Ekonomia matematyczna jest dyscyplina naukową obejmującą różne zastosowania pojęć i technik matematycznych w ekonomii, a w szczególności w teorii ekonomii.

Wnioskowanie obejmuje

• Indukcję

• Dedukcję

• Redukcję

Podział ekonomii matematycznej

1. Kryterium historyczne

• Kres marginalistyczny oparty na rachunku różniczkowym (1938 - 1947) Początek okresu to wydanie przez A. Coumot'a jego głównego dzieła. Wybitnymi przedstawicielami tego okresu byli: L. Walras i V. Pareto (szkoła lozańska) Główne narzędzia analizy: rachunek różniczkowy, pochodna funkcji, pochodna cząstkowa i mnożniki Lagrang'a do wyznaczania optimów

• Okres modeli teoriomnogościowych i liniowych (1948 - 1960) Okres ten poprzedziły prace J. von Neumanna (poświęcone problemami równowagi ekonomicznej). Przedtsawiciele: G. Dantiz, W. Leontiew, J. Nash Główne narzędzia analizy: teorie mnogości, teorie zbiorów wypukłych, metody programowania liniowego, teorie gier

• Okres integracji (od 1961) W okresie tym mamy do czynienia z wzajemnym przenikaniem się matematycznych idei, teorii i metod j.w.

2. Kryterium metodologiczne

• Matematyzacja wyników poznawczych, polega na dochodzeniu do rezultatów ilościowych metodą tradycyjną i ujmowaniu ich w postaci tabeli, wykresów, funkcji

• Tzw. matematyzacja metodologiczna, polega na stosowaniu metod wypracowanych przez matematyków tj. ujmowaniu zjawisk gospodarczych jako tzw. realnych modeli sformalizowanych i w konsekwencji na rozwiązywaniu poszczególnych zagadnień przez operacje dokonywane na konstrukcjach matematycznych

• Tzw. strukturalna forma matematyzacji, polega na upodobnieniu struktury poszczególnych teorii naukowych jako systemów twierdzeń do struktury systemów dedukcyjnych zaksjomatyzowanych

1. Kryterium pozycyjne:

„Matematyka stanowi jak gdyby wspólny język nauk fizycznych.

Dla fizyków (przyrodników) jest ona tym, czym była łacina dla scholastyków, ale dla wielu ekonomistów jest ona niestety niezrozumiałym językiem greckim. Wobec tego autor, który chce być czytany przez szeroka publiczność nie powinien mnożyć matematycznej formy swych myśli powyżej niezbędnego minimum, które o ile mamy podstawy przypuszczać nie jest zbyt wielkie. Oszczędne posługiwanie się wyrazami należącymi do zakresu elegancji u przyrodnika jest dla ekonomisty koniecznością”.

Równowaga - jest pewną konstelacją wybranych powiązań zmiennych, tak dostosowanych do siebie, że w modelu, który stanowią, nie przeważa żadna tendencja do zmiany.

Równowaga rynkowa - jest to stan stabilności sił stojących po stronie popytu i podaży. Jeśli warunki zewnętrzne (tzn. Determinanty popytu i podaży) nie zmieniają się, stan ten będzie wykazywał tendencję do trwania.

Równowaga dotyczy zmiennych wybranych, które są ze sobą ściśle powiązane.

Konsument zawsze dąży do maksymalizacji satysfakcji.


- użyteczność całkowita








- zysk


- utarg całkowity


- koszt całkowity
















- maksymalizacja zysku

Procedura wyznaczania ekstremum (maksimum zysku)







Równowaga rynkowa




gdzie


Rynek wyizolowany - rynek gdzie na konsumenta i dostawcę nie oddziałuje szereg innych czynników























- cena dobra wyznaczająca koszt stały producenta, czyli wynagrodzenie pracowników, koszty dzierżawy ziemi i budynków itp. Producent dopiero powyżej tej ceny dobra decyduje się na jego dostarczanie na rynek.

Ponieważ na nocy warunku równowagi:




zatem




w rezultacie mamy:




Ilość równowagi wyniesie:




Ponieważ:


Więc warunkiem, aby:
jest






























Równowaga cykliczna przytłumiona:

Przy wzroście popytu z
do
stan przeszedł do stanu nierównowagi (występuje niedobór towarów na rynku). Rynek jednak samodzielnie dąży do uzyskania stanu stabilności poprzez tzw. pajęczynę popytowo-podażową.

Równowaga cykliczna periodyczna

















































Równowaga cykliczna wybuchowa




























































Krzywa popytu dana jest równaniem:
zaś krzywa podaży:
.

Warunek równowagi jest spełniony, gdy:
, czyli
.

Załóżmy, że
stąd


Wzór na cenę równowagi cyklicznej ma postać:
.

