skokowy

y₁(t) = k_p • e_st

- Całkujący I

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = \frac{1}{T_{i}s}$$

gdzie T_i – stała całkowania regulatora, czas zdwojenia

Odpowiedź na uchyb skokowy

$$y_{1}\left( t \right) = \frac{e_{\text{st}}}{T_{i}}t$$

- Różniczkujący D idealny

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = T_{d}s\ ;$$

y₁(t) = T_d • δ(t)

- Różniczkujący D rzeczywisty

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = \frac{T_{d}\text{s\ }}{Ts + 1}$$

gdzie: $\frac{T_{d}\ }{T} = k_{d}$ wzmocnienie dynamiczne regulatora członu różniczkującego

T_d – stała różniczkowania regulatora, czas wyprzedzenia

T – stała inercji członu różniczkującego regulatora

Odpowiedź na uchyb skokowy

$$y_{1}\left( t \right) = \frac{T_{d}}{T}{e_{\text{st}} \bullet e}^{- \frac{t}{T}}$$

- Proporcjonalno-całkujący PI

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}\left( 1 + \frac{1\ }{T_{i}s} \right)$$

Odpowiedź na uchyb skokowy

$$y_{1}\left( t \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{1}{T_{i}}t \right)$$

- Proporcjonalno-różniczkujący PD idealny

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}\left( 1 + T_{d}s \right)\ $$

Odpowiedź na uchyb skokowy

y₁(t) = k_pe_st(1+T_d•δ(t))

- Proporcjonalno-różniczkujący PD rzeczywisty

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}\left( 1 + \frac{T_{d}\text{s\ }}{Ts + 1} \right)$$

Odpowiedź na uchyb skokowy

$$y_{1}\left( t \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{T_{d}}{T}e^{- \frac{t}{T}} \right)$$

- Proporcjonalno-całkująco-różniczkujacy PID idealny

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}\left( 1 + \frac{1\ }{T_{i}s} + T_{d}s \right)\ ;$$

Odpowiedź na uchyb skokowy

$$y_{1}\left( t \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{1}{T_{i}}t + T_{d} \bullet \delta(t) \right)$$

- Proporcjonalno-całkująco-różniczkujacy PID rzeczywisty

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}\left( 1 + \frac{1\ }{T_{i}s} + \frac{T_{d}\text{s\ }}{Ts + 1} \right)$$

Odpowiedź na uchyb skokowy

$$y_{1}\left( t \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{1}{T_{i}}t + \frac{T_{d}}{T}e^{- \frac{t}{T}} \right)$$

Obliczenie iloczynu ‘mT’

$$y_{1}\left( t \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{1}{T_{i}}t + \frac{T_{d}}{T}e^{- \frac{t}{T}} \right)$$

$$y_{1}\left( 0 \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{T_{d}}{T} \right)$$

Wartość pochodnej

$$\dot{y_{1}}\left( t \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( \frac{1}{T_{i}} - \frac{T_{d}}{T^{2}}e^{- \frac{t}{T}} \right)$$

$$\dot{y_{1}}\left( 0 \right) = k_{p}e_{\text{st}}\left( \frac{1}{T_{i}} - \frac{T_{d}}{T^{2}} \right)$$

Równanie stycznej

$$y_{1}(t) = \dot{y_{1}}\left( 0 \right) \bullet t + y_{1}\left( 0 \right)$$

$$y_{1} = k_{p}e_{\text{st}}\left( \frac{1}{T_{i}} - \frac{T_{d}}{T^{2}} \right) \bullet t + k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{T_{d}}{T} \right)$$

Punkt przecięcia się stycznej ze współrzędną y=k_pe_st

$$y_{1} = k_{p}e_{\text{st}}\left( \frac{1}{T_{i}} - \frac{T_{d}}{T^{2}} \right) \bullet t + k_{p}e_{\text{st}}\left( 1 + \frac{T_{d}}{T} \right) = k_{p}e_{\text{st}}$$

$$\left( \frac{1}{T_{i}} - \frac{T_{d}}{T^{2}} \right) \bullet t + \left( 1 + \frac{T_{d}}{T} \right) = 1$$

$$\left( \frac{1}{T_{i}} - \frac{T_{d}}{T^{2}} \right) \bullet t = \frac{T_{d}}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bullet T_{i}T^{2}$$

$$t = \frac{T_{d}T_{i}T}{T_{d}T_{i} - T^{2}}$$

t = mT

$$m = \frac{T_{d}T_{i}}{T_{d}T_{i} - T^{2}}$$

Charakterystyki częstotliwościowe regulatorów

- Proporcjonalny P

G(s) = k_p

P(ω) = k_p;                           Q(ω) = 0

M(ω) = k_p;                           φ(ω) = 0

- Całkujący I

$$G\left( s \right) = \frac{1}{T_{i}s}$$

$$P\left( \omega \right) = 0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q\left( \omega \right) = - \frac{1}{T_{i}\omega}$$

$$M\left( \omega \right) = \frac{1}{T_{i}\omega};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\left( \omega \right) = - 90$$

