Pochodne Wyższych Rzędów

Jeżeli funkcja
ma pochodną
na
i
jest różniczkowalna na
, to określamy drugą pochodną funkcji
(i ozn.
) następująco:

lub
.

Postępując dalej w ten sposób otrzymujemy:

Funkcję
nazywamy
-tą pochodną funkcji
.

Wzór Leibniza na
-ta pochodną iloczynu funkcji:

,

przy założeniu, że funkcje
posiadają pochodne do rzędu
włącznie.

Wzory: Taylora i Maclaurina

Twierdzenie Taylora: Jeżeli funkcja
jest określona i ciągła wraz z pochodnymi aż do rzędu
na przedziale
i posiada wewnątrz tego przedziału pochodną rzędu
, to dla dowolnego punktu
istnieje takie otoczenie
punktu
, tzn.
, że dla dowolnego punktu
zachodzi wzór:

,

gdzie
oznacza resztę. Powyższy wzór nazywamy rozwinięciem (wzorem ) Taylora funkcji
w otoczeniu punktu
.

Przykłady reszt we wzorze Taylora:

• Reszta Peano:

, gdzie
jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż
;

• Reszta Cauchy'ego :
  ;

• Reszta Lagrange'a:
  , gdzie
  jest wartością pośrednią między
  i
  

Wzór Maclaurina jest szczególnym przypadkiem wzoru Taylora tzn., gdy
, czyli:

,

przy założeniach jak w twierdzeniu Taylora.

Reguła de L'Hospitala

Twierdzenie:

Niech funkcje
będą różniczkowalne na
i
na
, gdzie
. Jeżeli
albo
, to :

, o ile granica po prawej stronie równości istnieje.

Twierdzenie to stosujemy bezpośrednio do obliczania granic wyrażeń nieoznaczonych postaci
albo
.

Przykłady:

• 
  ;

• 
  

Zastosowanie do obliczania granic pozostałych wyrażeń nieoznaczonych:

1. 
   :

, np.:

;

2)
: najczęściej wystarczy sprowadzić ułamki w wyrażeniu do wspólnego mianownika, np.:

3)
: obliczamy granicę logarytmu wyrażenia nieoznaczonego, który z kolei jest wyrażeniem typu
, np.:

a)
;

b)

.

Twierdzenia o pochodnych

Własność Darboux: Jeżeli funkcja
ma pochodną skończoną w przedziale
, to funkcja
przybiera co najmniej raz każdą wartość pośrednią pomiędzy
i
.

Twierdzenie Rolle'a: Niech
będzie ciągła na
i niech istnieje pochodna skończona
co najmniej w przedziale
oraz
. Wtedy istnieje punkt
taki, że
.

Twierdzenie Lagrange'a (O wartości średniej): Niech
będzie ciągła na
i niech istnieje pochodna skończona
co najmniej w przedziale
. Wtedy istnieje punkt
taki, że

.

Wzór Cauchy'ego: Niech funkcje
będą określone i ciągłe w przedziale
i niech istnieją pochodne skończone
co najmniej w przedziale
oraz
w
.

Wtedy istnieje punkt
taki, że

.

Twierdzenie Fermata (Interpretacja geometryczna znaku pochodnej):

Niech
będzie różniczkowalna w
. Wtedy:

1. jeśli
   , to
   jest rosnąca w
   ;

2. jeśli
   , to
   jest malejąca w
   ;

3. jeśli
   , to
   jest stała w
   .

Ekstrema Funkcji

Definicja (maksimum lokalne funkcji): Niech
będzie ciągła na
. Mówimy, że
posiada w punkcie
maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
, tzn. przedział
, że dla wszystkich
zachodzi warunek
.

Definicja (minimum lokalne funkcji): Niech
będzie ciągła na
. Mówimy, że
posiada w punkcie
minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
, tzn. przedział
, że dla wszystkich
zachodzi warunek
.

Warunek konieczny istnienia ekstremum: Niech
. Jeśli
posiada w punkcie
ekstremum (minimum albo maksimum) lokalne i jeżeli istnieje
, to
.

Warunek dostateczny istnienia ekstremum: : Niech
będzie ciągła i różniczkowalna na
oraz
dla pewnego
. Funkcja
posiada w punkcie
:

1. maksimum lokalne, jeżeli pochodna
   przechodząc przez
   zmienia znak z dodatniego na ujemny;

2. minimum lokalne, jeżeli pochodna
   przechodząc przez
   zmienia znak z ujemnego na dodatni.

Drugi warunek dostateczny istnienia ekstremum: Niech
będzie dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
, tzn. istnieją pochodne
oraz
. Wtedy funkcja
posiada w punkcie
:

1. minimum lokalne, jeśli
   ;

2. maksimum lokalne, jeśli
   .

Punkty przegięcia wykresu funkcji

Definicja (punktu przegięcia): punktem przegięcia wykresu funkcji
, nazywamy taki jego punkt, w którym styczna do krzywej
przechodzi z jednej strony krzywej na drugą, np. punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
.

Twierdzenie (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia): Niech
i
Jeżeli druga pochodna
i
przechodząc przez punkt
zmienia znak, to wykres funkcji
ma punkt przegięcia w
.

Wklęsłość i wypukłość funkcji

Definicja (wypukłości funkcji): Mówimy, że funkcja
jest wypukła w przedziale
, jeśli:

.

Geometrycznie oznacza to, że łuk wykresu funkcji
w przedziale
znajduje się poniżej siecznej tego wykresu przechodzącej przez punkty
i
.

Definicja (wklęsłości funkcji): Mówimy, że funkcja
jest wklęsła w przedziale
, jeśli:

.

Geometrycznie oznacza to, że łuk wykresu funkcji
w przedziale
znajduje się powyżej siecznej tego wykresu przechodzącej przez punkty
i
.

Twierdzenie (warunek dostateczny wklęsłości, wypukłości funkcji):

• Jeżeli
  jest różniczkowalna na
  , a jej pochodna
  jest w tym przedziale funkcją rosnącą (czyli
  na
  ), to
  jest wypukła na
  .

• Jeżeli
  jest różniczkowalna na
  , a jej pochodna
  jest w tym przedziale funkcją malejącą (czyli
  na
  ), to
  jest wklęsła na
  .

Badanie przebiegu zmienności funkcji.

1. Dziedzina i zbiór wartości funkcji.

2. Punkty przecięcia z osiami układu, parzystość lub nieparzystość.

3. Asymptoty wykresu funkcji.

4. Pierwsza pochodna - przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne.

5. Druga pochodna - Przedziały wklęsłości i wypukłości, punkty przegięcia.

6. Tabelka

7. Szkic wykresu.

6

---