Załóżmy, że odchylenia ceny od ceny równowagi oznaczymy przez:
to
, ale
, czyli:
, stąd
, co daje po przekształceniu
, czyli
, co jest tożsame z zapisem
. Ponieważ
mamy
. A ponieważ
ostatecznie mamy
.

Ponieważ parametry kierunkowe
, to kolejne odchylenia są analogiczne. Dla kolejnych odchyleń mamy następujący ciąg wartości:




Ogólnie ścieżkę odchyleń cen równowagi cyklicznej od równowagi określamy wzorem:


Jeżeli

• 
  - ma miejsce oscylacja przytłumiona

• 
  - ma miejsce oscylacja wybuchowa

• 
  - ma miejsce oscylacja periodyczna

Analiza statyki porównawczej - polega na porównaniu wielu stanów równowagi jednego modelu. Wiąże się przede wszystkim z wyznaczeniem zmian jakościowych (zmian kierunku równowagi). Efektem analizy statyki porównawczej jest ustalenie wielkości stopy zmian.

Stopa zmian - relacja zmiennej endogenicznej do zmiennej egzogenicznej (parametru a, b, ...)

Stopa zmian











Ostatecznie mamy:








- pochodna

Pochodna funkcji - mówi nam do czego zdąża wartość funkcji (y), jeśli argument (x) zdąża do jakiejś konkretnej wartości. Stanowi natychmiastową stopę zmiany.

Przykład równowagi:



































- utarg całkowity


- utarg przeciętny


- utarg krańcowy (marginalny)

Utarg całkowity rośnie osiąga ekstremum maksimum i zaczyna opadać


oznacza cenę jednego dobra (wykres
może być utożsamiany z wykresem popytu)

Popyt przy wysokiej cenie jest bardziej elastyczny niż przy cenie niższej. Poniżej ceny P₁ popyt jest nieelastyczny, natomiast powyżej - elastyczny


- utarg krańcowy oznaczający, utarg ze sprzedaży ostatniej dodatkowej jednostki dobra


- pochodna mierzy nachylenie funkcji w punkcie

































































- nachylenie prostej KG




gdzie:


, oraz


co oznacza, że




Granica funkcji:

Liczba L oznacza granicę funkcji
przy z dążącym do liczby N, jeśli dla każdego dowolnie małego, ustalonego otoczenia liczby L można dobrać otoczenie liczby N (zawarte w dziedzinie funkcji) w taki sposób, że dla każdej wartości z należącej do tego otoczenia N i różnej od N obraz jej należy do wybranego otoczenia L.

Otoczeniem L nazywamy przedział określany wzorem:






























Jeśli granica prawostronna jest równa granicy lewostronnej to funkcja ma granicę.

Funkcja jest różniczkowalna, jeśli da się przeprowadzić styczna do funkcji w jednym punkcie.




















































(dla
)


(dla
)

Twierdzenia o granicy:

• Dotyczące pojedynczej funkcji:

Twierdzenie I

Jeśli


Twierdzenie II

Jeśli


Twierdzenie III

Jeśli





• Dotyczące dwu funkcji

Jeśli mamy dwie funkcje
oraz
, których argumentem jest
, takie że
i
, to można zastosować twierdzenia:

Twierdzenie IV




Twierdzenie V




Twierdzenie VI





jest granicą funkcji przy
dążącym do
.







Różniczkowalność funkcji - oznacza, że w każdym jej punkcie można jednoznacznie wyznaczyć nachylenie funckji.

Warunki ciągłości funkcji:

1. 
   

2. 
   

3. 
   


- dla każdego


- istnieje





































Pochodna a ciągłość funkcji:

Twierdzenie

Jeśli funkcja ma pochodną dla jakiejkolwiek wartości zmiennej niezależnej
, to jest dla tej wartości ciągła.

Przypuśćmy, że:

1. Dla
   

2. Istnieje
   

3. 
   

co oznacza, ze spełnione są warunki ciągłości funkcji dla
.

Jeśli
jest różniczkowalna dla
tzn., że:




Uprościmy zapis w ten sposób, że:


oznacza


W rezultacie mamy







ponieważ
więc pewne jest, że
,

co oznacza, że mamy:




Ponieważ
, czyli
jest stałe, co daje


oraz ostatecznie mamy:




Z tej ostatniej równości wynika, że:




co nie byłoby możliwe, gdyby nie był spełniony warunek różniczkowalności.

Ciągłość a różniczkowalność funkcji:

Twierdzenie

Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym jej różniczkowalności.






Przypuśćmy, że mamy funkcję
.




Sprawdzimy, czy jest różniczkowalna w punkcie
.

Warunkiem różniczkowalności jest ciągłość funkcji:

1. 
   

2. Istnieje granica
   

3. 
   

Czy dla
funkcja
jest różniczkowalna?