- Różniczkujący D idealny

G(s) = T_ds ;

P(ω) = 0;                           Q(ω) = T_dω

M(ω) = T_dω;                           φ(ω) = 90

- Proporcjonalno-całkujący PI

$$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}\left( 1 + \frac{1\ }{T_{i}s} \right)$$

$$P\left( \omega \right) = k_{p};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q\left( \omega \right) = - \frac{k_{p}}{T_{i}\omega}$$

$$M\left( \omega \right) = \frac{k_{p}}{T_{i}\omega}\sqrt{{{1 + T}_{i}}^{2}\omega^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\left( \omega \right) = - arctg\left( \frac{1}{T_{i}\omega} \right)$$

- Proporcjonalno-różniczkujący PD idealny

G(s) = k_p(1+T_ds) 

P(ω) = k_p;                           Q(ω) = k_pT_dω

$$M\left( \omega \right) = k_{p}\sqrt{{{1 + T}_{d}}^{2}\omega^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\left( \omega \right) = arctg\left( T_{d}\omega \right)$$

- Proporcjonalno-różniczkujący PD rzeczywisty

$$G\left( s \right) = k_{p}\left( 1 + \frac{T_{d}\text{s\ }}{Ts + 1} \right)$$

$$P\left( \omega \right) = k_{p}\frac{T\left( T_{d} + T \right)\omega^{2} + 1}{1 + T^{2}\omega^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q\left( \omega \right) = k_{p}\frac{T_{d}\omega}{1 + T^{2}\omega^{2}}$$

$$M\left( \omega \right) = k_{p}\sqrt{\frac{\left( {T + T}_{d} \right)^{2}\omega^{2} + 1}{T^{2}\omega^{2} + 1}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\left( \omega \right) = arctg\left( \frac{T_{d}\omega}{T\left( T_{d} + T \right)\omega^{2} + 1} \right)$$

- Proporcjonalno-całkująco-różniczkujacy PID idealny

$$G\left( s \right) = k_{p}\left( 1 + \frac{1\ }{T_{i}s} + T_{d}s \right)\ $$

$$P\left( \omega \right) = k_{p};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q\left( \omega \right) = k_{p}\left( T_{d}\omega - \frac{1}{T_{i}\omega} \right)$$

$$M\left( \omega \right) = k_{p}\sqrt{1 + \left( T_{d}\omega - \frac{1}{T_{i}\omega} \right)^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\left( \omega \right) = arctg\left( T_{d}\omega - \frac{1}{T_{i}\omega} \right)$$

- Proporcjonalno-całkująco-różniczkujacy PID rzeczywisty

$$G\left( s \right) = k_{p}\left( 1 + \frac{1\ }{T_{i}s} + \frac{T_{d}s}{Ts + 1} \right)\ $$

$$P\left( \omega \right) = k_{p}\frac{T\left( {T + T}_{d} \right)\omega^{2} + 1}{T^{2}\omega^{2} + 1};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q\left( \omega \right) = k_{p}\frac{\left( T_{i}T_{d} - T^{2} \right)\omega^{2} - 1}{T_{i}\omega\left( T^{2}\omega^{2} + 1 \right)}$$

$$M\left( \omega \right) = k_{p}\sqrt{\left( 1 + \frac{TT_{d}\omega^{2}}{T^{2}\omega^{2} + 1} \right)^{2} + \left( \frac{T_{d}\omega}{T^{2}\omega^{2} + 1} - \frac{1}{T_{i}\omega} \right)^{2}};\varphi\left( \omega \right) = arctg\frac{\left( T_{i}T_{d} - T^{2} \right)\omega^{2} - 1}{T_{i}\omega\left\lbrack T\left( {T + T}_{d} \right)\omega^{2} + 1 \right\rbrack}$$