• gdy rozważamy granicę prawostronną,
  zdążając do 0 będzie zawsze większe od 0, czyli na mocy definicji modułu:


, wówczas


• z kolei gdy rozważamy granicę lewostronną,
  zdążając do 0 będzie zawsze mniejsze od 0


, wówczas


Rachunek marginalny - rozwiązywanie problemów ekonomicznych za pomocą pochodnej (natychmiastowej stopy zmian)

Reguły różniczkowania dotyczące jednej funkcji:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

Reguły różniczkowania dotyczące dwóch funkcji:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  ;
  

Wyprowadzanie wzoru na pochodna ilorazu dwóch funkcji:




Ostatnie równanie, będące wzorem na pochodną ilorazu dwu funkcji, jest wynikiem założenia o ciągłości funkcji (którą de facto jest ów iloraz), ponieważ tylko funkcja ciągła ma pochodną w
. W związku z tym funkcje odpowiednio
i
(które sa składowymi ilorazu) są również ciągłe stąd:

• 
  

• 
  

• 
  

Utarg całkowity, przeciętny krańcowy:

Utarg całkowity (TR) - utarg uzyskany ze sprzedaży wszystkich wyprodukowanych jednostek

Utarg przeciętny (AR) - utarg przypadający na jednostkę sprzedanego dobra (cena dobra)

Utarg krańcowy (MR) - zmiana utargu całkowitego spowodowana zmiana produkcji o jednostkę




gdzie




tak więc




Ponieważ:



to
, gdzie
mierzy nachylenie
.

Ponieważ:


w rezultacie w konkurencji:

• doskonałej
  ponieważ
  , a więc
  , krzywe pokrywają się.












• niedoskonałej:
  , dla każdego
  , co oznacza, że MR leży w tej dziedzinie pod AR

























































Wzór na funkcję przeciętnego kosztu całkowitego ATC




Ponieważ


a więc


Natychmiastowa stopa zmian ATC, czyli miernik informujący zarazem o tym, kiedy ten koszt maleje, rośnie i kulminacje będzie opisany wzorem:




























Funkcja złożona:


- funkcja utargu całkowitego


- funkcja produkcji







- funkcja złożona







Twierdzenie:

Jeżeli
jest funkcją złożoną z funkcji
i
ciągłych i różniczkowalnych odpowiednio w punkcie
i
, to:


gdy
.

Zapis powyżej oznacza, że jeżeli
jest funkcją
, a
jest funkcją
, to pochodną
względem
oblcizamy mnożąc pochodną funkcji zewnętrznej przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Dowód:










Z uwagi na ciągłość funkcji
mamy:







Ostatecznie mamy:


oznacza, to że


Funkcja odwrotna












Funkcja monotoniczna - to taka funkcja, która na określonym przedziale tylko rośnie albo tylko maleje.

Pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja maleje czy rośnie.









Twierdzenie:

Jeżeli funkcja
rosnąca (malejąca) ma w danym punkcie
ma pochodną różną od 0, to funkcja odwrotna
ma pochodną
równą odwrotności pochodnej danej funkcji tzn.:
.

Dowód:


skąd
.

Ponieważ funkcja odwrotna jest również ciągła, zatem:
. W rezultacie:


,

czyli ostatecznie:


Pochodna cząstkowa:

Dana jest funkcja wielu zmiennych:


, gdzie
są niezależne od siebie. Iloraz różnicowy dla tej funkcji wyraża wzór:




Pochodną cząstkową
względem
nazywamy granicę ilorazu różnicowego:




Przykład:










Przykład:










Wzgórze producenta - określa funkcje produkcji przy dwóch argumentach (L - praca i K - kapitał)

















































0




























































































































TR, MR, AR

Q

TR







P₁

TR




Q

TR, MR, AR

Q

C

G

H

K

A

D

B




E

F

Q₀ Q₁ Q₂

C₂

C₁

C₀







z

i

N

L

N

L

i

z

Granica prawostronna

Granica lewostronna

i

z

N - b₁ N N +b₂

L+a₂

L

L-a₁

(N, L)

a₂

b₁

b₂

z

i

N

L₂

L₁

5

10

-5

-10

5

10

-5

-10

x

y




Q

AR, MR

AR = p

MR

Q

AR, MR

DD = AR

MR

AR (Q₀)

MR(Q₀)

Q

AR, MR

AR

MR

f(Q₀)Q₀

Q₀ Q₁

C

B

A

f(Q₁)Q₁




- gdy funkcja ATC rośnie to znajduje się pod funkcją MC

- jeśli funkcja ATC jest stała to przecina się z funkcją MC

- funkcja ATC maleje to znajduje się nad funkcją MC

Q

MC, ATC, AVC

MC (koszt krańcowy)

ATC (przeciętny koszt całkowity)

AVC (przeciętny koszt zmienny)

Q_E

E







Funkcja odwrotna podobnie jak jej funkcja pierwotna jest malejąca

Q

L

K

0

B

A

C

D

K₀

L₁

L₀

L₂

---